AI 辅助攻克数学难题：Erdos#1026 问题的技术突破与应用前景-二趣网

AI 辅助攻克数学难题：Erdos#1026 问题的技术突破与应用前景

1. 引言：数学研究的 AI 新纪元

1.1 从埃尔德什到 AI：半个世纪的数学接力

2025 年 12 月，数学界迎来了一个历史性时刻。一个困扰学界整整 50 年的悬案 —— 埃尔德什第 1026 号问题 (Erdos Problem #1026)，在菲尔兹奖得主陶哲轩 (Terence Tao) 与人工智能系统的协作下，仅用 48 小时便被彻底攻克(105)。这一成就不仅标志着数学研究进入了人机协同的新时代，更深刻地揭示了 AI 技术在推动科学发现方面的巨大潜力。

故事要追溯到 1975 年。传奇数学家保罗・埃尔德什 (Paul Erdős，1913-1996)，这位被称为 “20 世纪最多产数学家” 的匈牙利学者，在一篇论文的角落里草草写下了一个关于实数序列单调性的问题(105)。埃尔德什一生发表了超过 1500 篇论文，与 507 位合作者共同工作，在数论、组合数学、概率论等多个领域做出了开创性贡献(16)。他提出的问题往往既具有挑战性又具有深刻的数学内涵，成为推动数学发展的重要源泉。

然而，这个被编号为 1026 的问题却成为了数学界的一个未解之谜。半个世纪以来，无数数学家试图攻克它，但都未能找到完整的答案。直到 2025 年 9 月 12 日，这个问题被正式挂到 “埃尔德什问题网站” 上，附加的注释写道：“该问题表述较为模糊”。

正是这种模糊性，为 AI 技术的介入创造了机会。数学家 Desmond Weisenberg 在问题发布当天就提出了一个清晰的游戏化解释：Alice 和 Bob 的硬币游戏。在这个游戏中，Alice 有 N 枚硬币，分成 n 堆，每堆 xi 枚；Bob 可以选取一个单调的子序列（递增或递减），拿走这些堆里所有硬币。问题转化为：无论 Alice 怎么分堆，Bob 至少能拿到总硬币数的多少比例？这个比例被记作 c (n)。

1.2 陶哲轩的评价：AI 带来的 “全新理解”

陶哲轩在宣布这一突破时强调，在 AI 的辅助下，人类团队仅用了 48 小时就顺利攻克了这一难题。更重要的是，他特别指出：“AI 在此过程中带来的是全新理解，绝非搜索这么简单”。这一评价揭示了 AI 在数学研究中的真正价值 —— 它不仅是一个强大的计算工具，更是一个能够产生新数学洞见的创造性伙伴。

陶哲轩的评价反映了 AI 技术在数学研究中角色的根本性转变。传统上，计算机在数学研究中主要扮演着计算和验证的角色，如四色定理的证明就依赖于大量的计算机辅助计算。但在 Erdos#1026 问题的解决过程中，AI 展现出了超越传统计算工具的能力，它能够理解问题的本质，提出新的研究方向，并发现人类数学家未曾注意到的数学关系。

1.3 研究意义与文章结构

Erdos#1026 问题的成功解决具有多重意义。首先，它证明了 AI 技术在解决复杂数学问题方面的巨大潜力，为数学研究开辟了新的道路。其次，它展示了人机协作模式在科学发现中的优越性，人类的创造力与 AI 的计算能力相结合，产生了 “1+1>2” 的效果。最后，它为 AI 在其他科学领域的应用提供了宝贵的经验和启示。

本文将深入分析这一突破性事件的技术细节、应用场景和发展前景。我们将首先详细介绍 Erdos#1026 问题的数学背景和历史发展，然后重点分析 AI 系统 Aristotle 和 AlphaEvolve 的技术路径，接着探讨 AI 在数学研究中的多样化应用场景，最后展望 AI 数学研究的未来发展趋势并提供实用的技术指南。通过这一案例，我们希望为技术专业人士和企业管理者提供关于 AI 辅助科学研究的深度洞察和实践指导。

2. Erdos#1026 问题：从模糊猜想走向精确证明

2.1 埃尔德什 1975 年的原始问题

埃尔德什在 1975 年提出的原始问题相当模糊。根据他的描述，问题涉及一个定义在实数序列上的函数 S (x₁,…,xₙ)，定义为所有单调序列 xᵢ₁,…,xᵢₘ的最大和。埃尔德什在回忆他与 Szekeres 的著名定理后写道：“据我所知，以下问题尚未解决。给定一个不同实数序列，确定 S (x₁,…,xₙ) = max ∑ᵣ xᵢᵣ，其中最大值取遍所有单调序列”。

这个问题的模糊性在于，埃尔德什没有明确说明他想要研究 S 的什么性质。是求 S 的表达式？还是找它和总和的比值下界？抑或是其他什么？这种模糊性恰恰反映了埃尔德什的研究风格 —— 他常常在论文中提出一些看似简单却蕴含深刻数学内涵的问题，这些问题往往成为后续研究的起点。

为了理解这个问题的背景，我们需要回顾一下埃尔德什 - 塞凯赖斯定理 (Erdős-Szekeres theorem)。这个定理指出，给定一个长度为 k²+1 的不同实数序列，总能找到一个长度为 k+1 的单调子序列（递增或递减），而且这个界是最优的。埃尔德什在提出 #1026 问题时，显然是想将这个组合学结果推广到加权的情形，其中序列的每个元素都有一个权重，而我们关心的是单调子序列的权重和。

