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简介：这份资料是中山大学2014学年第3学期量子力学（A卷）期末试卷的PDF，由贺彦章老师命题，闭卷考试、时长120分钟，共5道大题、满分100分，面向物理专业本科生及备考量子力学的学习者，可用于考前自测与题型梳理。资源包仅含1个PDF文件，约339KB，正文完整呈现试题与详细解答，包括一维粒子测量后波函数的推导、撤销势场后动量分布函数的傅里叶变换求解，以及对称势场中奇偶宇称本征态、束缚态判据和第一激发态谐振子归一化、最可几位置、位置与动量期望值、测不准关系的完整演算过程。解答按步骤展开推导，选做讨论部分亦有涉及，便于对照理解波函数、不确定性原理与薛定谔方程的应用思路。目前已有51人学习，适合需要真题演练与解题过程参考的读者。

1. 一份旧试卷里藏着的量子力学“黑匣子”：为什么测量会改写波函数

量子力学最反直觉的地方，不是薛定谔方程本身，而是“测量”这个动作。一份 2014 年的本科期末 A 卷，第一题就把这个矛盾摆到了台面上：一个一维粒子在某个势场中运动，t=0 时刻测量发现它出现在 x=0 位置，求测量之后的波函数。答案只有一行——δ(x)。这行答案背后，是量子力学里最容易被当成玄学糊弄过去的一步：测量不是被动读取，而是把态“投影”到一个确定位置上。很多人背过“波函数坍缩”四个字，却说不清它到底对应什么数学操作、为什么撤销势场后动量分布会变成均匀的。这份试卷的价值，恰恰在于它用五道大题把波函数、宇称、谐振子、自旋与干涉串成一条线，逼着人从“会算”走到“知道为什么这么算”。搞懂这套题的底层机制，比刷十道同类题更能建立对量子力学的直觉。

2. 测量与动量分布：δ 函数为什么能推出均匀动量谱

2.1 测量后的波函数为什么是 δ(x)

第一题的第一问只有 1 分，但它是整份卷子里最“重”的一步。题目说 t=0 时刻测量发现粒子在 x=0，测量之后的波函数直接写成 ψ(x,0)=δ(x)。这里的关键不是 δ 函数长什么样，而是它代表什么物理操作。

在量子力学的公设体系里，一次理想的位置测量，对应的是把态投影到位置算符的本征态上。位置算符 x̂ 的本征态满足 x̂|x'⟩=x'|x'⟩，本征值连续，本征函数在位置表象下就是 δ(x−x')。测量得到 x=0，意味着态被投影到 |x=0⟩ 上，波函数自然就是 δ(x)。常见的实现思路是：测量仪器与系统发生纠缠，环境自由度被追踪掉之后，系统的约化密度矩阵变成对角占优，非对角项（相干项）被抹掉，剩下的就是对应测量结果的本征态。

提示：δ(x) 不是普通函数，它是一个分布。写答案时不要试图对它做常规积分，所有运算都要放在积分号下理解。

这一步之所以值得单独拎出来，是因为它解释了“坍缩”不是某种神秘力量，而是投影公设加环境退相干的结果。测量前粒子可能处于任意叠加态，测量后只留下一个本征态，相干性丢失。试卷要求“求测量之后的波函数”，本质是考你有没有把投影公设落到具体表象里。

2.2 撤销势场后的动量分布：傅里叶变换的物理含义

第二问 5 分，要求撤销势场后推导 t≥0 的动量分布函数。撤销势场意味着粒子变成自由粒子，哈密顿量只剩动能项。自由粒子的动量本征态是平面波，所以把位置表象的波函数变换到动量表象，就是做傅里叶变换：

import numpy as np # 位置表象波函数：测量后为 delta(x)，离散化后用窄高斯近似 # 这里演示动量分布的计算思路，不是试卷原题的数值解 N = 4096 L = 50.0 x = np.linspace(-L/2, L/2, N, endpoint=False) dx = x[1] - x[0] # 用宽度极小的高斯近似 delta(x)，sigma 越小越接近理想测量 sigma = 0.01 psi_x = np.exp(-x**2 / (2 * sigma**2)) psi_x /= np.sqrt(np.sum(np.abs(psi_x)**2) * dx) # 归一化 # 动量表象：对位置波函数做傅里叶变换 # 约定 p = hbar * k，这里取 hbar = 1 k = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(N, d=dx) psi_p = np.fft.fft(psi_x) * dx / np.sqrt(2 * np.pi) # 动量概率密度 |psi(p)|^2，理想 delta 对应常数 prob_p = np.abs(psi_p)**2 print("动量分布近似为常数：", np.allclose(prob_p, prob_p[0], rtol=0.1))

