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1. 从三阶行列式说起：为什么需要降阶

很多人第一次学线性代数，学到行列式这一章时，前面几节还算轻松——二阶行列式就是对角线相乘再相减，三阶行列式用对角线法则也能硬算出来。但到了四阶、五阶，甚至更高阶的时候，如果还想着“暴力展开”，那基本就是在给自己找麻烦。我见过不少同学，考试时遇到一个四阶行列式，硬生生展开成24项，算了满满一页纸，最后符号还搞错了。

这就是“降阶计算”要解决的核心问题：把一个高阶行列式，通过某种规则，转化成若干个低阶行列式来算。而实现这个转化的关键工具，就是余子式和代数余子式。

这两个概念在整个线性代数里出现的频率极高。后面讲逆矩阵、伴随矩阵、克拉默法则，甚至特征值的某些推导，都离不开它们。所以这一节的内容，不是孤立的计算技巧，而是后面很多内容的“地基”。地基没打牢，后面学起来就会处处卡壳。

这篇文章我会从最直观的定义出发，把余子式和代数余子式的来龙去脉讲清楚，然后重点讲怎么用它们来降阶计算行列式，包括展开位置的选择策略、符号规律的记忆方法、以及我自己在实际计算中总结的一些提速技巧。无论你是正在学线性代数的学生，还是需要复习这部分内容的从业者，应该都能从中找到有用的东西。

2. 余子式与代数余子式：定义背后的逻辑

2.1 余子式到底“余”掉了什么

先看定义。在一个 ( n ) 阶行列式 ( D ) 中，把元素 ( a_{ij} ) 所在的第 ( i ) 行和第 ( j ) 列划掉，剩下的元素按照原来的相对位置组成一个 ( n-1 ) 阶行列式，这个行列式就叫做元素 ( a_{ij} ) 的余子式，记作 ( M_{ij} )。

我刚开始学的时候，对这个“余”字理解得不够透彻，总觉得抽象。后来我换了一个角度去想：所谓“余子式”，就是“剩下的东西构成的行列式”。你把某一行某一列拿掉了，剩下的部分自然就少了一阶，这就是“降阶”的来源。

举个具体的例子。假设有一个三阶行列式：

[ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} ]

对于元素 ( a_{11} )，划掉第一行和第一列，剩下的就是：

[ M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} ]

你看，原来三阶的，现在变成了二阶。二阶行列式我们直接就能算，这就是降阶的直观体现。

再比如元素 ( a_{23} )，划掉第二行和第三列，剩下的元素是 ( a_{11}, a_{12}, a_{31}, a_{32} )，按照原来的位置排列：

[ M_{23} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} ]

注意这里的排列顺序：剩下的元素要保持它们在原行列式中的相对行序和列序。第一行剩下的是 ( a_{11}, a_{12} )，第三行剩下的是 ( a_{31}, a_{32} )，所以第一行写 ( a_{11}\ a_{12} )，第二行写 ( a_{31}\ a_{32} )。这个细节很容易出错，尤其是当划掉的行列不在边缘位置时。

提示：写余子式的时候，先在心里把要划掉的行和列标记出来，然后把剩下的元素“挤”到一起，保持原来的上下左右顺序不变。不要重新排序，不要调换位置。

2.2 代数余子式：多出来的那个符号才是关键

余子式本身只是一个行列式，但代数余子式在它的基础上多了一个符号因子。定义是这样的：元素 ( a_{ij} ) 的代数余子式记作 ( A_{ij} )，满足：

[ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} ]

也就是说，代数余子式就是在余子式前面乘上 ( (-1)^{i+j} )。这个 ( i+j ) 就是元素所在的行号和列号之和。

很多人在这里会犯迷糊：为什么要多此一举搞一个符号？直接用余子式不行吗？答案是：不行。因为行列式展开定理的完整表述，必须用代数余子式才能统一表达。如果只用余子式，每一项前面的符号就得单独讨论，反而更麻烦。

