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简介：针对2022年全国大学生数学建模竞赛本科组B题，这份原创获奖论文完整呈现了无人机纯方位无源定位问题的建模与求解过程，并配有MATLAB实现思路。内容覆盖圆形编队中被动接收信号无人机的定位模型建立、额外发射信号无人机数量如何判定，以及初始位置出现偏差时的迭代调整策略；同时延伸到锥形编队的定位方案，展示数学方法应对不同队形的通用性。论文为河北省一等奖作品，适合参加数学建模竞赛的本科生、指导教师及无人机编队控制研究者参考。资源共1个PDF文件，压缩包大小约2.63MB，文档结构涵盖摘要、问题重述、问题分析、模型建立与求解、符号说明等，可作为论文写作规范和建模表达范本。目前已有8039人浏览学习，可帮助读者快速掌握国赛B题的解题框架与MATLAB实践技巧。

1. 纯方位无源定位：为什么只靠角度就能算出无人机坐标

2022年全国大学生数学建模竞赛本科组B题的核心，就是把“无人机纯方位无源定位”这件事落到一个可计算的几何模型上：编队里的无人机不依赖GPS，也不主动发射测距信号，只测量其他无人机相对自己的方位角，再用这些角度反推坐标。这个场景在工程里非常真实——GPS被干扰、雷达信号不能开、光电设备只能给出“目标在哪个方向”，位置信息就得靠三角交会和最小二乘硬算出来。对参赛者来说，这道题考察的不是某个高深算法，而是三件事：能不能把角度观测写成干净的数学方程，能不能把几何退化条件分析清楚，以及能不能在参考点不足时用编队结构调整恢复可观性。下文按这个顺序把整条定位链路拆开，每一步都给出可以直接复现的代码和分析方法。

2. 观测方程与能观性：先弄清哪些几何条件会让定位失稳

做纯方位定位，第一件要做的事不是写代码，而是统一“方位角”的定义。同一个角度，在不同坐标系里可以差出90度甚至完全相反。这一章先把观测方程写清楚，再讨论什么时候方程有唯一解，什么时候方程本身就没法解。

2.1 坐标约定：方位角的三种定义为什么必须统一

工程中常见的方向角定义有三种。第一种是地理方位角，从正北方向顺时针旋转，范围是0到360度，这是飞行控制系统里最常见的约定；第二种是数学方位角，从x轴正方向逆时针旋转，范围通常是负180度到正180度，这也是大多数数值计算库的默认约定；第三种是机体坐标系下的相对方位角，它以无人机机头方向为0度基准，机头偏右为正。三种定义之间没有本质区别，但在同一套方程里混用就会直接导致定位结果整体旋转或者镜像翻转。

我在做这类题目时，会先把所有输入角度统一成数学方位角，也就是弧度制下的atan2输出。如果题目给的是地理方位角，先做一次转换：

import numpy as np def geo_to_math_rad(geo_deg): """ 地理方位角（正北顺时针，度）转数学方位角（x轴逆时针，弧度）。 例：正东方向 geo_deg=90 -> math_rad=0 """ deg = (90.0 - geo_deg) % 360.0 return np.deg2rad(deg)

这里的逻辑是：正东在地理方位角里是90度，在数学坐标系里是0弧度；正北是0度，对应数学坐标系的90度。所以用“90减原角度”就能完成映射。模360度是为了把结果压到标准区间。实际题目里如果角度定义比较隐晦，我会先拿一个已知位置的参考点做回代验证，确认定义没错再继续，这一步可以省掉后面大量排错时间。

2.2 从方位角到观测等式：一条视线变成一个线性约束

假设待定位无人机的位置是 (p=(x,y))，第 (i) 个参考无人机的位置是 (a_i=(x_i,y_i))。参考机测得的方位角记为 (\theta_i)，那么视线方向满足：

[ \tan \theta_i = \frac{y - y_i}{x - x_i} ]

这个方程是非线性的，直接求解不方便。把等式两边交叉相乘并整理，可以得到一个线性形式：

[ -\sin\theta_i \cdot x + \cos\theta_i \cdot y = -\sin\theta_i \cdot x_i + \cos\theta_i \cdot y_i ]