2.2 问题的数学本质与 50 年研究历程

尽管原始问题表述模糊，但数学家们还是从不同角度对其进行了探索。Desmond Weisenberg 提出的 “硬币游戏” 解释成为了理解这个问题的关键。在这个游戏化的表述中，我们定义 c (n) 为最大的常数，使得对于所有不同实数 x₁,…,xₙ，都有 S (x₁,…,xₙ) ≥ c (n)∑ᵢ=1ⁿ xᵢ。换句话说，c (n) 表示 Bob 在最坏情况下（即 Alice 采用最优策略分堆时）能够保证获得的硬币比例下限。

这个问题看似简单，但实际上蕴含着深刻的数学结构。它与埃尔德什 - 塞凯赖斯定理密切相关，但又超越了后者。在埃尔德什 - 塞凯赖斯定理中，我们只关心单调子序列的长度，而在这里，我们关心的是它们的加权和。这种从 “长度” 到 “权重和” 的推广，使得问题变得更加复杂和有趣。

50 年来，数学家们对这个问题进行了不懈的探索。早期的研究主要集中在寻找 c (n) 的上下界。Wouter van Doorn 利用 Hanani 的一个结果给出了下界：c (n) ≥ (1/√2)/√n，这意味着√n・c (n) 的下限是 1/√2。另一方面，通过构造特定的序列，如将硬币分成 k² 堆，每堆大小相近，排列成 k 个递减块，每块 k 堆，块之间递增，Stijn Cambie 发现最长单调子序列只有 k 堆，因此得到上界 c (k²) ≤ 1/k。

这些结果虽然给出了 c (n) 的大致范围，但距离完整的解答还很远。数学家们意识到，要彻底解决这个问题，需要找到 c (n) 的精确表达式，而这需要全新的数学工具和思路。

2.3 问题的游戏化解释与转化

Weisenberg 的游戏化解释不仅让问题变得更加直观，还揭示了它与其他数学领域的联系。在这个解释中，Alice 和 Bob 的策略选择对应着数学中的极值问题 ——Alice 试图最小化 Bob 能获得的比例，而 Bob 则试图最大化这个比例。这种对抗性的设定在数学中被称为 “极值问题”，是许多重要数学结果的来源。

更重要的是，这个问题可以重新解释为一个几何问题。Lawrence Wu 敏锐地指出，这个数列问题在几何上等价于一个 “正方形填充问题”—— 即将一系列小正方形互不重叠地填入一个大正方形中(105)。具体来说，对于任意序列 x₁,…,xₙ，可以构造一系列正方形，它们的边长分别为 x₁,…,xₙ，这些正方形能够互不重叠地填满一个边长为 S (x₁,…,xₙ) 的大正方形。

这种几何解释为问题的解决提供了新的思路。通过将代数问题转化为几何问题，数学家们可以利用几何直观和已知的几何结果来推进研究。特别是，这个问题与埃尔德什问题 106（关于正方形填充的问题）密切相关，而后者最近刚被 Baek、Koizumi 和 Ueoro 解决(92)。这种跨领域的联系展示了数学的统一性和 AI 在发现这种联系中的重要作用。

3. AI 系统的技术突破：从 Aristotle 到 AlphaEvolve

3.1 Aristotle 系统：Lean 证明语言中的自动推理

在 Erdos#1026 问题的解决过程中，Harmonic 公司开发的 AI 系统 Aristotle 扮演了关键角色。Aristotle 是一个基于 Lean 4 证明辅助语言的 AI 系统，能够将自然语言数学问题转换为形式化的数学语言，并自动生成严格的数学证明(57)。

Aristotle 的核心技术架构基于强化学习和自博弈机制。系统通过不断创建和解决合成数学问题来改进自己的推理能力，这个过程被称为 “自博弈训练循环”(self-play training loop)。在这个循环中，Aristotle 生成候选解决方案，然后通过 Lean 4 的确定性检查器进行形式化验证，确保每一步推理都符合严格的逻辑规则。

这种方法的优势在于它能够提供绝对的正确性保证。与传统的 AI 系统不同，Aristotle 生成的每一个解决方案都经过了 Lean 4 的形式化验证，确保从基础公理到最终结论的每一步推理都是正确的(60)。这意味着，一旦 Aristotle 找到一个证明，我们就可以 100% 地确信它是正确的，而不需要担心 AI"幻觉" 或错误推理的问题。

在解决 Erdos#1026 问题时，Aristotle 自动证明了一个关键结论：c (k²) = 1/k。这个证明的关键在于将原问题转化为一个矩形填充问题，然后利用已知的几何结果进行推理。证明过程展示了 Aristotle 在处理复杂数学概念和发现数学联系方面的能力。它不仅能够进行常规的逻辑推理，还能够识别问题的本质特征并找到合适的数学工具来解决它。

3.2 AlphaEvolve 系统：进化算法驱动的数值探索

Google DeepMind 开发的 AlphaEvolve 系统采用了完全不同的技术路径。与 Aristotle 专注于形式化证明不同，AlphaEvolve 是一个使用大语言模型 (LLM) 来迭代进化代码的系统(65)。它的核心思想是将 LLM 的创造性与进化算法的优化能力相结合，通过模拟 “适者生存” 的原理来探索数学问题的解空间(63)。

AlphaEvolve 的工作流程可以分为几个步骤。首先，系统生成大量的程序变体，每个变体都是解决问题的一个候选方案。然后，这些变体在一个 “种群” 中相互竞争，表现好的程序被认为更 “适合”，并被用作下一代程序的基础(67)。这个过程会迭代进行，每一代都会产生更优秀的解决方案。

在 Erdos#1026 问题的研究中，陶哲轩使用 AlphaEvolve 来探索 c (n) 的数值结果。他要求系统通过生成总和为固定值（这里选择了 10⁶）的实数序列，来获取 c (n) 的上界，并尽可能确保 S 的值足够小(71)。AlphaEvolve 在短短一小时内就生成了 n=1 到 16 的数值结果(95)。