这个符号因子 ( (-1)^{i+j} ) 的规律其实很好记。你可以画一个“棋盘格”：

[ \begin{matrix} + & - & + & - & \cdots \ - & + & - & + & \cdots \ + & - & + & - & \cdots \ - & + & - & + & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix} ]

左上角是 ( + )，然后像国际象棋棋盘一样正负交替。元素在哪个位置，就看那个位置是正还是负。比如 ( a_{11} ) 在左上角，是正号；( a_{12} ) 在它右边，是负号；( a_{21} ) 在 ( a_{11} ) 下面，也是负号；( a_{22} ) 是正号，以此类推。

我自己的记忆方法是：行号加列号，偶数取正，奇数取负。比如 ( i+j=2 )（偶数），正号；( i+j=3 )（奇数），负号。这个规则比画棋盘更省事，尤其是在高阶行列式中，不用去数格子。

2.3 一个容易混淆的对比

为了把这两个概念彻底分清，我用一个表格来对照：

区别就一条：代数余子式比余子式多了一个 ( (-1)^{i+j} )。但就是这一条，决定了后面展开定理能不能写成一个统一的公式。

我在教学实践中发现，很多学生算余子式没问题，但一到代数余子式就忘记乘符号，或者把 ( (-1)^{i+j} ) 算错。最典型的是把 ( (-1)^{i+j} ) 当成 ( (-1)^i \cdot (-1)^j ) 然后分别去算，其实直接加行号列号更简单。比如 ( i=3, j=2 )，( i+j=5 )，奇数，负号，一步到位。

3. 展开定理：降阶计算的真正武器

3.1 按一行展开的完整表述

有了代数余子式，就可以写出行列式展开定理（也叫拉普拉斯展开定理的一个特例）：

行列式 ( D ) 等于它的任意一行（或任意一列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

用公式写出来，如果按第 ( i ) 行展开：

[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} ]

如果按第 ( j ) 列展开：

[ D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} ]

这个定理的意义在于：它把一个 ( n ) 阶行列式的计算，转化成了 ( n ) 个 ( n-1 ) 阶行列式的计算（每个代数余子式是一个 ( n-1 ) 阶行列式）。虽然项数看起来变多了，但每一阶都降了一级，对于高阶行列式来说，这是非常有效的策略。

更重要的是，如果某一行或某一列中有很多零，那么对应的那些项就直接为零，不需要计算。这就引出了一个核心策略：展开时优先选择零最多的行或列。

3.2 为什么展开定理成立：一个直观理解

很多人只是记住公式，但不知道为什么可以这样展开。我试着用一个不那么严格但很直观的方式来解释。

行列式的本质是一个“体积”的度量（或者说有向面积/体积的推广）。在二维情况下，行列式的绝对值就是两个向量张成的平行四边形的面积。在三维情况下，就是三个向量张成的平行六面体的体积。

展开定理做的事情，本质上是在做“分解”。你可以把行列式按某一行拆成若干个部分，每一部分对应一个元素乘以它“贡献”的那部分体积。代数余子式前面的符号，正是为了保证这些有向体积加起来得到正确的结果。

当然，严格的证明需要用行列式的公理化定义或者排列组合的方法，这里不展开。但对于理解“为什么可以降阶”来说，知道它是在做一种有向体积的分解，已经足够了。

3.3 展开位置的选择：决定计算量的关键一步

展开定理说的是“任意一行或任意一列”都可以。但实际计算时，选哪一行哪一列，计算量可能差好几倍。

核心原则只有一条：选零最多的那一行或那一列。

原因很简单：如果某个元素是零，那么它对应的项 ( a_{ij}A_{ij} ) 就是零，你根本不需要去算那个代数余子式。一个 ( n-1 ) 阶行列式的计算量可不小，能省一个是一个。

举个例子。假设有一个四阶行列式：

[ D = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 3 & 0 & 0 \ 4 & 5 & 6 & 0 \ 7 & 8 & 9 & 10 \end{vmatrix} ]

这个行列式第一行有三个零，显然按第一行展开最划算：

[ D = 2 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{13} + 0 \cdot A_{14} = 2 \cdot (-1)^{1+1} M_{11} ]

