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微积分期末复习提纲

一、极限（Limit Review）

函数极限（Limit in function）

• 定义（过程；与函数在点处的取值无关）

• 法则与性质（Rules and Properties）

• 求解技巧（Techniques）：

  1. 夹逼定理（Sandwich）
  2. 有理化分子（Rationalize numerator）
  3. 洛必达法则（L’Hospital）
  4. 等价无穷小（Equivalent Infinitesimal）
     x∼sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼ln⁡(sec⁡x)∼ex−1 x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \ln(\sec x) \sim e^x - 1x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼ln(secx)∼ex−1
  5. 指数型极限的对数求法：对于形如lim⁡f(x)g(x)\lim f(x)^{g(x)}limf(x)g(x)的极限，可先取对数求极限lim⁡g(x)ln⁡f(x)\lim g(x) \ln f(x)limg(x)lnf(x)，再取指数。
  6. 大O与小o记号（Big Oh / Little Oh）

• 例题：

  lim⁡x→0x−sin⁡xx3⋅xarcsin⁡x⋅xex−1 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \cdot \frac{x}{\arcsin x} \cdot \frac{x}{e^x - 1}x→0lim​x3x−sinx​⋅arcsinxx​⋅ex−1x​
  逐步化简得：
  =16 = \frac{1}{6}=61​

二、连续性（Continuity）

• 定义（Def）
• 复合函数（Composition）
• 介值定理与极值定理（IVT, EVT）
• 间断点（Discontinuity）
• 可积性（Integrable）

三、导数（Derivatives）

• 导数的定义（极限定义）
  例如：以ln⁡(t)\ln(t)ln(t)为例，其导数为1t\frac{1}{t}t1​，在t=1t = 1t=1处导数值为111。
• 线性化（Linearization）
• 中值定理（Mean Value Theorem）
• 函数作图（Graphing）
• 求导法则与链式法则（Rules, Chain Rule）
• 牛顿法（Newton’s Method）
• 反函数求导（Inverse Func.）
• 隐函数求导（Implicit Func.）
• 对数求导法（Logarithmic Differentiation）

四、原函数与不定积分（Anti-derivatives）

• 三角函数积分（Trigonometric）
• 换元法（Substitution）
• 有理函数积分（Rational）
• 分部积分法（Integration by Parts）

五、定积分（Definite Integral）

• 定义（黎曼和、几何意义）
• 微积分基本定理（FTC）
• 换元法（Substitution）
• 分部积分法（Integration by Parts）
• 面积与体积（Area & Volume）
• 旋转体体积（Solid of Revolution）
• 弧长（Arc Length）
• 数值积分（Numerical）
• 反常积分（Improper Integral）
  • p-判别法：
    ∫1∞1xpdx \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx∫1∞​xp1​dx
  • 比较判别法（Comparison Test）

六、常微分方程（ODE）

• 斜率场（Slope Field）
• 可分离变量方程（Separable）
• 线性微分方程（Linear）
• 自治方程与相线分析（Autonomous / Phase Line analysis）
• 数学模型（Models）