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1. 一阶低通滤波用在位移法里，到底解决什么问题

做单片机项目的人，八成都在某个时刻对着示波器上毛刺乱跳的位移曲线发过愁。用编码器读轮子位置，波形里全是高频毛刺；用加速度计积分出位移，曲线漂得连亲妈都不认识；用激光测距模块读障碍物距离，偶尔蹦出一个离谱的跳变。这类问题，我第一个想到的算法就是一阶低通滤波。

一阶低通滤波大概是所有信号处理算法里性价比最高的一招。它不需要矩阵运算，不需要FFT，不占用多少Flash和RAM，一个变量存上一次输出，每次采样做一次加法和一次乘法，就完成了一次滤波。在8位单片机上都跑得动，在Cortex-M系列上更是零压力。而“位移法”这个场景，恰好是把一阶低通滤波价值体现得最充分的地方之一：位移信号本身是低频主导的物理量，而传感器采集过程中叠加的高频噪声、量化噪声、机械振动干扰，全部落在高频段。一个简单的低通滤波器，就能把这两类成分干净利落地分开。

这篇文章我想从数学原理讲到实际代码，再讲到我调参时踩过的坑。内容覆盖浮点实现、定点实现、截止频率计算、采样率选择、相位滞后等问题。适合正在做编码器测距、加速度积分位移、超声波/激光测距滤波、以及平衡车或机械臂位置闭环的朋友参考。如果你只是想让抖动的位置数据变得平滑，同时又不想引入复杂的卡尔曼滤波，那这篇文章应该能给你一套直接能用的方案。

需要先说清楚的是：一阶低通滤波不是万能药。它是一把刀，用好了切菜，用不好切手。尤其在位移法这种场景下，它有一个非常显著的副作用叫相位滞后，搞不好会让你的闭环系统直接震荡。我后面会专门讲这部分。

2. 一阶低通滤波的原理，用大白话拆开揉碎

2.1 从微分方程到一行代码

一阶低通滤波器的连续域传递函数，玩过自动控制的人应该都见过：

H(s) = 1 / (1 + s·τ)

其中τ是时间常数。把它离散化，最常用的是一阶后向差分，最后得到的就是这个递推式：

y[n] = y[n-1] + α · (x[n] - y[n-1])

这里x[n]是当前采样值，y[n]是当前滤波输出，y[n-1]是上一次的输出，α是滤波系数，取值在0到1之间。这一行代码就是整个一阶低通滤波的全部秘密。

它做的事情可以这样理解：每次采样，新的输出等于上一次的输出，然后往当前输入的方向挪动一小步。α越大，挪动的步子越大，跟踪越快，滤波越弱；α越小，挪动的步子越小，输出越平滑，但响应越迟钝。α=1的时候相当于直通，α=0的时候输出恒为初值不再变化。

从频域看，α对应的截止频率大致可以这样估算：

fc ≈ α / (2π·Ts)

其中Ts是采样周期。这个公式是近似值，当α比较小的时候精度尚可，α接近1时会有明显误差，但用于工程选参已经足够。后面我会讲更精确的计算方式。

2.2 为什么它能把毛刺滤掉

我习惯用一个比喻来解释低通滤波：它像是一个“有惯性的水龙头”。你拧开水龙头，水流不会瞬间达到最大，而是慢慢变大；你关掉它，水流也不会瞬间归零，而是慢慢变小。高频信号意味着变化快，水体还没来得及反应，下一波变化又来了，所以高频成分被平均掉了；低频信号变化慢，水体有足够时间跟上，所以低频成分基本保留。

落到位移数据上就是这样的场景：轮子真正在往前移动时，位移曲线是一条缓慢变化的斜线，这是低频成分；而码盘读数因为机械振动、编码器码道脏污、电磁干扰产生的跳变，是叠加在平滑曲线上的高频尖峰。一阶低通滤波让高频尖峰被“平均掉”，输出的曲线就是一条干净的趋势线。

2.3 位移法的特殊性：低频是主料，高频是噪声

位移或者位置信号，和加速度信号有本质区别。加速度计在振动测试里测的本身就是高频振动，加速度信号里有大量有效高频成分，但对它做低通滤波往往损失掉关键信息。位移不一样，无论是小车的位置、机械臂的关节角、还是平台的高度，有效信息基本都集中在低频段。哪怕是快速的往返运动，主频通常也在几赫兹以内。