而 ( M_{11} ) 是划掉第一行第一列后的三阶行列式：

[ M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \ 5 & 6 & 0 \ 8 & 9 & 10 \end{vmatrix} ]

这个三阶行列式是上三角的，直接对角线相乘：( 3 \times 6 \times 10 = 180 )。所以 ( D = 2 \times 180 = 360 )。

你看，如果选错了行或列，比如按第四行展开，那就要算四个三阶行列式，计算量翻了好几倍。

注意：如果某一行和某一列的零一样多，优先选包含简单数字（比如1、-1）的那一行或列。因为乘以1或-1不会引入新的计算复杂度。

3.4 符号规律的实战记忆法

代数余子式的符号 ( (-1)^{i+j} ) 虽然规则简单，但在实际计算中，尤其是连续展开多次时，很容易搞混。我分享一个自己在用的方法。

方法一：棋盘法。在草稿纸上画一个小棋盘，标好正负号，每次展开时对照着看。这个方法适合初学者，不容易出错，但速度慢。

方法二：行号列号相加法。直接算 ( i+j )，偶数正，奇数负。这个方法速度快，但需要心算准确。

方法三：递推法。如果你是按第一行展开的，那么符号就是 ( +, -, +, -, \cdots ) 交替。按第二行展开，就是 ( -, +, -, +, \cdots )。以此类推。这个方法适合固定按某一行展开的情况。

我个人的习惯是：低阶（三阶以下）用棋盘法，高阶用行号列号相加法。因为低阶的时候棋盘法直观，不容易错；高阶的时候棋盘太大，画起来麻烦，直接算 ( i+j ) 更快。

还有一个容易踩的坑：代数余子式的符号只和位置有关，和元素本身的值无关。不管 ( a_{ij} ) 是正数、负数还是零，( A_{ij} ) 的符号只由 ( i+j ) 决定。这一点在计算时一定要牢记，不要被元素的正负号干扰。

4. 降阶计算的完整实操流程

4.1 标准步骤拆解

我把用代数余子式降阶计算行列式的完整流程整理成以下几步：

1. 观察行列式：找出零最多的行或列。如果有某一行或某一列只有一个非零元素，那是最理想的情况。
2. 确定展开行/列：选定要展开的行或列，标记出来。
3. 逐个计算代数余子式：对于该行/列中的每一个非零元素，写出它对应的代数余子式。注意符号 ( (-1)^{i+j} )。
4. 计算余子式：每个代数余子式对应一个 ( n-1 ) 阶行列式，计算它。
5. 加权求和：把元素值、符号、余子式的值乘在一起，然后求和。
6. 验证：如果时间允许，可以换一行或一列再展开一次，看结果是否一致。

这个流程看起来简单，但每一步都有容易出错的地方。下面我逐个拆解。

4.2 第一步：观察行列式的技巧

观察行列式不是随便看看，而是有目的地找“突破口”。我通常按以下优先级来选：

• 第一优先级：找只有一个非零元素的行或列。这种情况下，展开后只剩一项，计算量最小。
• 第二优先级：找零最多的行或列。零越多，需要计算的代数余子式越少。
• 第三优先级：找包含 ( 1 ) 或 ( -1 ) 的行或列。因为乘以1或-1不会让数字变大，后续计算更简单。
• 第四优先级：如果以上都不明显，考虑先用行变换制造零，再展开。

这里要特别说一下第四点。有时候行列式本身零不多，但你可以通过行变换（把某一行的倍数加到另一行）来制造零，而不改变行列式的值。这个技巧在后面的章节会详细讲，但在这里先提一句：制造零是降阶计算的重要前置手段。

4.3 第三步的细节：代数余子式的书写规范

写代数余子式时，我建议养成一个习惯：先写符号，再写余子式。比如要写 ( A_{23} )，先算 ( (-1)^{2+3} = -1 )，然后写 ( -M_{23} )，再去算 ( M_{23} )。这样分两步走，不容易漏掉符号。