写成矩阵形式就是 (A p = b)，其中每一行来自一条视线观测。这个变换叫伪线性化，不是近似，而是对atan2关系的代数重写，只是它在噪声环境下会给误差加权，所以后面还要接迭代优化。

为什么这个形式很有用？因为它把定位问题变成了最小二乘问题。多架参考机给多条视线，多条直线在理想情况下交于一点，有测量误差时就退化成求一个使所有视线残差最小的点。这是整道题最核心的数学模型，也是后面所有代码的公共骨架。

2.3 几何退化：共线、共圆和镜面对称什么时候破坏唯一性

有两条不平行视线就一定能交出唯一点，这是直觉结论。但纯方位无源定位里真正容易出问题的是三类退化情形。

第一类是参考点与目标共线。所有视线都落在同一条直线上时，方程组的秩降为1，矩阵条件数变成无穷大，最小二乘解在垂直方向完全没有约束，随便哪个点都能满足残差要求。第二类是参考点共圆。当所有参考点和待定位点恰好落在同一个圆上，并且只能观测相对方位差时，整个编队绕圆心旋转不会改变任何观测角度，定位结果存在一个整体旋转自由度。第三类是镜面对称。如果所有无人机只通过两两相对方位关联，把整个编队沿某条参考点连线做镜像翻转，所有相对角度仍然保持不变。

这三类问题在圆形编队题目里尤其典型，因为圆周上的无人机天然满足“共圆”这个条件。解决思路通常是引入额外约束，比如固定半径、固定圆心、已知编号顺序，用这些先验信息去打破对称性。后面第四章会专门讲这些约束怎么落到方程里。

3. 最小二乘定位解算器：把多元观测变成可复现的 Python 代码

很多参赛者卡在“模型建出来了但代码算不对”。这一章直接给出一个能跑通的最小实现：先用伪线性最小二乘得到初始解，再用高斯牛顿迭代消除非线性误差，最后给出参数说明和调试建议。

3.1 伪线性最小二乘：三步把非线性问题压成 A p = b

把 2.2 节里的线性化结果写成代码，只需要三步：遍历所有参考点，构造系数矩阵A和右端向量b，然后用numpy.linalg.lstsq求解。下面是最小实现：

import numpy as np def solve_linear_least_squares(refs, azis): """ 伪线性最小二乘定位。 refs: (n, 2) 参考点坐标，单位是米 azis: (n,) 方位角，弧度，数学坐标系（x轴逆时针） 返回: (x, y) 待定位点的最小二乘估计 """ A = [] b = [] for (xr, yr), theta in zip(refs, azis): s = np.sin(theta) c = np.cos(theta) A.append([-s, c]) b.append(-s * xr + c * yr) A = np.array(A) b = np.array(b) p, _, rank, _ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None) if rank < 2: raise RuntimeError("rank<2，观测退化，最小二乘解不唯一") return p

这段代码的逻辑很直接：每个角度约束对应方程的一个系数行。-s和c就是2.2节推导出的系数，右端项来自参考点坐标。lstsq返回的最小二乘解在观测相互矛盾时仍然给一个在平方误差意义下最优的点，但不会告诉你这个点靠不靠谱，所以要用rank判断方程的秩。

参数上需要注意三件事。第一，azis必须和refs一一对应，顺序错位会直接解出错误坐标；第二，角度单位必须是弧度，如果题目给的是角度制，要先统一转换；第三，rcond=None是让 NumPy 自动选择截断奇异值的阈值，但在参考点近似共线时这个默认值可能不够敏感，建议后续配合条件数一起检查。

3.2 高斯牛顿迭代：角度残差的跳变怎么处理

伪线性最小二乘在噪声较小时已经能用，但它的误差分配不均衡，远离参考点的方向会被放大。更常见的做法是在伪线性解的基础上做一步高斯牛顿迭代，目标是最小化真实角度残差：

[ \min_p \sum_i \left[ \mathrm{wrap}(\arctan2(p_y!-!y_i,\ p_x!-!x_i) - \theta_i) \right]^2 ]