所以位移法场景里，高频成分大概率是噪声，低频成分大概率是有效信号，这正好把一阶低通滤波的长处发挥到极致。这也是为什么在很多位移测量项目中，一个简单的一阶低通滤波就能让数据质量提升一个档次，而不需要上卡尔曼或者滑动平均滤波。

3. 位移法的完整数据链路：滤波该放在哪个位置

3.1 位移数据的三种典型来源

做位移测量，常见的数据来源有三类，它们的噪声特性完全不同，滤波策略也有差异。

第一类是编码器/码盘。增量式编码器输出脉冲，单片机计数得到位置。它的噪声主要来自码盘振动导致的边沿抖动、计数方向切换时的毛刺、以及电磁干扰。这类信号的特点是：低频位移真实可信，高频毛刺幅度通常不大，滤波需求中等。

第二类是激光测距/超声波测距。这类传感器读取距离值，噪声来源包括目标表面反射不均匀、多径效应、环境光干扰、以及偶尔的彻底丢包。超声波测距还特别容易在温度变化时产生偏移。这类数据的噪声往往是脉冲型的，一个异常值能跳出去好几厘米。

第三类是加速度计二次积分。这是最麻烦的一种。加速度计输出经过两次积分得到位移，低频漂移和零偏会被积分放大，几乎没有直流的可信度，只能提取一段时间内的相对位移变化。这里如果只用一阶低通，结果通常很难看，需要配合高通滤波来压制漂移。

3.2 滤波位置的选择：前置、后置还是环路内

滤波放哪里，直接影响系统行为。我见过很多新手把滤波加在传感器读取之后、控制算法之前，这是最常见的做法，也基本合理。但要注意的是，滤波同时引入了相位滞后，而控制回路内的相位滞后是稳定性的大敌。

这里有一个实践原则：如果滤波器放在开环的测量显示链路上，滞后一点无所谓，平滑最重要；如果滤波器放在闭环反馈回路里，滞后就是致命伤，必须在平滑度和截止频率之间做严格权衡。

举个例子。我做某机器人的位置闭环时，检测轮子位移用的是编码器，PID输出控制电机。一开始我把一阶低通截止频率定在2Hz，位置曲线确实漂亮得不带一点毛刺，但电机响应明显“黏糊”，系统在高速往返时甚至发出嗡嗡的振荡声。后来我把截止频率提到20Hz，毛刺稍微多了一点，但系统稳定性完全恢复。这个教训让我明白：滤波参数不是单独看曲线好不好看，要和整个系统的带宽一起考虑。

3.3 加速度积分场景里为什么低通不够用

如果你是用加速度计积分得到位移，那先给你泼盆冷水：单靠一阶低通滤波，救不了积分漂移。

加速度计存在零偏，哪怕只有几十毫克级别的微小偏移，积分一次变成速度斜坡，再积分一次就变成抛物线型的位移漂移。低通滤波对低频漂移几乎没有压制能力，因为漂移本身是低频甚至直流分量。所以在做加速度积分位移时，正确的做法通常是带通处理思路：用高通滤波器去掉低频漂移，用低通滤波器去掉高频噪声，只保留某个频段内的相对位移变化。

具体到工程上，高通滤波可以用类似的递推式实现，y[n] = α·(y[n-1] + x[n] - x[n-1])，高通和低通配合起来，效果就比单独低通强很多。这个思路在很多惯性测量项目里是标配，我在第四部分还会提到。

4. 单片机上的C语言实现：从浮点到定点

4.1 基础浮点版本：三行代码的事

假设你用的是带FPU的单片机，比如Cortex-M4F或者M7，直接用浮点就行。代码非常简单：

typedef struct { float output; float alpha; } LowPassFilter; float lowpass_filter_update(LowPassFilter *f, float input) { f->output = f->output + f->alpha * (input - f->output); return f->output; }

初始化的时候把alpha设置好，output设置为第一次输入值，之后每次新采样进来调用一次_update函数，拿到的返回值就是滤波后的数据。整个滤波器只占用一个结构体，4字节状态加4字节系数。