这段代码不是试卷要求，而是把“δ(x) 的傅里叶变换是常数”这件事变成可验证的。数学上，δ(x) 的傅里叶变换是 1/√(2π)，模平方是常数，所以动量分布是均匀的。物理含义很直接：位置完全确定，动量就完全不确定，这正是不确定性原理的极端情形。试卷答案里那一串积分，核心就是 ∫δ(x)e^(−ipx/ħ)dx=1，剩下的系数都是归一化。

参数说明：σ 控制近似 δ 的宽度，越小越接近理想情况，但离散化后太小会掉采样点；N 和 L 决定动量分辨率。实际做题时不需要数值，只要写出变换式和结果即可。这里用代码是为了让你看到“均匀动量谱”不是背出来的结论，而是傅里叶变换的直接后果。

2.3 选做部分的讨论：为什么这题值得深挖

第三问带星号，要求讨论分析。常见的讨论方向是：理想位置测量在物理上不可实现，因为 δ 函数不是平方可积的，真实测量总有有限分辨率，对应一个窄波包而不是严格 δ。窄波包的动量分布是一个宽但有限的分布，宽度与位置宽度成反比。这个讨论把理想模型和真实实验连起来，也是很多教材点到为止、考试却爱考的地方。

我一般会这么理解：这道题表面考计算，实际考的是“测量公设 + 傅里叶变换 + 不确定性原理”三件事的串联。能把这三件事说成一条因果链，才算真正过了第一题。

3. 对称势场与宇称：奇宇称本征态是怎么被边界条件逼出来的

3.1 定态薛定谔方程的化简与分段

第二题 31 分，是一维对称势场：|x|≤a 时 U=0，|x|>a 时 U=U₀，中间还有一个 δ 型或阶跃型的结构（试卷原文有排版损失，但核心是对称势阱加势垒）。第一问要求写出定态薛定谔方程并化简，9 分。

定态薛定谔方程是：

− (ħ²/2m) d²ψ/dx² + U(x)ψ = Eψ

在 |x|≤a 区域 U=0，方程化为 d²ψ/dx² + k²ψ = 0，其中 k=√(2mE)/ħ。在 |x|>a 区域 U=U₀，方程化为 d²ψ/dx² − κ²ψ = 0（当 E<U₀），其中 κ=√(2m(U₀−E))/ħ。试卷答案里出现的 k 和 κ 就是这两个波数。

这里的设计动机是：对称势场让方程在 x→−x 变换下不变，所以解可以按宇称分类。偶宇称满足 ψ(−x)=ψ(x)，奇宇称满足 ψ(−x)=−ψ(x)。把解分成奇偶两类，能把一个二阶微分方程的问题拆成两个更简单的问题，边界条件在 x=0 处自动简化：偶宇称的导数为零，奇宇称的值为零。

3.2 奇宇称本征态的构造：sin 与 e^(−κx) 的拼接

第二问 12 分，E>0 时求奇宇称本征态波函数。试卷答案给出的形式是：

ψ(x) = C e^(κx), x < −a ψ(x) = B sin(kx), −a ≤ x ≤ a ψ(x) = D e^(−κx), x > a

奇宇称要求 ψ(0)=0，所以阱内只能取 sin(kx)，cos 项被排除。阱外取指数衰减形式，保证波函数在无穷远趋于零（束缚态情形）。系数 B、C、D 由 x=±a 处的连续性条件确定：波函数连续、导数连续（或按 δ 势的导数跃变条件）。