另外，余子式的书写要注意行列的对应关系。划掉第 ( i ) 行第 ( j ) 列后，剩下的元素按原顺序排列。我见过很多错误是把剩下的元素顺序搞乱了，导致余子式算错。

一个实用的检查方法：余子式的阶数应该是 ( n-1 )。如果你写出来的余子式阶数不对，那一定是哪里搞错了。

4.4 一个完整的四阶行列式计算示例

为了把上面的流程串起来，我完整地算一个四阶行列式。

[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \ 3 & 4 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 6 \ 0 & 0 & 7 & 8 \end{vmatrix} ]

观察：第一行和第二行在后两列都是零，第三行和第四行在前两列都是零。这种情况下，按第一行展开：

[ D = 1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{12} + 0 + 0 ]

计算 ( A_{11} )：( (-1)^{1+1} = 1 )，所以 ( A_{11} = M_{11} )。划掉第一行第一列：

[ M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 6 \ 0 & 7 & 8 \end{vmatrix} ]

这个三阶行列式第一列只有 ( 4 ) 非零，按第一列展开：

[ M_{11} = 4 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \times (40 - 42) = 4 \times (-2) = -8 ]

计算 ( A_{12} )：( (-1)^{1+2} = -1 )，所以 ( A_{12} = -M_{12} )。划掉第一行第二列：

[ M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 6 \ 0 & 7 & 8 \end{vmatrix} ]

同样按第一列展开：

[ M_{12} = 3 \times (40 - 42) = 3 \times (-2) = -6 ]

所以 ( A_{12} = -(-6) = 6 )。

最终：

[ D = 1 \times (-8) + 2 \times 6 = -8 + 12 = 4 ]

这个例子展示了“分块对角”结构的行列式，实际上它的值等于两个二阶行列式的乘积：( (1 \times 4 - 2 \times 3) \times (5 \times 8 - 6 \times 7) = (-2) \times (-2) = 4 )。结果一致。

4.5 常见错误清单

在实际计算中，我总结了几类高频错误，列出来供大家自查：

这些错误看起来都是“粗心”，但本质上是对概念理解不够深。比如符号错误，如果真正理解了 ( (-1)^{i+j} ) 的含义，就不容易忘。余子式排列错误，如果真正理解了“划掉后保持原顺序”，也不会搞乱。

5. 从降阶到更高效的策略：我的实战心得

5.1 什么时候该用降阶，什么时候不该用

降阶计算虽然强大，但并不是所有情况都适用。我的经验是：

• 三阶及以下：直接用对角线法则或定义算，比降阶更快。三阶行列式用对角线法则只需要算6项，降阶反而要算3个二阶行列式，差不多。
• 四阶及以上：降阶是首选。尤其是当某一行或某一列有较多零时，降阶的优势非常明显。
• 特殊结构：如果行列式有特殊结构（如三角、分块对角、范德蒙德等），直接用对应公式，不要降阶。

这里有一个判断标准：如果降阶后需要计算的 ( n-1 ) 阶行列式数量超过3个，而且每个都不简单，那就要考虑先用行变换制造零，再降阶。

5.2 行变换与降阶的配合使用

行变换是行列式计算中的另一个重要工具。它的核心作用是在不改变行列式值（或只改变一个容易追踪的倍数）的前提下，把某一行或某一列变成只有一个非零元素，然后再降阶。

常用的行变换有三类：

1. 交换两行：行列式变号。
2. 某一行乘以非零常数 ( k )：行列式变为原来的 ( k ) 倍。
3. 把某一行的 ( k ) 倍加到另一行：行列式不变。

其中第三类最常用，因为它不改变行列式的值，却可以制造零。

举个例子：

[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 10 \end{vmatrix} ]

如果直接降阶，按第一行展开要算三个二阶行列式。但如果先把第一行的 ( -4 ) 倍加到第二行，第一行的 ( -7 ) 倍加到第三行：

[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -3 & -6 \ 0 & -6 & -11 \end{vmatrix} ]

