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深入探究 Lp 空间：从 0 < p < 1 到巴拿赫代数 L1(IR)

1. Lp 空间（0 < p < 1）

在研究 Lp 空间时，之前主要关注了 p ≥ 1 的情况，现在将目光投向另一端，即 0 < p < 1 的情况。在之前的研究中，经常且必要地使用到 p - 范数是真正的范数这一性质。对于 p = 1 和 p = ∞，这是显然的；对于 1 < p < ∞，这由闵可夫斯基不等式保证；但对于 0 < p < 1，这一性质并不成立。

因此，不能期望在这个区间有类似的理论，并且这些空间也不是巴拿赫空间。不过，它们仍然具有线性结构和度量结构，只是这种度量不是由范数定义的。为了找到合适的度量，需要一个基本不等式。

• 引理 13.20：对于 0 < p < 1 和所有非负实数 a, b，不等式 ((a + b)^p ≤ a^p + b^p) 成立，当且仅当 a, b 中有一个为零时等号成立。
  • 证明：考虑函数 (\varphi(t) = (1 + t)^p - 1 - t^p)（(t ≥ 0)）。计算可得 (\varphi(0) = 0)，并且当 (t > 0) 时，(\varphi’(t)) 为负。这意味着当 (t > 0) 时，(\varphi(t) < 0)。若 a 和 b 不为零，将 t 替换为 (\frac{a}{b})，可得 ((1 + \frac{a}{b})^p - 1 - (\frac{a}{b})^p < 0)，从而引理得证。