常见的实现思路是：先写通解，再用宇称条件砍掉一半系数，最后用两个边界点的连续性列方程。试卷提示“不需要确定波函数的振幅”，意思是只要求出函数形式和允许条件，不用把归一化常数算出来。这一步的难点不在积分，而在边界条件的符号和跳跃项，稍不留神就会把奇宇称的导数条件写反。

3.3 奇宇称态允许存在的条件：超越方程从哪来

第四问 4 分，推导奇宇称态允许存在的条件。试卷答案给出的是：

κ = −k cot(ka)

这个式子来自 x=a 处的对数导数匹配。把阱内 sin(kx) 和阱外 e^(−κx) 在 x=a 处分别求对数导数，令它们相等：

(1/ψ) dψ/dx |(x=a⁻) = k cot(ka) (1/ψ) dψ/dx |(x=a⁺) = −κ

两者相等就得到 κ = −k cot(ka)。再结合 k 和 κ 的定义 k²+κ²=2mU₀/ħ²，就得到一个只含 k 的超越方程。这个方程没有解析解，只能数值求解或作图找交点。交点存在与否，决定了奇宇称束缚态是否存在。

这里的设计取舍很典型：对称势场把问题降维，但降维之后仍然逃不掉超越方程。试卷要求“推导条件”而不是“解出能级”，就是在考你有没有理解条件的来源。常见的翻车点是忘记 κ 和 k 的定义关系，只写出一个方程就停手，实际上需要两个方程联立才能说明“允许存在”的含义。

3.4 非束缚态的证明：波函数为什么不趋于零

第五问 4 分，E>U₀ 时证明解不是束缚态。试卷答案的逻辑是：势阱内波函数是三角函数，在边界 x=±a 处波函数及其导数不同时为零，根据连续性条件，外侧系数 C 和 D 不同时为零，所以 ψ 在无穷远不趋于零，不是束缚态。

这个证明的关键在于“束缚态”的定义：波函数平方可积，在无穷远趋于零。E>U₀ 时，外侧解变成振荡形式 e^(±ik'x) 而不是衰减形式 e^(−κx)，无论系数怎么取，波函数在无穷远都在振荡，不可能平方可积。试卷用“不同时为零”来论证，本质是在说连续性条件不允许你把外侧解全部消掉。

注意：这里容易混淆“E>0”和“E>U₀”。E>0 只说明是散射态，E>U₀ 才说明越过势垒。试卷第二问和第五问的能量条件不同，答案形式也不同，读题时要盯紧。

4. 谐振子期望值：第一激发态为什么让动能和势能各占一半

4.1 归一化系数与最可几位置

第三题 50 分，一维谐振子处在第一激发态 ψ(x,t)=A x e^(−α²x²/2) e^(−iωt/2)。第一问求归一化系数 A，7 分。利用 ∫|ψ|²dx=1，把 A 提出来，剩下高斯积分 ∫x²e^(−α²x²)dx=√π/(2α³)，解得 A=√(2α³/√π)（试卷答案写作 (2/√π)^(1/2) α^(3/2) 的形式）。

第二问求最可几位置，7 分。最可几位置是概率密度 |ψ|² 的极大值点。对 |ψ|²=A²x²e^(−α²x²) 求导令其为零，得到 x=0 或 x=±1/α。x=0 处概率密度为零（因为第一激发态在原点有节点），所以最可几位置是 x=±1/α。这一步考的是“最可几”和“期望值”的区别，很多人会直接把期望值 0 当成最可几位置，翻车。

4.2 位置与动量期望值为什么都是零

第三问和第四问分别求 ⟨x⟩ 和 ⟨p⟩，各 7 分。两个结果都是零，原因不同。⟨x⟩=0 是因为 |ψ|² 是偶函数，x|ψ|² 是奇函数，对称区间积分为零。⟨p⟩=0 是因为动量算符 −iħ d/dx 作用在实波函数上得到纯虚函数，与实波函数相乘后积分是纯虚数，而期望值必须是实数，所以只能为零。试卷答案里用“奇函数”一笔带过，但背后的对称性论证值得写清楚。

