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导读

本指南围绕《神经网络与深度学习（第二版）》第 5 章「卷积神经网络」配套的二维卷积演示资源展开，系统讲解二维卷积滑动过程中三个核心超参数——卷积核大小m、零填充p、步长s——各自的作用与组合效果。读完本文，你将掌握卷积输出尺寸的计算方法，能够依据m / p / s的参数组合准确预判输出特征图的大小，并理解演示动图中每个细节（虚线填充、滑动轨迹、输出尺寸）背后的卷积算术原理。

演示资源在本书中的定位

仓库的 可视化资源总览 按照《神经网络与深度学习（第二版）》的章节顺序组织内容，其中「第 5 章 · 卷积神经网络」一节收录了四个与卷积运算直接相关的可视化条目：二维卷积、转置卷积与空洞卷积、GoogLeNet 结构、CNN Explainer。本指南对应的 二维卷积演示页 是该章节的第一条可视化资源，核心用途是在一个页面内并排展示「不同卷积核大小m、零填充p、步长s下二维卷积的滑动过程」，帮助读者把抽象的公式与直观的动图一一对应起来。

演示页源码位于仓库根目录下的 viz/cnn-conv-2d.md，通过 Jekyll 的layout: default渲染，并设置了permalink: /viz/cnn-conv-2d/与旧路径/v/cnn-conv-2d/的重定向。图片素材（动图）直接存放在 viz/ 目录中，页面用.figure-grid--2col的两列网格布局并排呈现。页面底部还附有一行图例（.viz-legend），集中解释m、p、s三个符号的含义——这也是理解整页内容的关键入口。

二维卷积的三个核心参数

演示页在底部图例中对三个参数给出了明确约定：

• m—— 卷积核大小（kernel size）：参与滑动计算的滤波器尺寸，通常为正方形，如m = 3表示 3×3 卷积核。卷积核的每个位置都对应一组可学习的权重，滑动时与输入特征图上对应窗口内的元素做逐点相乘再求和。
• p—— 零填充（zero-padding）：在输入特征图的外围补上的一圈（或多圈）值为 0 的边界。零填充能让卷积核"够得着"输入边缘的像素，是控制输出尺寸、保留边缘信息的主要手段。
• s—— 步长（stride）：卷积核每次滑动时在输入上移动的间隔。步长越大，采样越稀疏，输出特征图越小。

这三个参数共同决定了卷积层的输出尺寸，也决定了动图中"卷积核走了多少步、落在哪些位置"的直观形态。

输出尺寸公式：动图背后的算术

演示页中每一组参数都能用卷积算术公式验证。对于正方形输入、正方形卷积核、均匀填充与均匀步长的情况，输出特征图的边长满足：

O = (I - m + 2p) / s + 1

其中I为输入特征图边长，O为输出特征图边长，m为卷积核边长，p为零填充层数，s为步长。只有当(I - m + 2p)能被s整除时，卷积核才能"恰好走完"输入区域，得到整数尺寸的输出——这也是设计 CNN 网络时最常见的约束之一。演示页选取的四组参数均满足这一整除条件，因此动图里卷积核每次都能完整、对称地滑过整个输入。

四组参数下的滑动过程演示

演示页共展示了四组典型参数组合，覆盖了"无填充 + 步长 1"的基准情况、"填充 + 大步长"的降采样情况、"填充 + 步长 1"的边缘保留情况，以及"大卷积核 + 填充 + 步长 2"的组合情况。下面逐一解读。

基准情形：m = 3, p = 0, s = 1

这是最经典的"标准卷积"形态：输入为 5×5，卷积核为 3×3，不填充、步长为 1。卷积核从输入左上角开始，逐像素向右、向下滑动，每次覆盖一个 3×3 的窗口。代入公式：

O = (5 - 3 + 0) / 1 + 1 = 3

输出为 3×3。可以看到，由于没有零填充，卷积核永远无法覆盖到输入最外圈像素的"外侧"，因此输出尺寸比输入小，边缘信息在这一层会被压缩。

填充与步长组合：m = 3, p = 2, s = 2

这组参数同时展示了零填充与大步长的作用：输入仍为 5×5，卷积核 3×3，但在输入外围补了 2 层零填充（动图中的虚线框区域），步长增大到 2。代入公式：

O = (5 - 3 + 4) / 2 + 1 = 4

输出为 4×4。这里可以直观看到两层效果：填充把可滑动的区域向外扩展，而步长 2 又让卷积核"跳着走"，最终输出介于输入和基准输出之间。在真实网络中，s > 1的卷积常被用来替代池化层实现降采样。