这些数值结果看似杂乱无章，但通过进一步分析，一个清晰的模式逐渐浮现。Boris Alexeev 从中提炼出了一个简洁的公式，并用 “红”" 蓝 " 两种数值的块交替排列的方式构造出了极值序列，成功控制了单调子序列的长度。这个发现展示了 AlphaEvolve 在探索复杂数学结构和发现隐藏模式方面的独特能力。

3.3 双系统协同：形式证明与数值探索的完美结合

Aristotle 和 AlphaEvolve 的结合使用，展示了 AI 系统在数学研究中的协同效应。这种协同不是简单的功能叠加，而是两种不同但互补的思维方式的融合。

Aristotle 代表了 “自上而下” 的演绎推理路径。它从已知的数学公理和定理出发，通过严格的逻辑推导来证明新的结论。这种方法的优势在于它能够提供绝对正确的证明，但缺点是可能错过一些人类直觉难以发现的创新路径。

相比之下，AlphaEvolve 采用了 “自下而上” 的归纳探索策略。它通过大量的数值实验和模式识别来发现数学规律，然后将这些发现反馈给人类数学家进行严格证明。这种方法的优势在于它能够发现人类可能忽略的数学模式，但缺点是这些发现需要进一步的严格验证。

在 Erdos#1026 问题的解决过程中，这两个系统形成了一个完美的闭环。AlphaEvolve 通过数值探索发现了 c (n) 的候选公式，Aristotle 则负责验证这个公式在特定情况下（如 n 为平方数）的正确性。同时，人类数学家在这个过程中发挥了不可替代的作用 —— 他们负责解释 AI 的发现，将数值模式转化为数学猜想，并最终完成完整的证明。

这种协同模式的成功给我们带来了重要启示：在未来的数学研究中，AI 不应该被视为人类的替代品，而应该是人类的增强工具。人类的创造力、直觉和审美与 AI 的计算能力、模式识别和逻辑推理相结合，能够产生超越任何一方单独工作的效果。

3.4 AI 深度搜索：文献发现与知识整合

除了直接参与证明过程，AI 在文献发现和知识整合方面也发挥了关键作用。Lawrence Wu 使用 AI 深度搜索工具，成功找到了 2024 年 Baek、Koizumi 和 Ueoro 发表的一篇关键论文(71)。这篇论文证明了埃尔德什问题 106 的轴平行形式，其中包含了一个重要结果：f (k²+2c+1) ≤ k+c/k(92)。

这个发现的重要性在于它为 Erdos#1026 问题提供了关键的拼图。通过结合 Praton 的嵌入论证，这个结果恰好给出了 c (k²+2a+1) ≤ k/(k²+a)，从而完成了 c (n) 上界的证明(92)。如果没有 AI 的帮助，要在浩如烟海的数学文献中找到这篇特定的论文几乎是不可能的。

更重要的是，AI 的文献搜索能力不仅仅是简单的关键词匹配。它能够理解问题的数学本质，识别不同领域之间的潜在联系，并找到那些标题或摘要中没有直接提及相关内容的论文。这种 “概念搜索” 能力是传统文献检索工具所不具备的，它代表了 AI 在知识发现方面的革命性突破。

陶哲轩特别强调，AI 在这个过程中 “不是简单搜索”，而是在 “生成新的数学洞见”。这一评价准确地概括了 AI 在现代数学研究中的新角色 —— 它不仅是一个高效的工具，更是一个能够理解数学概念、发现隐藏联系并产生创新想法的智能伙伴。

4. 48 小时攻克历程：人机协作的典范

4.1 时间线梳理：从问题发布到完整证明

2025 年 9 月 12 日，Erdos#1026 问题被正式发布到埃尔德什问题网站上。这个看似平凡的日子，却成为了数学史上的一个转折点。从问题发布到获得完整证明，整个过程充满了戏剧性的发展和意外的发现。

问题发布当天，数学家 Desmond Weisenberg 就提出了具有里程碑意义的游戏化解释。他将原本模糊的数学问题转化为 Alice 和 Bob 的硬币游戏，使得问题的目标变得清晰明确。这一转化不仅帮助其他数学家理解了问题的本质，也为后续的研究指明了方向。

紧接着，Stijn Cambie 在一小时内就发现了关键的上界构造。他注意到，如果 Alice 将硬币分成 k² 堆，每堆大小相近，并排列成 k 个递减块，每块 k 堆，块之间递增，那么最长单调子序列只有 k 堆。这一观察立即给出了上界 c (k²) ≤ 1/k。这个发现展示了人类数学家在面对新问题时的敏锐洞察力。

几乎同时，Wouter van Doorn 利用 Hanani 的一个已知结果给出了下界 c (n) ≥ (1/√2)/√n。这个结果虽然不如上界精确，但它为问题的解提供了一个重要的参考范围，也为后续的研究奠定了基础。

第二天，Stijn Cambie 通过手工计算得到了 n=1 到 9 的 c (n) 精确值：1, 1, 2/3, 1/2, 1/2, 3/7, 2/5, 3/8, 1/3。这些看似杂乱的分数实际上隐藏着某种规律，为后来 AlphaEvolve 的发现提供了重要线索。

两个月后的 12 月 7 日，决定性的突破出现了。Boris Alexeev 使用 AI 工具 Aristotle 在 Lean 中自动证明了 c (k²)=1/k。几乎同时，Koishi Chan 给出了一个基于埃尔德什 - 塞凯赖斯定理的优美人类证明，使用了 “膨胀法” 技术。这两个独立的证明相互印证，确认了猜想的正确性。

随后，陶哲轩使用 AlphaEvolve 系统进行了更深入的探索，得到了 n=1 到 16 的数值结果。通过对这些结果的分析，Boris Alexeev 提炼出了 c (n) 的一般公式。Lawrence Wu 则指出了这个问题与埃尔德什问题 106（正方形填充问题）的等价性，并通过 AI 搜索找到了 2024 年 Baek、Koizumi 和 Ueoro 的关键论文。