这里wrap是关键，它把角度差折到负180度到正180度，避免“350度与10度实际差20度却被算成340度”这种跳变。角度残差对位置参数的偏导数也可以直接写出来：目标点相对参考点的距离为 (d)，方向为 (\phi)，则残差对x的偏导是 (-\sin\phi / d)，对y的偏导是 (\cos\phi / d)，也就是视线方向旋转90度再除以距离。这个雅可比矩阵的计算在工程实现里非常常用。

下面给出带高斯牛顿迭代的完整求解器：

def solve_gn(refs, azis, p0=None, max_iter=30, tol=1e-9): """ 先伪线性求初值，再高斯牛顿迭代优化角度残差。 返回: 最终位置估计 (x, y) """ if p0 is None: p0 = solve_linear_least_squares(refs, azis) p = np.array(p0, dtype=float) for _ in range(max_iter): r = [] J = [] for (xr, yr), theta in zip(refs, azis): dx = p[0] - xr dy = p[1] - yr obs = np.arctan2(dy, dx) # 角度残差折叠到 [-pi, pi] diff = (obs - theta + np.pi) % (2.0 * np.pi) - np.pi r.append(diff) d2 = dx * dx + dy * dy if d2 < 1e-12: d2 = 1e-12 # 防止除零 J.append([-dy / d2, dx / d2]) r = np.array(r) J = np.array(J) delta = np.linalg.lstsq(J, -r, rcond=None)[0] p = p + delta if np.linalg.norm(delta) < tol: break return p

这个函数把伪线性解当作初始值，然后迭代修正，直到位置增量小于tol。为什么不用随机初始化？因为纯方位定位的误差曲面存在局部极小点，用伪线性解做初值能保证绝大多数情况下落在正确收敛域内。max_iter一般设20到30就够，高斯牛顿在近线性条件下收敛非常快；tol设1e-9是为了让解的精度远高于实际测量误差。

3.3 参数表：一个可以照抄的调试配置

这里最容易被忽略的是“参考点数量”。有的题目里只给两个参考点，需要先用几何条件判断能否定位，再决定是直接计算还是换算法。两个参考点确实可以交会出唯一位置，但对噪声极其敏感，任何一个角度误差都会被基线长度放大，实务中至少要三个参考点才稳定。

4. 圆形编队里的核心：用结构约束减少定位歧义

B题一般给的不是任意分布的无人机，而是带强几何结构的圆形编队。这种结构既是约束也是解题线索，这一章专门讨论圆阵下哪些量可观、哪些量不可观，以及如何用圆周约束排除错误解。

4.1 均匀圆形编队的几何关系与编号顺序

常见的编队描述是：0号无人机位于圆心O，其余1到N号无人机均匀分布在半径为R的圆周上，编号按圆周方向递增。两架相邻圆周无人机对应的圆心角固定为：

[ \Delta\theta = \frac{2\pi}{N} ]

如果编号 (k) 的无人机与某一已知基准之间的圆心角序号差是 (m)，那么它在圆上的理论方位是 (\theta_k = \theta_1 + (k-1)\Delta\theta)。这个关系本身不直接给出坐标，因为整个圆阵可能还有一个整体旋转角 (\delta) 未知。但只要题目给出任意一架圆周无人机的绝对坐标，(\delta) 就被固定了，其余圆周无人机可以立刻用极坐标得到：

[ x_k = x_0 + R\cos(\theta_1 + (k-1)\Delta\theta), \quad y_k = y_0 + R\sin(\theta_1 + (k-1)\Delta\theta) ]

这个结论很重要，它意味着圆形编队的定位本质上不是“21个独立未知数”，而是“一个整体旋转角加少数几个待定值”的降维问题。很多参赛者一上来就把所有无人机坐标都当作未知变量，方程规模大而且容易陷入局部解，这属于把简单问题复杂化了。