这里有一个关键细节：滤波器系数alpha需要根据采样周期Ts和期望截止频率fc来计算。常用近似式是：

alpha = 2π · fc · Ts / (2π · fc · Ts + 1)

我习惯先算好一个常量，然后硬编码进去，而不是每次运行都实时算，因为实时算涉及浮点除法，费时间也没必要。比如采样周期1ms，截止频率10Hz，2π·fc·Ts就是0.06283，代入公式得到alpha约0.0591。如果用近似式fc ≈ α/(2π·Ts)反推，得到的fc是9.4Hz，差别不大，工程上可接受。

更精确的公式是考虑离散化误差的，Tustin变换之后的计算式：

alpha = 2·π·fc·Ts / (2 + 2·π·fc·Ts)

这个更准一些。但我实测下来，大部分项目用传统近似公式就够用，因为传感器噪声和目标频率本身就不是精确参数，差个0.5Hz根本体现不出来。

4.2 定点版本：无FPU单片机上的优化写法

如果你的单片机是Cortex-M0、8051这类没有硬件浮点单元的主控，用浮点运算会让CPU负载飙升。这时候可以把alpha转成定点小数来处理。比如alpha用Q15格式，即一个16位整数代表0~1之间的小数，1对应32768：

typedef struct { int32_t output_q15; uint16_t alpha_q15; } LowPassFilterQ15; int16_t lowpass_filter_update_q15(LowPassFilterQ15 *f, int16_t input_q15) { int32_t diff = (int32_t)input_q15 - f->output_q15; int32_t product = ((int32_t)f->alpha_q15 * diff) >> 15; f->output_q15 += product; if (f->output_q15 > 32767) f->output_q15 = 32767; if (f->output_q15 < -32768) f->output_q15 = -32768; return (int16_t)f->output_q15; }

这里输入输出都规范到Q15格式，即-1.0对应-32768，+1.0对应32767。如果你需要的是毫米单位的位移，可以自己定义一个比例，比如1mm对应100个LSB，然后做好映射。这样乘法用32位中间变量，不存在溢出问题，在16位MCU上也能轻松跑。

定点版本有个坑：alpha很小的时候，diff很大，乘出来的product可能很小，多次累加才能看到变化，这在整数运算下容易产生“台阶感”。解决办法有两个：一是用Q30甚至Q31格式，把中间精度提高；二是把滤波器状态量也放大，用更高精度的定点数表示输出值。我在一个用STM8做的低成本测距项目里就遇到过这个台阶问题，后来把滤波器状态改成32位、输入输出用16位映射，台阶感就消失了。

4.3 初值和抗饱和处理：别让启动瞬间坏了整个曲线

滤波器初值怎么设，大部分教程不会说，但实际项目里特别重要。

最合理的做法是把output初始化成第一次采样值，而不是0。原因很简单：单片机开机瞬间，传感器读到的是当前真实位移，如果滤波器从0开始慢慢爬，输出需要一个过渡过程才能接近真实值，这个过程中控制程序读到的位移就是错的，轻则启动抖动，重则导致执行器猛的冲击一下。我在做电动推杆位置控制时就遇到过，开机瞬间设备猛蹿一下，就是因为滤波初值从0开始导致的。

另外，注意滤波输出的限幅。如果位移信号被用于闭环控制，输出异常大的值会导致执行器超速，所以建议在滤波函数里加输出限幅，或者至少在调用处判断范围。有些传感器偶尔会吐出错误值，幅度超出量程几倍，低通滤波会把这种异常值逐渐吸收，导致输出慢慢偏移，虽然比瞬时跳变温和，但一样会对控制产生影响。更稳妥的做法是在滤波前做一次合理性检查，数据超出物理量程直接丢弃。

再一个容易忽略的点：非均匀采样。如果你的采样周期不稳定，比如主循环里因为其他任务执行时间抖动导致采样间隔忽长忽短，滤波效果就会变差。一阶低通滤波是基于采样周期Ts计算系数的，Ts变了，实际截止频率也跟着变。最稳妥的办法是用定时器中断做固定周期采样，或者用预留时间戳的方式计算实际间隔。如果只是在主循环里顺手采样，滤波效果会时好时坏，我建议至少把采样放进定时器中断里，哪怕优先级低一点，也比在主循环里强。