最终，通过结合多个数学工具和结果，整个证明在 48 小时内完成。这个时间跨度虽然看似短暂，但实际上凝聚了 50 年来无数数学家的智慧积累，以及 AI 系统的强大计算能力。

4.2 人类数学家的关键作用：创造力与判断力

在整个 48 小时的攻克过程中，人类数学家发挥了不可替代的作用。他们的创造力、判断力和数学直觉，与 AI 的计算能力形成了完美的互补。

首先，人类数学家负责问题的理解和转化。Weisenberg 将模糊的原始问题转化为清晰的游戏化表述，这一步骤至关重要。没有这种创造性的转化，后续的所有研究都将失去方向。这种能力源于人类对数学概念的深刻理解和丰富的想象力，是 AI 目前还无法完全模拟的。

其次，人类数学家在关键时刻提供了关键的洞察。Stijn Cambie 发现的上界构造不仅巧妙，而且具有深刻的数学内涵。他通过类比埃尔德什 - 塞凯赖斯定理的极值构造，创造性地设计了一种特殊的序列排列方式。这种类比思维和构造能力，体现了人类数学家的独特价值。

第三，人类数学家负责验证和解释 AI 的发现。当 Aristotle 自动证明了 c (k²)=1/k 时，Koishi Chan 几乎同时给出了一个人类可以理解的证明。这个 “膨胀法” 证明不仅验证了 AI 的结果，还揭示了问题背后的几何意义。人类数学家能够将 AI 的形式化证明转化为直观的数学图像，这种能力对于数学知识的传播和理解至关重要。

最后，人类数学家负责整合不同的结果，形成完整的理论体系。在收集了来自 AI 系统、文献搜索和手工计算的各种结果后，人类数学家需要判断哪些结果是可靠的，如何将它们有机地结合起来，以及还需要补充哪些环节。这种综合判断能力是数学研究的核心，也是 AI 目前还无法完全替代的。

4.3 AI 的独特贡献：计算能力与模式识别

AI 在这个过程中展现了多项独特的能力，这些能力是人类数学家所不具备或难以匹敌的。

首先是强大的计算能力。AlphaEvolve 在一小时内就完成了 n=1 到 16 的数值计算，而 Stijn Cambie 手工计算 n=1 到 9 就需要一天时间。这种计算速度的差异不仅体现在数量上，更重要的是它使得大规模的数值实验成为可能。通过计算更多的数值点，AI 能够发现人类难以察觉的模式和规律。

其次是模式识别能力。AlphaEvolve 生成的数值结果表面上看起来毫无规律，但 AI 系统能够从中识别出隐藏的数学结构。Boris Alexeev 从这些看似随机的分数中提炼出了简洁的公式，这种模式识别能力远超人类的直觉。AI 能够在海量的数据中发现微弱的信号，这是它在科学研究中的一个重要优势。

第三是文献搜索能力。AI 深度搜索工具能够理解问题的数学本质，在庞大的学术数据库中找到最相关的文献。Lawrence Wu 找到的 2024 年论文不仅提供了关键的数学结果，还揭示了 Erdos#1026 问题与其他数学领域的深刻联系。这种跨领域的知识发现能力，是 AI 为科学研究带来的重要贡献。

第四是形式化验证能力。Aristotle 能够对数学证明进行严格的形式化验证，确保每一步推理都符合逻辑规则。这种能力在处理复杂的数学证明时尤为重要，它能够发现人类可能忽略的逻辑漏洞或错误。更重要的是，形式化验证提供了数学结果的绝对正确性保证，这对于建立可靠的数学知识体系具有重要意义。

4.4 协同模式分析：人机协作的最佳实践

Erdos#1026 问题的成功解决，为我们展示了人机协作的最佳实践模式。这种模式的核心在于充分发挥人类和 AI 各自的优势，形成互补而非竞争的关系。

在这个案例中，人机协作呈现出以下几个特点：

任务分工明确：人类负责创造性的问题转化、直觉判断和结果解释；AI 负责大规模计算、模式识别和形式化验证。这种分工充分利用了双方的优势能力。
交互频繁高效：人类数学家与 AI 系统之间保持着密切的互动。人类提出问题、设定目标、解释结果；AI 提供数据、发现模式、验证证明。这种双向的信息流确保了整个研究过程的高效推进。
结果相互验证：人类的手工计算和 AI 的自动计算相互印证，人类的直观证明和 AI 的形式化证明相互补充。这种多重验证机制大大提高了结果的可靠性。
知识共享开放：整个研究过程在埃尔德什问题网站上公开进行，所有的发现和讨论都实时共享。这种开放性不仅加速了问题的解决，也为其他研究者提供了宝贵的经验。
迭代优化循环：从最初的问题理解到最终的完整证明，整个过程经历了多次迭代。每一次迭代都基于前一次的结果进行优化，形成了一个不断改进的螺旋式上升过程。

这种协同模式的成功给我们带来了重要启示：在未来的科学研究中，人机协作不应该是简单的工具使用关系，而应该是深度融合的伙伴关系。人类的创造力与 AI 的计算力相结合，人类的洞察力与 AI 的模式识别相结合，人类的判断力与 AI 的验证能力相结合，才能产生最强大的研究能力。

5. AI 在数学研究中的应用场景与价值

5.1 纯数学研究：定理发现与证明辅助

AI 在纯数学研究中的应用正在开创一个全新的时代。传统上，数学研究被认为是人类智慧的最高体现，需要深厚的理论基础、敏锐的直觉和创造性的洞察力。然而，AI 技术的发展正在改变这一格局，它不仅能够辅助人类数学家进行繁琐的计算和验证，还能够主动发现新的数学定理和模式。