现在第一列只有一个非零元素，按第一列展开：

[ D = 1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -3 & -6 \ -6 & -11 \end{vmatrix} = 33 - 36 = -3 ]

只需要算一个二阶行列式，比直接降阶快得多。

这个技巧的核心思想是：先用行变换制造零，再降阶。两者配合，计算效率最高。

5.3 高阶行列式的分块策略

当行列式的阶数很高（比如五阶、六阶）时，即使降阶，计算量也不小。这时候可以考虑分块的策略。

如果行列式可以写成这样的形式：

[ D = \begin{vmatrix} A & O \ C & B \end{vmatrix} ]

其中 ( A ) 是 ( m ) 阶方阵，( B ) 是 ( n ) 阶方阵，( O ) 是零矩阵，( C ) 是任意矩阵，那么：

[ D = |A| \cdot |B| ]

这个结论可以大大简化计算。因为 ( |A| ) 和 ( |B| ) 的阶数都比 ( D ) 小，分别计算再相乘即可。

类似地，如果形式是：

[ D = \begin{vmatrix} A & C \ O & B \end{vmatrix} ]

结果也是 ( |A| \cdot |B| )。

这个分块公式的证明可以用降阶定理来完成：按第一行展开，逐步推导，最终会发现非零项恰好对应 ( |A| \cdot |B| )。这里不展开证明，但记住这个结论，在遇到分块结构的行列式时非常有用。

5.4 计算速度的提升技巧

最后分享几个我在实际计算中总结的提速技巧：

技巧一：先标记零元素。拿到行列式后，先用笔把零元素圈出来，一眼就能看出哪一行哪一列零最多。

技巧二：符号单独算。不要一边算余子式一边算符号，容易乱。先把符号 ( (-1)^{i+j} ) 全部标出来，再统一算余子式。

技巧三：低阶行列式用心算。二阶行列式直接对角线相减，三阶行列式用对角线法则，不要降阶。心算能省很多时间。

技巧四：结果验算。如果时间允许，换一行展开，看结果是否一致。这是最可靠的验算方法。

技巧五：善用特殊结构。三角行列式、分块行列式、范德蒙德行列式，都有现成公式，不要傻傻地降阶。

提示：降阶计算的核心不是“降阶”本身，而是“选择最优的展开路径”。选对了行或列，计算量可能只有选错时的几分之一。这个判断能力，需要通过大量练习来培养。

6. 余子式和代数余子式在后续内容中的角色

6.1 伴随矩阵与逆矩阵

学完行列式之后，紧接着就会遇到伴随矩阵和逆矩阵。伴随矩阵的定义直接依赖于代数余子式：

[ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} ]

注意这里的转置关系：伴随矩阵的第 ( i ) 行第 ( j ) 列元素是 ( A_{ji} )，而不是 ( A_{ij} )。这个转置很容易被忽略，导致算出来的伴随矩阵不对。

逆矩阵的公式是：

[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* ]

所以，如果代数余子式算错了，伴随矩阵就错了，逆矩阵也就错了。这是一环扣一环的。

6.2 克拉默法则

克拉默法则用行列式来解线性方程组。对于 ( n ) 元线性方程组 ( A\mathbf{x} = \mathbf{b} )，如果 ( |A| \neq 0 )，则：

[ x_j = \frac{|A_j|}{|A|} ]

其中 ( A_j ) 是把 ( A ) 的第 ( j ) 列替换成 ( \mathbf{b} ) 后得到的矩阵。计算 ( |A_j| ) 时，降阶计算同样是基本手段。

6.3 特征值与特征向量

在特征值的计算中，需要解特征方程 ( |A - \lambda I| = 0 )。这个行列式通常包含参数 ( \lambda )，降阶计算时要注意参数的处理。代数余子式的方法同样适用，但计算时要把 ( \lambda ) 当作普通变量来对待。

这些后续内容都建立在余子式和代数余子式的基础上。所以这一节的内容，值得多花时间彻底搞懂。

7. 几个容易忽视的边界情况

7.1 零行或零列

如果行列式中有一行或一列全是零，那么行列式的值为零。这个结论可以直接从展开定理得到：按那一行展开，每一项都是 ( 0 \cdot A_{ij} = 0 )，所以总和为零。