5. 参数整定：截止频率到底怎么定才靠谱

5.1 先了解自己信号的频率结构

整定滤波参数，第一步是搞清楚目标信号和噪声分别处在什么频段。这步不用频谱仪，靠经验和简单测试也能估个大概。

如果你处理的是电机位置信号，先看电机最高转速是多少。比如轮子最快每秒转2圈，编码器每圈1000线，那么位置信号的主频大约在2Hz以内，急加速急减速可能到5Hz左右。这时候如果编码器读数每秒跳变几十次，那这些跳变就是高频噪声，截止频率选在10~20Hz是合理的。

如果你处理的是机械臂关节角度，关节动作一般比轮子更慢，1~2Hz已经是很快的挥舞了，截止频率可以放在5~10Hz。如果你处理的是超声波测距，目标移动速度大概每秒1米，测距更新率是20Hz，那信号带宽也就是几赫兹，但超声波数据里往往有间歇性的大尖峰，截止频率压到5Hz以下效果更好。

我在实际项目里习惯这样操作：先用一个临时工程把原始数据串口打印出来，用串口绘图工具看波形。把目标运动跑起来，肉眼估计信号的主要变化周期；然后静止放置，观察噪声毛刺的跳变频率。这两步看完，截止频率的范围基本就出来了。

5.2 采样率、截止频率和alpha的关系

alpha的计算公式我们已经写过了，实际操作时先定采样率和截止频率，再算alpha。我列一个表格，假设采样率固定为1kHz（即Ts=1ms），不同目标截止频率对应的alpha值：

如果采样率不是1kHz，那就按公式重新算。比如采样率降到100Hz，想要10Hz截止频率，2π·fc·Ts = 0.628，alpha为0.386，比1kHz采样下的0.0591大得多，滤波力度也弱得多。所以在低采样率下要获得同样的滤波效果，截止频率只能更低。

这个表格是近似值，但足够作为起点。真正要精细调，还是要靠示波器或者绘图工具观察实际效果。

5.3 实测调试的步骤和判断标准

调滤波器参数，我是这样操作的：

第一步，把滤波前后的数据同时通过串口输出，波形画在一起。滤波前的曲线毛刺多但响应快，滤波后的曲线平滑但有延迟。两条曲线叠在一起，能非常直观地看出滞后量和平滑效果。

第二步，做阶跃测试。让目标位置快速从一个值变到另一个值，观察滤波输出的过渡过程。如果输出要五六百毫秒才能跟上真实值，说明截止频率太低；如果输出依然有明显毛刺，说明截止频率太高。

第三步，也是对闭环最关键的：把滤波后的信号接入控制回路，观察系统是否有振荡。从某个截止频率开始，如果电机出现高频抖动的叫声，说明滞后太大导致系统相位裕度不足，需要提高截止频率。这个时候哪怕滤波后的曲线看起来还不够平滑，也必须以系统稳定性为准。

我自己调试时有个习惯：先选一个偏大的截止频率，比如50Hz，确认系统稳定，然后逐步降低，每次降低一半，直到出现系统抖动或数据平滑度不满意为止，再退回一档。这个“二分查找”式的调法效率很高，推荐一试。

5.4 相位滞后到底有多大的影响

一阶低通滤波在截止频率处，相位滞后大约是45度，频率越低滞后越不明显，频率越高滞后越大。如果信号主频率等于截止频率，滞后大约45度；如果信号主频率远低于截止频率，比如只有截止频率的十分之一，滞后大约只有几度，完全可以接受。但如果你把截止频率定得很低，比如1Hz，而信号里有3Hz的运动成分，那这部分信号的滞后就很大了，控制回路很容易出问题。

我在某项目里用一阶低通对编码器位移做10Hz滤波，实测滞后大概是15毫秒级别。对显示来说这个值微不足道，但对转速较快的闭环系统来说，15毫秒的相位延迟已经可能让PD控制器的微分项产生误判。所以结论是：显示和开环测量可以放心滤波，闭环控制要格外谨慎，必要时把截止频率放到信号带宽的5到10倍以上。