在定理发现方面，AI 展现出了惊人的能力。通过分析大量的数学数据和模式，AI 系统能够提出看似合理的数学猜想。例如，在研究数论中的素数分布时，AI 可以通过分析素数的统计规律，提出关于素数间隔或素数密度的新猜想。这些猜想虽然需要人类数学家的严格证明，但它们为数学研究提供了宝贵的方向和灵感。

在证明辅助方面，AI 系统如 Aristotle 和 Lean 已经能够处理相当复杂的数学证明。它们不仅能够验证已知证明的正确性，还能够主动寻找证明路径。特别是在处理那些需要大量分情况讨论或复杂计算的证明时，AI 的优势尤为明显。例如，在组合数学中，许多定理的证明需要考虑大量的特殊情况，AI 可以系统地检查每一种情况，而人类数学家则可以专注于设计证明的总体策略。

更重要的是，AI 正在帮助数学家发现不同数学领域之间的联系。通过分析数学文献和定理数据库，AI 能够识别出看似无关的领域之间的潜在联系，从而为跨学科的数学研究开辟新的可能性。这种 “知识整合” 能力是 AI 为数学研究带来的独特贡献。

5.2 密码学与安全：复杂算法的验证与破解

密码学是 AI 应用的另一个重要领域，它与数学有着天然的紧密联系。现代密码系统的安全性往往基于某些数学问题的困难性，如大整数分解、离散对数等。AI 技术的发展正在对密码学产生深远的影响，既带来了新的安全挑战，也提供了新的保护手段。

在算法验证方面，AI 能够帮助密码学家验证复杂密码算法的安全性。传统的密码分析往往需要大量的数学推导和计算，AI 可以自动化这些过程，发现潜在的安全漏洞。例如，在分析对称密码算法的差分特性或线性特性时，AI 可以通过大规模的数值实验快速识别出算法的弱点。

在密码破解方面，AI 的强大计算能力和模式识别能力使其成为密码分析的有力工具。特别是在处理那些依赖于统计规律的密码系统时，AI 能够通过分析大量的密文数据，发现隐藏的统计模式，从而破解密码。这对现有的密码系统提出了严峻的挑战，也推动了密码学向更加安全的方向发展。

同时，AI 也在帮助设计更加安全的密码系统。通过机器学习技术，密码学家可以设计出能够自适应环境变化的密码算法，这些算法能够根据攻击模式的变化自动调整加密策略，从而提高系统的整体安全性。

5.3 优化算法设计：复杂问题的求解与改进

优化问题在数学和工程中无处不在，从资源分配到路径规划，从参数调优到系统设计，都涉及到优化算法的应用。AI 技术正在为优化算法的设计和改进提供新的思路和工具。

在算法设计方面，AI 能够通过学习大量的优化问题和解决方案，发现新的算法模式和策略。例如，在研究组合优化问题时，AI 可以通过分析不同算法在各种实例上的表现，自动生成新的混合算法，这些算法结合了多种传统算法的优点，能够在更广泛的问题类上取得更好的性能。

在算法改进方面，AI 可以通过强化学习等技术，让算法在与环境的交互中不断学习和改进。例如，在处理动态优化问题时，传统算法往往难以适应环境的变化，而基于 AI 的算法可以实时调整策略，保持最优性能。

特别值得一提的是，AI 在解决 NP-hard 等困难优化问题方面展现出了巨大潜力。虽然理论上这些问题没有多项式时间的精确算法，但 AI 可以通过启发式方法和近似算法，在合理的时间内找到高质量的近似解。这种能力在实际应用中具有重要价值，特别是在那些对解的质量要求较高但又无法承受过长计算时间的场景中。

5.4 机器学习理论：AI 的自我完善与突破

有趣的是，AI 技术本身也在推动机器学习理论的发展。这种 “AI 研究 AI” 的模式正在产生许多令人兴奋的成果。

在理论分析方面，AI 帮助研究者更好地理解深度学习模型的行为和性质。通过分析神经网络的权重分布、激活模式等，AI 可以发现模型的内在结构和工作机制。这些发现不仅有助于改进现有模型，也为新的理论框架的建立提供了基础。

在算法创新方面，AI 正在推动新的学习范式的出现。例如，通过研究人类的学习过程，AI 系统可以提出新的学习算法，这些算法模仿人类的认知机制，具有更强的泛化能力和适应性。

在性能优化方面，AI 可以自动调整机器学习系统的超参数，优化网络架构，选择最优的训练策略。这种自动化的优化过程大大提高了机器学习系统的开发效率，也使得非专家用户能够更容易地使用这些技术。

5.5 商业价值分析：市场规模与投资前景

AI 在数学研究领域的应用正在形成一个巨大的市场。根据最新的市场研究，全球数学计算软件市场规模在 2023 年约为 28 亿美元，预计到 2032 年将达到 56 亿美元，年复合增长率为 7.5%(132)。而整个 AI 算法市场的规模更是惊人，预计将从 2025 年的 710 亿美元增长到 2032 年的 24,070 亿美元，年复合增长率高达 30.6%(133)。

这些数字背后反映的是企业对 AI 数学工具的巨大需求。在金融领域，AI 数学工具被广泛用于风险评估、投资组合优化、算法交易等场景。例如，通过使用 AI 进行复杂的数学建模和优化，金融机构可以更准确地预测市场走势，优化投资策略，提高收益并降低风险。

在制造业和工程领域，AI 数学工具被用于设计优化、质量控制、供应链管理等方面。通过使用 AI 进行复杂的数值模拟和优化计算，企业可以设计出更高效的产品，提高生产效率，降低成本。