这个性质在判断行列式是否为零时非常有用。看到零行或零列，直接写零，不用算。

7.2 两行或两列相同

如果行列式中有两行完全相同，或者两列完全相同，行列式的值也为零。这个结论可以用行变换来理解：把其中一行减去另一行，得到零行，所以行列式为零。

这个性质在验算时很有用。如果你算出来的行列式不为零，但原行列式中有两行相同，那一定是算错了。

7.3 元素全为整数的行列式

如果行列式的所有元素都是整数，那么行列式的值也一定是整数。这是因为行列式的展开式中只涉及乘法和加减法，整数经过这些运算仍然是整数。

这个性质可以用来快速判断结果是否合理。如果你算出来一个分数，那大概率是算错了。

7.4 高阶行列式的符号陷阱

在高阶行列式中，代数余子式的符号 ( (-1)^{i+j} ) 更容易出错。我的建议是：每算一个代数余子式，就把 ( i+j ) 写出来，标明奇偶，再决定符号。不要凭感觉，不要跳步。

另外，连续降阶时，每一层的符号都要重新算。不要以为第一层是正号，第二层也是正号。每一层的符号只和当前层的行列位置有关。

8. 练习建议与学习路径

8.1 从三阶到四阶的过渡

如果你刚开始学这部分内容，我建议的练习顺序是：

1. 三阶行列式：先用对角线法则算，再用降阶法算，对比结果，熟悉降阶流程。
2. 四阶行列式（含零较多）：练习选择展开行/列，体会“选零多的行”带来的计算量差异。
3. 四阶行列式（含零较少）：练习先用行变换制造零，再降阶。
4. 五阶及以上：练习分块策略和综合运用。

每一步都要动手算，不要只看例题。看懂了和算对了是两回事。

8.2 推荐的练习类型

• 含零多的行列式：练习展开位置的选择。
• 含1或-1的行列式：练习利用简单元素简化计算。
• 三角行列式：练习识别特殊结构，直接用公式。
• 分块行列式：练习分块公式的应用。
• 含参数的行列式：练习参数处理，为特征值做准备。

8.3 常见考试题型与应对

在考试中，降阶计算通常以以下形式出现：

• 直接计算四阶行列式：选择零最多的行或列展开。
• 证明行列式为零：利用零行、相同行等性质。
• 含参数的行列式：降阶后解方程。
• 伴随矩阵的计算：先算代数余子式，再转置。

应对策略：先观察，再动手。花30秒观察行列式的结构，比上来就硬算要高效得多。

9. 我个人的经验总结

降阶计算这部分内容，我学的时候也踩过不少坑。最开始的时候，我总是忘记代数余子式的符号，算出来的结果经常差一个负号。后来我强迫自己每算一个代数余子式，就先在草稿纸上写下 ( (-1)^{i+j} ) 的值，然后再算余子式。这个习惯坚持了一段时间后，符号错误就基本消失了。

另一个坑是展开位置的选择。刚开始学的时候，我总是习惯性地按第一行展开，不管第一行有没有零。结果遇到第一行全是非零元素的行列式，计算量巨大。后来我养成了一个习惯：拿到行列式先扫一眼，找零最多的行或列。这个习惯让我的计算速度提升了很多。

还有一个体会是：行变换和降阶的配合非常重要。很多行列式直接降阶很麻烦，但先用行变换制造零，再降阶就很简单。这个技巧在考试中尤其有用，因为考试时间有限，能省一步是一步。

最后想说一点：余子式和代数余子式不仅仅是计算工具，它们还是理解线性代数后续内容的基础。伴随矩阵、逆矩阵、克拉默法则，都离不开它们。所以这一节的内容，值得反复练习，直到完全熟练。

如果你在练习中遇到问题，我的建议是：回到定义。很多错误都是因为对定义的理解不够透彻。把定义重新读一遍，把每个符号的含义搞清楚，很多问题就迎刃而解了。