6. 常见问题与排查技巧实录

6.1 输出还是抖：先确认滤波真的生效了

很多人改完代码发现波形纹丝不动，第一个要检查的是alpha是不是被写成了0。alpha为0时滤波器输出完全冻结，曲线是一条直线。第二个检查点是滤波函数的调用频率是否和预期一致。如果你以为采样率是1kHz，实际主循环只跑了100Hz，那截止频率就是预期值的十分之一，滞后严重。第三个检查点是是否误把输出变量直接赋值给了输入，导致输入输出互相覆盖。

还有一个很容易被忽略的问题：数据类型的截断误差。16位整型做定点滤波时，如果alpha非常小，比如0.0063，乘以32767也就是206左右，然后右移15位，得到的增量极小，每次只有一点点的变化，如果输入变化幅度只有几十个LSB，可能根本推不动输出。这种时候就需要提高状态量的精度。

6.2 滞后太大：不是滤波的错，是参数选错了

滞后大，唯一的调整手段就是提高截止频率。但有一种情况是级联滤波导致的滞后叠加。我在一个项目里发现，数据链路里面其实叠了三个低通滤波器：传感器模块自身带一个、MCU里加了一个、显示端绘图时又平滑了一次。三个滤波器叠加，截止频率都不同，最终效果就是滞后三倍。排查方法很简单，把链路里每一个滤波点都找出来，如果不是必要就直接删掉，只保留一个。

如果确实需要更强的平滑效果，可以考虑用滑动平均滤波替代一阶低通。滑动平均滤波器在同样的平滑程度下，相位滞后通常比同截止频率的一阶低通更小，但它需要额外一段环形缓冲区存储数据。在RAM富余的单片机上，值得做这个替换。

6.3 启动瞬间输出乱跳：初值没处理好

开机时滤波器输出乱跳，几乎都是初值和限幅的问题。解决办法在4.3节已经讲过：初值用第一次采样值，开机后的前几十毫秒里不把滤波输出接入控制回路，等滤波器状态稳定后再启用。后者虽然不是滤波器本身的问题，但在工程上很实用，我在做伺服驱动器限位保护时就是这么处理的。

6.4 滤波后反而更糟：大概率是场景选错了算法

一阶低通滤波处理普通位移数据效果很好，但如果你的数据本质上是阶跃性质的，比如光电开关检测到的到位信号、限位开关的触发信号，低通滤波会把陡峭的边沿变成缓坡，这反而让系统判断“到位”的时机变慢。这种场景应该用去抖算法而不是低通滤波。

加速度计积分出位移的场景也同样。如果只做低通，漂移无法消除，整体趋势还是偏离，看起来滤波后曲线平滑了，但实际上精度更差。这时候必须上高通/低通组合，或者互补滤波。这也在前面讲过。

我把我在项目中总结的排查表放在下面，可以当做一个速查手册：

7. 我最后的一点体会

做了这么多次一阶低通滤波的工程实践，我的最大感受是：这个算法简单到几乎不配被称为“算法”，但它对参数关系的敏感度一点不亚于复杂的滤波手段。最典型的就是截止频率、采样率、相位滞后这三个参数之间的三角关系，很多人栽跟头不是因为代码写错了，而是因为没有把这三个参数放在一个系统里综合考虑。

如果你只是一个刚接触单片机的学习者，我建议你按这个顺序来掌握：先把浮点版本跑通，观察滤波前后波形；再用定点版本替换，感受性能差异；然后用一个实际的编码器测距项目做参数整定，体验一下“截止频率调低太滞、调高太毛”的纠结过程。这一个流程走完，你对低通滤波的理解就超过大多数照抄代码的人了。

另外还有一个扩展方向值得提一下：当一阶低通不够用的时候，不要急着上卡尔曼。可以先用“中值滤波+一阶低通”的组合试试，中值滤波负责剔除脉冲尖峰，低通负责平滑剩余高频。我的经验是，这个组合能解决70%的位移数据问题，而且实现比卡尔曼简单一个数量级。至于卡尔曼，等真的需要融合多传感器数据的时候再学也不迟。