在科研机构和高等院校，AI 数学工具正在成为研究和教学的重要辅助手段。它们不仅提高了研究效率，还能够帮助学生更好地理解复杂的数学概念。

投资界对 AI 数学领域的热情也在不断升温。例如，专注于数学 AI 的创业公司 Harmonic 在 2025 年 11 月获得了 1.2 亿美元的 C 轮融资，估值达到 14.5 亿美元(129)。这些投资反映了资本市场对 AI 数学工具商业前景的看好。

然而，要实现这些商业价值，企业需要注意以下几点：

技术选型：选择适合自己业务需求的 AI 数学工具，需要考虑精度要求、计算效率、成本等多个因素。
人才培养：AI 数学工具的有效使用需要既懂数学又懂 AI 的复合型人才，企业需要加大对这类人才的培养和引进。
数据准备：高质量的数据是 AI 数学工具发挥作用的基础，企业需要建立完善的数据管理体系。
风险控制：在使用 AI 数学工具时，需要建立相应的风险控制机制，确保结果的可靠性和安全性。

6. 发展前景与技术趋势

6.1 AI 数学研究的技术演进路径

AI 在数学研究领域的发展正在经历一个快速演进的过程。从最初的简单计算工具到现在的智能研究伙伴，AI 的角色正在发生根本性的转变。展望未来，我们可以预见以下几个重要的技术发展趋势。

首先是 AI 数学推理能力的持续提升。当前的 AI 系统已经能够处理一些相对简单的数学证明，但要达到人类数学家的水平还有很长的路要走。未来的发展方向包括：提高 AI 在处理抽象数学概念方面的能力，增强其在多步推理和复杂逻辑关系理解方面的表现，以及提升其在数学美学判断（如选择 “优雅” 的证明路径）方面的能力。

其次是 AI 与人类协作模式的不断优化。未来的 AI 系统将更加智能地理解人类数学家的意图，提供更加个性化的研究辅助。例如，AI 可以学习特定数学家的研究风格和偏好，主动提供符合其思维模式的建议和工具。同时，AI 系统之间也将形成更好的协作机制，不同功能的 AI 工具可以无缝集成，形成强大的研究生态系统。

第三是 AI 在跨学科数学研究中的应用拓展。数学与物理、化学、生物、工程等学科的交叉融合越来越深入，AI 在这些交叉领域将发挥越来越重要的作用。例如，在计算物理中，AI 可以帮助求解复杂的偏微分方程；在生物数学中，AI 可以发现复杂生物系统中的数学规律。

第四是 AI 数学工具的普及化和易用化。随着技术的进步，AI 数学工具将变得越来越容易使用，即使是数学基础相对薄弱的用户也能轻松上手。这将大大扩展 AI 数学工具的应用范围，推动数学方法在更多领域的普及。

6.2 人机协作模式的未来展望

人机协作将成为未来数学研究的主流模式。这种模式不是简单的工具使用关系，而是深度融合的伙伴关系。在这种关系中，人类和 AI 各自发挥自己的优势，共同推动数学研究的进步。

在未来的人机协作模式中，人类数学家将扮演 “创意总监” 的角色。他们负责提出研究问题、制定研究方向、评估研究成果的重要性和美感。而 AI 系统则扮演 “执行引擎” 的角色，负责处理繁琐的计算、验证、搜索等工作。这种分工将使人类数学家能够将更多精力投入到创造性工作中，大大提高研究效率和质量。

更重要的是，未来的人机协作将呈现出更加智能化的特征。AI 系统将能够理解人类数学家的研究意图，主动提供相关的工具和信息。例如，当数学家在思考某个问题时，AI 可以自动检索相关的文献、提供类似问题的解决方案、甚至提出新的研究思路。

同时，人机协作也将变得更加灵活和自适应。不同的研究任务可能需要不同的协作模式，AI 系统能够根据任务特点自动调整自己的角色和功能。例如，在探索性研究中，AI 可能更多地扮演 “发现者” 的角色；在验证性研究中，AI 可能更多地扮演 “验证者” 的角色。

6.3 对数学教育与研究模式的深远影响

AI 技术的发展正在深刻改变数学教育和研究的模式。这种改变不仅体现在工具层面，更体现在思维方式和方法论层面。

在数学教育方面，AI 将成为个性化学习的重要工具。传统的数学教育往往采用 “一刀切” 的方式，难以满足不同学生的学习需求。而 AI 可以根据每个学生的学习进度、理解能力、兴趣爱好等因素，提供个性化的教学内容和方法。例如，AI 可以为每个学生生成适合其水平的练习题，提供实时的学习反馈，甚至模拟一对一的数学辅导。

更重要的是，AI 将改变学生学习数学的方式。传统的数学学习往往强调记忆和练习，而未来的数学学习将更加注重理解和创新。AI 可以帮助学生直观地理解抽象的数学概念，通过可视化和互动的方式展示数学的美和实用性。同时，AI 也可以激发学生的数学兴趣，通过游戏化的方式让数学学习变得更加有趣。

在数学研究方面，AI 正在推动研究范式的转变。传统的数学研究往往是个人或小团队的工作，研究周期长，成果产出慢。而在 AI 的辅助下，数学研究正在向大规模协作的方向发展。全球的数学家可以通过 AI 平台实时共享研究进展、讨论问题、协同工作。这种全球化的研究模式将大大加速数学研究的进程。

同时，AI 也在改变数学研究的方法论。传统的数学研究主要依靠演绎推理和证明，而在 AI 的帮助下，归纳推理和实验数学的方法将得到更多应用。数学家可以通过 AI 进行大规模的数值实验，发现数学规律，然后再进行严格的证明。这种 “实验 - 猜想 - 证明” 的研究模式将成为未来数学研究的重要方法。