靠填充保住尺寸：m = 3, p = 2, s = 1

这组参数展示了一个有趣的反向效果：输入只有 3×3，卷积核同为 3×3，若不加填充则卷积核恰好覆盖整个输入、只能得到一个输出位置；而补上 2 层零填充后，可滑动范围扩大到 7×7，步长 1 的卷积核得以在扩展后的区域上密集滑动。代入公式：

O = (3 - 3 + 4) / 1 + 1 = 5

输出反而扩大到 5×5。这正是"同卷积（same padding）"类策略的原理：通过合理选择填充量，可以控制输出尺寸不小于输入，从而在加深网络的同时避免特征图过快萎缩。

大卷积核 + 填充 + 大步长：m = 5, p = 2, s = 2

最后一组参数把三个要素叠加：输入 9×9，卷积核增大到 5×5，填充 2 层，步长 2。代入公式：

O = (9 - 5 + 4) / 2 + 1 = 5

输出为 5×5。与第一组对比可以看出：更大的卷积核带来更大的感受野（一次覆盖 5×5 区域），而步长 2 负责快速降采样。这也是演示页中参数跨度最大的一组，适合用来观察"大核 + 大步长"组合下卷积核的跳跃式滑动轨迹。

参数组合速查

把四组演示的参数与输出尺寸汇总如下，便于对照公式快速复核：

动图文件命名本身也遵循这一约定：cnn-in_{输入}_out_{输出}_p_{填充}_s_{步长}.gif，即文件名直接编码了输入/输出尺寸与关键参数，例如cnn-in_5_out_3_p_0_s_0.gif表示输入 5、输出 3、无填充、步长 0 对应的演示（步长字段 0 代表步长 1 的基准情形）。这一命名模式在仓库的 viz/ 目录中保持一致，方便按需检索对应参数的动图。

如何阅读演示动图

结合演示页的实现（样式定义见 assets/css/style.css 中.figure-grid、.viz-figure、.viz-legend相关规则），可以从三个角度观察每张动图：

1. 虚线框：动图中的虚线框表示零填充区域，其厚度即p值。p = 0时（第一组）没有虚线框；p = 2时（后三组）外围出现两层虚线框。
2. 滑动轨迹：卷积核每次停留的位置形成一行行滑动的"足迹"，足迹的间距体现步长s。s = 1时足迹连续密集，s = 2时卷积核跨格跳跃。
3. 输出生长：动图右侧的输出特征图随滑动逐位置点亮，其最终边长即公式中的O，可与文件名中的out字段相互印证。

延伸：转置卷积与空洞卷积

二维卷积只是卷积家族的入门形态。在 转置卷积与空洞卷积演示页 中，仓库还提供了两类进阶变体的对比动图：

• 转置卷积（transposed convolution）：把卷积过程"反过来"的运算，常用于上采样（如语义分割、生成模型中恢复分辨率），该页并排展示了同一参数下标准卷积与转置卷积的差异；
• 空洞卷积（dilated convolution）：在卷积核元素之间插入"空洞"以扩大感受野而不增加参数量，图例中新增参数d（膨胀率），d = 1时等价于标准卷积，d = 2时感受野明显扩大。

这些内容同样服务于《神经网络与深度学习（第二版）》第 5 章，可视为本指南的自然延伸。若想进一步交互式地观察卷积运算的逐层细节，CNN Explainer 提供了逐层查看激活与卷积计算的交互工具。

在仓库中查看与运行

本演示是 可视化资源总览 的一个组成部分，页面源码位于 viz/cnn-conv-2d.md，素材动图位于 viz/ 目录。仓库采用 Jekyll 构建（配置见 _config.yml，使用kramdown渲染并启用jekyll-redirect-from插件支持旧路径重定向），若想在本地查看完整效果，可参考 README.md 中的本地开发说明：

bundle install bundle exec jekyll serve # 或：pwsh -File scripts/dev.ps1

随后访问http://localhost:4000/viz/cnn-conv-2d/即可看到四组动图的并排演示。

小结

二维卷积的动图演示把公式中的m / p / s三个符号还原成了可视的滑动过程：m决定卷积核覆盖范围与感受野，p决定是否以及如何保留边缘、控制输出尺寸，s决定采样的稀疏程度与降采样力度。配合O = (I - m + 2p) / s + 1这一输出尺寸公式，读者可以做到"看图知参数、见参数算输出"。这套可视化资源与 nndl-v2 章节目录 中第 5 章「卷积神经网络」的理论内容一一对应，是学习卷积层设计（尤其是 padding 与 stride 的取值策略）时的直观辅助。