这里的设计动机是：谐振子的第一激发态不是基态，但它的位置和动量期望值仍然为零，说明“期望值为零”不等于“粒子在原点”。第一激发态的概率密度在原点为零，粒子最可能在 ±1/α 附近，但正负对称抵消了期望值。这个区别是理解量子谐振子相空间分布的关键。

4.3 动能与势能期望值：各占一半的由来

第五问和第六问分别求 ⟨T⟩ 和 ⟨U⟩，各 8 分和 7 分。试卷答案给出 ⟨T⟩=3ħω/4，⟨U⟩=3ħω/4，两者相等，总和 3ħω/2，正好是第一激发态的能量 E₁=(3/2)ħω。

这个“动能势能各占一半”不是巧合，而是谐振子本征态的一般性质（维里定理的特例）。对谐振子，⟨T⟩=⟨U⟩=E_n/2 对所有本征态成立。第一激发态 E₁=3ħω/2，所以各为 3ħω/4。试卷要求“根据期望值的定义”求，就是让你老老实实做积分，而不是直接套维里定理。积分过程中会用到高斯矩 ∫x⁴e^(−α²x²)dx=3√π/(4α⁵) 和 ∫x²e^(−α²x²)dx=√π/(2α³)，试卷提示里给了这两个积分，说明出题人知道计算量在哪。

4.4 测不准关系：为什么乘积大于 ħ/2

第七问求 Δx 和 Δp 的乘积，7 分。试卷答案给出 Δx²=3/(2α²)，Δp²=3ħ²α²/2，乘积 ΔxΔp=3ħ/2，大于 ħ/2。这里 α²=mω/ħ，代入后 ΔxΔp=3ħ/2。

这个结果说明第一激发态不是最小不确定态。最小不确定态是基态，ΔxΔp=ħ/2。第一激发态的乘积是 3ħ/2，比下限大。试卷要求“求测不准结果”，本质是考你有没有把 Δx 和 Δp 的定义算对：Δx²=⟨x²⟩−⟨x⟩²，Δp²=⟨p²⟩−⟨p⟩²。因为 ⟨x⟩=⟨p⟩=0，所以 Δx²=⟨x²⟩，Δp²=⟨p²⟩。⟨x²⟩ 和 ⟨p²⟩ 又分别与 ⟨U⟩ 和 ⟨T⟩ 挂钩，所以这一问和前面两问是同一套积分的复用。

提示：算 Δp² 时不要忘记动量算符的平方作用在波函数上会产生两项，一项来自二阶导数，一项来自一阶导数的平方。漏掉交叉项是常见错误。

5. 自旋与空间分离、Mach-Zehnder 干涉：二态系统怎么把相位变成粒子数差

5.1 瞬变磁场中的氢原子：波函数为什么能写成乘积形式

第四题 5 分，哈密顿量 H=H₀−μ₀σ·B(t)，H₀ 与自旋无关，H_B 与空间坐标无关。要求证明波函数可以写成空间函数与自旋函数之积，并写出它们满足的波动方程。

证明的核心是：H₀ 只作用在空间部分，H_B 只作用在自旋部分，两者对易。把 ψ(r,σ_z,t)=φ(r,t)χ(σ_z,t) 代入薛定谔方程，两边除以 φχ，得到空间部分和自旋部分分别等于常数，于是方程分离成两个独立的方程：

iħ ∂φ/∂t = H₀φ iħ ∂χ/∂t = −μ₀σ·B(t)χ

这个分离的物理含义是：当哈密顿量可以写成“空间算符 + 自旋算符”且两者对易时，空间自由度和自旋自由度不纠缠，波函数可以因式分解。常见的实现思路是：先验证对易性，再假设乘积形式，代入后分离变量。试卷提示“H₀ 与自旋无关，H_B 与空间坐标无关”，就是在给你对易性的线索。