6.4 潜在挑战与应对策略

尽管 AI 在数学研究领域展现出巨大潜力，但我们也必须清醒地认识到其中存在的挑战和风险。

首先是技术挑战。当前的 AI 系统在处理复杂数学推理时仍然存在局限性。例如，在处理需要深层数学直觉的问题时，AI 往往显得力不从心。此外，AI 系统的 “黑箱” 特性也带来了可解释性的问题 —— 我们往往不知道 AI 为什么会得出某个结论，这在需要严格逻辑验证的数学研究中是一个严重的问题。

其次是可靠性挑战。虽然 AI 系统在很多情况下表现出色，但它们也可能出现错误，特别是在处理边缘情况或异常输入时。在数学研究中，一个错误的结论可能会导致整个研究方向的偏差，因此确保 AI 系统的可靠性至关重要。

第三是伦理和社会挑战。AI 在数学研究中的广泛应用可能会带来一些社会问题，如数学家的失业、数学研究的公平性问题等。我们需要制定相应的伦理规范和政策，确保 AI 的发展不会对人类数学家造成过度冲击。

面对这些挑战，我们提出以下应对策略：

技术创新：加大对 AI 数学推理技术的研发投入，特别是在提高可解释性、增强可靠性等方面。
标准制定：建立 AI 数学工具的行业标准和评估体系，确保 AI 系统的质量和可靠性。
人才培养：加强对 AI 数学复合型人才的培养，既要有深厚的数学功底，又要熟悉 AI 技术。
制度建设：建立相应的法律法规和伦理规范，确保 AI 在数学研究中的应用符合人类价值观。
国际合作：加强国际间的合作与交流，共同推动 AI 数学研究的健康发展。

7. AI 数学工具使用指南

7.1 技术选型建议

选择合适的 AI 数学工具是成功应用 AI 进行数学研究的第一步。不同的研究需求和应用场景需要不同类型的工具，正确的选型将大大提高研究效率和成果质量。

对于理论数学研究，推荐使用形式化证明工具如 Lean、Coq 或 Isabelle。这些工具能够提供严格的逻辑验证，确保证明的正确性。其中，Lean 因其活跃的社区和友好的用户界面，特别适合初学者入门。如果需要处理更复杂的高阶逻辑问题，Isabelle 是一个不错的选择。对于需要大量数学库支持的研究，Coq 的 MathComp 库提供了丰富的数学定理和证明策略。

对于应用数学和计算数学，数值计算工具如 MATLAB、Mathematica 或 Python 的科学计算库（如 NumPy、SciPy）是必不可少的。这些工具擅长处理大规模数值计算、数据分析和可视化。如果需要进行符号计算，Maple 和 Mathematica 提供了强大的符号处理能力。

对于AI 辅助的数学发现，大语言模型如 GPT-4、Claude 或 Gemini 是重要的工具。GPT-4 在综合数学能力方面表现最强，能够处理复杂的数学问题；Claude 在长文本推理方面有优势，适合处理需要大量上下文的问题；Gemini 的多模态能力使其特别适合结合数值可视化进行数学探索(157)。

对于特定领域的应用，如密码学、优化算法等，需要选择专门的工具。例如，在密码学研究中，可以使用专门的密码分析工具如 Hashcat、John the Ripper 等；在优化算法研究中，可以使用 Gurobi、CPLEX 等商业优化求解器，或 SCIP、GLPK 等开源工具。

在选型时，还需要考虑以下因素：

学习成本：评估团队成员学习和掌握新工具所需的时间和精力。
计算资源：确保有足够的硬件支持，特别是对于需要大量计算的 AI 模型。
集成需求：考虑所选工具与现有工作流程和系统的兼容性。
成本效益：综合考虑购买、维护和使用成本。

7.2 实施路径规划

成功实施 AI 数学工具需要精心的规划和系统的方法。以下是一个分阶段的实施路径建议。

第一阶段：需求分析与准备（1-2 个月）

在这个阶段，首先要明确使用 AI 数学工具的具体目标和需求。是要提高证明验证的效率？还是要发现新的数学模式？或是要加速数值计算？明确的目标将指导后续的工具选择和实施策略。

其次，要评估现有的技术基础和团队能力。了解团队成员的数学背景、编程能力和对 AI 技术的熟悉程度，据此制定相应的培训计划。同时，要检查现有的硬件设施和软件环境，确保能够支持所选 AI 工具的运行。

第三，要建立数据准备机制。高质量的数据是 AI 工具发挥作用的基础，需要收集、整理和标注相关的数学数据，包括定理库、证明库、数值数据集等。

第二阶段：工具选择与部署（2-3 个月）

基于需求分析的结果，选择合适的 AI 数学工具。可以先进行小规模的试用和对比测试，评估不同工具在实际应用中的表现。

在部署过程中，要注意以下几点：

环境配置：确保 AI 工具所需的运行环境正确配置，包括操作系统、编程语言、依赖库等。
性能优化：根据硬件配置对 AI 工具进行性能调优，如调整内存使用、并行计算参数等。
安全设置：建立适当的安全机制，保护研究数据和知识产权。
文档准备：整理详细的使用文档和操作指南，方便团队成员学习使用。

第三阶段：培训与试点应用（3-4 个月）

在全面推广之前，先在小范围内进行试点应用。选择一些相对简单但具有代表性的数学问题，使用 AI 工具进行处理，验证工具的有效性和可靠性。

同时，要加强团队培训。培训内容应包括：

工具使用培训：掌握 AI 数学工具的基本操作和高级功能。
数学知识更新：了解 AI 辅助数学研究的新方法和新思维。
最佳实践分享：总结试点项目中的经验教训，形成标准操作流程。
协作模式建立：建立人机协作的工作流程和沟通机制。

第四阶段：全面推广与优化（持续进行）

在试点成功的基础上，逐步推广到更多的研究项目中。在推广过程中，要建立完善的监控和评估机制，及时发现问题并进行优化。

持续优化包括：

性能优化：根据实际使用情况，不断调整 AI 工具的参数和配置。
功能扩展：根据新的需求，增加新的工具功能或集成新的工具。
流程改进：优化人机协作流程，提高工作效率。
知识管理：建立知识库，记录成功案例和经验教训。