4.2 全局平移、旋转和缩放：纯方位测量的三个不可观方向

纯方位观测天然丢失三类信息：整体平移、整体旋转、整体缩放。平移由参考点的绝对坐标决定，缩放通常由半径R固定住，真正棘手的是旋转。

举一个最典型的例子：如果只有一架圆周无人机1号已知，那么整个圆周编队绕圆心旋转任意角度后，所有相邻无人机之间的相对方位角完全不变。也就是说，就算你有无穷多条角度观测，也无法确定这个编队在绝对空间里朝哪个方向。这个问题不是算法能解决的，是信息本身不够。

解法只有两种：要么题目已经给出0号圆心坐标和某圆周无人机的绝对方位，要么通过控制指令让编队建立绝对方向基准。在建模时需要做的就是检查题目给出的已知量到底锁住了几个自由度：圆心坐标锁平动，半径锁缩放，一个圆周参考点锁旋转。对应关系明确后，就可以判断哪些无人机可以直接算、哪些还需要额外条件。

4.3 圆周约束如何破除镜像歧义

当目标无人机在圆周上，且参考点信息不足以唯一确定它的位置时，角度观测通常给出两个关于参考点连线对称的候选解，这两个解的角度残差是完全一样的。单纯靠最小二乘法分不出谁对谁错。

这时圆周半径R就是最强的先验约束。把两个候选解分别代回圆周方程 ((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2)，通常只有一个是满足的。更稳妥的做法是定义一个带约束的代价函数：

[ \min_{p} \sum_i \mathrm{wrap}^2(\cdot) + \lambda \left( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 - R^2 \right)^2 ]

其中 (\lambda) 是约束权重。实现时不需要真的写这个式子，我的习惯是先用无约束最小二乘得到所有候选点，再用圆周方程筛选。这个方法简单、可解释性强，答辩时也容易讲清楚。

4.4 从二维圆阵到三维定位：增加俯仰角后发生了什么

竞赛题原文虽以二维为主，但很多派生问题会问“如果无人机不在同一高度怎么办”。三维纯方位定位需要两类角度：水平方位角 (\alpha) 和俯仰角 (\beta)。视线方向单位向量为：

[ u_i = (\cos\beta_i\cos\alpha_i,\ \cos\beta_i\sin\alpha_i,\ \sin\beta_i) ]

定位方程依然是“目标点减去参考点后与视线方向共线”：

[ u_i \times (p - a_i) = 0 ]

展开后每个参考点提供两个独立的伪线性方程，因此三维最少需要三个非共线参考点才能锁定目标。实现上完全可以把2.2节的A矩阵直接升级为6行以上的形式，求解方法仍然是最小二乘加高斯牛顿。如果只测水平方位角而没有俯仰角，三维问题会退化成一条射线，位置完全不可观，这一点在建模时务必写清楚。

5. 避坑：纯方位无源定位最常翻车的五个问题

这一章全部来自实际操作里踩过的坑。每一条都按“现象、原因、解决”的结构写，方便你在比赛现场直接对着排查。

5.1 角度基准不统一，结果整体旋转或镜像翻转

现象：算出来的无人机位置相对真实位置不是绕圆心转了一个固定角度，就是沿某条轴镜像对称，距离看起来差不多，但方向完全不对。 原因：有的参考机输出的是地理方位角，有的输出的是数学方位角，代码里没有统一；或者题目给的方位角以机头方向为基准，而你用了地面坐标系。 解决：建一个角度约定校验函数，用一架已知位置无人机回代。把它的真实坐标代入观测方程算理论方位角，和题目给的方位角对比，差值应当为0或接近0。如果不为0，检查是不是差了90度、180度或者符号相反。

5.2 参考点近似共线，方程秩亏却不报错

现象：lstsq返回了一个坐标，残差也很小，但结果离真实位置差出上百米，而且换一组初始值结果完全不同。 原因：参考点几乎共线时，矩阵奇异值很小，但还没有小到让rank直接减一，最小二乘解被噪声主导。 解决：在求解器里显式检查矩阵条件数，用np.linalg.cond(A)提前判断。条件数大于1e6时别用普通最小二乘，改用带Tikhonov正则化的版本，或者在代价函数里加位置先验约束。