5.2 Mach-Zehnder 干涉：分束器算符的矩阵表示

第五题 8 分，基于二态粒子的 Mach-Zehnder 干涉。分束器算符 U 对态的作用是：

U|↓⟩ = (|↓⟩+|↑⟩)/√2 U|↑⟩ = (|↓⟩−|↑⟩)/√2

第一问求 U 的矩阵表示。设 U=[[a,b],[c,d]]，用基矢 |↓⟩=(1,0)^T，|↑⟩=(0,1)^T，代入上面两式，解得 U=(1/√2)[[1,1],[1,−1]]。这个矩阵是厄米的也是幺正的，对应一个 Hadamard 门。试卷答案里写的 [[1,1],[1,−1]]/√2 就是这个。

这里的设计动机是：分束器在二态系统里就是一个 50:50 的混合操作，矩阵形式固定，和光学分束器的透射反射系数对应。把物理器件抽象成算符，是量子信息处理的标准做法。

5.3 自由演化相位与布局数差

第二问求自由演化 T 时间后的相对相位。哈密顿量 H=(ħω/2)σ_z，演化算符是 exp(−iHT/ħ)=diag(e^(−iωT/2), e^(iωT/2))。初始态是 (|↓⟩+|↑⟩)/√2，演化后两个分量分别带上 e^(−iωT/2) 和 e^(iωT/2)，相对相位 φ=φ_↑−φ_↓=ωT。试卷答案里写成 −ωT 还是 ωT 取决于相位定义顺序，关键是相对相位的绝对值是 ωT。

第三问求末态布局数差 ΔP=P_↑−P_↓。经过第二个分束器后，末态是：

ψ_f = U · diag(e^(−iωT/2), e^(iωT/2)) · U |↓⟩

算出来 ψ_f 的两个分量分别是 i sin(ωT/2) 和 cos(ωT/2)（符号可能因约定不同），所以 P_↑=sin²(ωT/2)，P_↓=cos²(ωT/2)，ΔP=sin²−cos²=−cos(ωT)。试卷答案给出 ΔP=−cos(ωT) 或等价形式。

这个结果的物理含义是：干涉仪把相位信息编码到粒子数差里，粒子数差随相位振荡。这就是量子计量的基本逻辑：相位不能直接读，但可以通过干涉转成可观测的布居数差。常见的实现思路是：把整个序列写成矩阵连乘，最后取模平方。翻车点通常在相位符号和矩阵乘法顺序，分束器矩阵乘错顺序会得到相反的振荡曲线。

6. 从这份卷子看量子力学教学的设计取舍

这份 2014 年的 A 卷有一个很明显的编排逻辑：五道题从“测量公设”到“对称性”，到“谐振子代数”，到“自旋分离”，再到“二态干涉”，难度和抽象层次逐级上升。第一题用 δ 函数逼你面对测量问题，第二题用对称势场逼你处理边界条件，第三题用谐振子逼你做完整积分，第四题用自旋分离逼你理解对易性，第五题用干涉仪逼你把算符和可观测量连起来。每一题都不是孤立知识点，而是前一道题的机制在更高层次上的复用。

从设计取舍看，出题人没有追求“偏题怪题”，而是把标准模型反复换场景。比如第三题的期望值计算，本质是高斯积分加算符作用，但换到第一激发态，就多出了“最可几位置不等于期望值”和“测不准乘积大于下限”两个反直觉点。第五题的分束器矩阵，本质是二维幺正矩阵，但套上干涉仪背景，就变成了相位估计的物理实现。这种“同一机制换壳”的出题方式，对理解底层逻辑的人很友好，对只会背题型的人很不友好。

如果要用这份卷子做自测，我建议按机制而不是按题号来刷：先把“测量→投影→傅里叶变换”这条链走通，再把“对称势→宇称→边界条件→超越方程”这条链走通，然后把“谐振子→高斯积分→期望值→测不准”这条链走通，最后把“自旋分离→二态矩阵→干涉→布居数差”这条链走通。四条链走完，你会发现这份卷子其实只在讲一件事：量子力学的每个结论，都能从公设加数学推导出来，没有哪一步是玄学。

从那以后我每次看到“波函数坍缩”这种说法，都会强制自己把它翻译成“投影到本征态加相干性丢失”，再检查一遍边界条件和归一化。这份卷子里的解答虽然排版有损失，但推导链条是完整的，适合拿来对着自己的思路逐行核对。希望帮到你。

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