5.3 高斯牛顿收敛到错误局部解

现象：理论上3个参考点就能定位，但迭代结果有时正确、有时跳到另一个明显不合理的点。 原因：初始值落在误差曲面错误谷底，对纯方位问题来说，最常见的就是镜像解区域。 解决：用多个初始值做并行计算，伪线性解作为第一个初始值，再加入两个镜像候选作为备用初始值，最后比较各解的角度残差平方和，选最小的那个。这个方法会增加一点计算量，但能几乎彻底消除收敛到镜像解的问题。

5.4 编队绕圆心旋转，相对角度全部不变却被当成新信息

现象：角度观测数量很多，矩阵方程也满秩，但所有无人机坐标对应多个不同的整体朝向，模型无法分辨。 原因：把“相对方位角”误当成了“绝对方位角”。圆形编队整体旋转时，每两架无人机之间的相对角度保持不变，所以观测方程根本不包含绝对旋转信息。 解决：把旋转角 (\delta) 显式建模成未知参数，然后检查已知参考点能否约束它。如果参考点只给了一个圆心坐标，那旋转自由度必定无法从角度观测中恢复，必须在题目条件里找额外的绝对方向信息。

5.5 粗差没有剔除，最小二乘被一个错误角度拖偏

现象：大部分参考点视线交汇在合理区域，但最终解偏了好几公里；画图时发现只有一条视线方向完全不对。 原因：题目数据里可能存在个别无人机的方位角标号错误或粗大误差，最小二乘没有鲁棒性，一个粗差就能把结果拖走。 解决：先做一次预定位，计算每个参考点的角度残差，把残差大于3倍中位绝对偏差的观测标记为粗差并剔除，再重新解算。实现时用中位数而不是均值来估计残差尺度，因为均值本身会被粗差污染。

6. 用残差自检把结果做扎实：留一角交叉验证法

算出来的坐标不是终点，还要用一套能说服评委和自己的验证方法。我的习惯是每个定位结果都必须过三个自检指标，再去写进论文。

第一个指标是角度残差平方和，把求得的坐标代回观测方程，反推每个参考点应有的方位角，与实测方位角的差折叠到负180度到正180度，再算平方和。残差平方和应当和测量噪声水平一致，如果大出数量级，基本说明解不正确。第二个指标是最大单角残差，它用来抓粗差——单个残差明显大于其他残差时，大概率是某条观测标号对错了。第三个指标是位置后验误差，用残差协方差传播近似估计，虽然粗糙，但能给出一个“定位精度大概在几十米”的直观量级。

留一角交叉验证的做法是：把参考点分为两组，先用其中 (n-1) 个点定位，再用剩下的那一个点做独立验证，比较它实测方位角与预测方位角的差值。遍历每个参考点执行一遍，得到一组角度残差。这比单纯看拟合残差更诚实，因为被验证的点没有参与解算，角度差完全反映了模型泛化能力。比赛时把这个过程写成一张小表，列为最终成果的一部分，比单纯堆公式更有说服力。

这段代码可以直接嵌进论文附录：

def leave_one_out_residual(refs, azis, solver=solve_gn): residuals = [] for i in range(len(refs)): refs_tr = np.delete(refs, i, axis=0) azis_tr = np.delete(azis, i, axis=0) p = solver(refs_tr, azis_tr) xr, yr = refs[i] pred = np.arctan2(p[1] - yr, p[0] - xr) diff = (pred - azis[i] + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi residuals.append(diff) return np.array(residuals)

这里的逻辑是逐个留出参考点做验证，最后得到一组与定位解算无关的独立残差。比赛中如果题目给的参考点数不多，可以只留一个点做验证，这本质上是一种高效的模型检查手段，也适合作为论文第三问的精度分析材料。

算完这些指标，我一般还会做一件很朴素的事：把参考点、实测视线、预测位置画在同一张图上，用肉眼确认所有视线确实都交汇在结果附近。这个方法看起来很土，但真的能发现各种数字检查不出来的坐标代换错误和编号错位。定位问题最终是几何问题，几何直觉永远是最后一道防线。希望这篇拆解能帮到你。

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