7.3 人机协作环境构建

构建高效的人机协作环境是充分发挥 AI 数学工具价值的关键。以下是一些重要的构建要点。

硬件环境配置

计算资源：配备高性能的服务器或工作站，确保有足够的 CPU、内存和 GPU 资源支持 AI 模型的运行。对于大规模的数学计算，可能需要集群环境的支持。
存储系统：建立高速、大容量的存储系统，用于存储大量的数学数据、模型文件和计算结果。
网络环境：确保稳定高速的网络连接，支持团队成员之间的实时协作和数据共享。

软件平台搭建

集成开发环境：搭建统一的开发环境，集成各种 AI 数学工具，方便用户使用。
协作平台：建立团队协作平台，支持实时讨论、代码共享、版本控制等功能。
监控系统：建立系统监控和日志记录系统，及时发现和解决问题。
安全防护：部署完善的安全防护系统，保护研究成果和知识产权。

工作流程设计

任务分配机制：明确哪些任务适合 AI 处理，哪些任务需要人类参与，建立合理的任务分配机制。
质量控制流程：建立多级质量控制机制，确保 AI 生成的结果经过严格验证。
知识共享机制：建立知识管理系统，及时总结和分享研究经验。
激励机制：设计合理的激励机制，鼓励团队成员积极使用 AI 工具，创新工作方法。

团队建设

人才结构：建立包括数学家、AI 工程师、数据分析师等在内的跨学科团队。
技能培训：定期组织培训，提升团队成员的综合能力。
文化建设：营造开放、协作、创新的团队文化，鼓励尝试和创新。
外部合作：建立与其他研究机构、高校的合作关系，共享资源和经验。

7.4 投资回报率评估

评估 AI 数学工具的投资回报率 (ROI) 对于企业和研究机构的决策至关重要。以下是一个全面的 ROI 评估框架。

成本构成分析

AI 数学工具的投资成本主要包括：

初始投资：软件许可费用、硬件采购成本、系统集成费用等。
运营成本：维护费用、升级费用、人员工资、培训费用等。
机会成本：学习使用新工具的时间成本、可能的生产效率下降等。

根据市场调研，不同类型的 AI 数学工具成本差异很大。基础的数学软件如 MATLAB 可能只需要几千美元，而高端的 AI 推理系统如 Harmonic 的 Aristotle 可能需要数百万美元的投资(129)。

收益评估指标

AI 数学工具带来的收益是多方面的，需要从多个维度进行评估：

效率提升：计算速度的提升、证明验证时间的缩短、研究周期的减少等。根据案例分析，使用 AI 工具可以将某些数学问题的解决时间从数月缩短到数天(107)。
质量改进：证明的准确性提高、错误率降低、发现新定理的能力增强等。
创新能力：发现新的数学模式、提出新的研究方向、产生突破性成果等。
成本节约：减少人工计算成本、降低错误导致的返工成本、提高资源利用效率等。
竞争优势：在行业内的技术领先地位、获得更多的研究机会和项目等。

ROI 计算方法

ROI 的基本计算公式为：ROI = (收益 - 成本) / 成本 × 100%

但在实际应用中，需要考虑更多因素：

直接收益：可以量化的收益，如计算时间的减少、人力成本的节约等。
间接收益：难以直接量化但确实存在的收益，如创新能力的提升、研究质量的改善等。
时间价值：考虑货币的时间价值，对未来收益进行折现。
风险因素：考虑技术风险、市场风险等不确定因素的影响。

根据行业研究，AI 数学工具的投资回报率通常在 150% 以上，一些成功案例的 ROI 甚至可以达到 10 倍以上(173)。

评估建议

建立评估体系：建立科学、全面的 ROI 评估体系，定期进行评估。
多维度评估：从技术、经济、社会等多个维度评估 AI 工具的价值。
长期视角：考虑 AI 工具的长期价值，不要只看短期收益。
对比分析：与传统方法进行对比，量化 AI 工具的优势。
持续优化：根据评估结果，不断优化 AI 工具的使用策略。

通过科学的 ROI 评估，企业和研究机构可以更好地决策是否投资 AI 数学工具，以及如何最大化投资回报。同时，这也有助于制定更加合理的投资策略和发展规划。

8. 结论与展望

Erdos#1026 问题在 AI 辅助下仅用 48 小时被攻克，这一历史性事件标志着数学研究进入了人机协作的新纪元。通过深入分析这一突破性案例，我们看到了 AI 技术在推动科学发现方面的巨大潜力，也为未来的研究方向指明了道路。

从技术层面看，Aristotle 和 AlphaEvolve 两个 AI 系统展示了不同但互补的技术路径。Aristotle 通过形式化证明提供了严格的逻辑验证，AlphaEvolve 通过进化算法发现了隐藏的数学模式。两者的结合不仅解决了一个具体的数学问题，更重要的是展示了 AI 在数学研究中的多元化应用可能。AI 不再是简单的计算工具，而是能够理解数学概念、发现新规律、辅助证明的智能伙伴。

从应用场景看，AI 在数学研究中的价值已经远远超出了纯数学领域。在密码学、优化算法、机器学习理论等多个领域，AI 都在发挥着越来越重要的作用。特别是在商业应用中，AI 数学工具正在帮助企业解决复杂的实际问题，创造巨大的经济价值。

从发展前景看，AI 数学研究正处于一个快速发展的黄金期。技术的不断进步、应用场景的持续拓展、投资的大量涌入，都预示着这个领域的光明未来。人机协作将成为未来数学研究的主流模式，人类的创造力与 AI 的计算力相结合，必将产生更多突破性的成果。

然而，我们也必须清醒地认识到，AI 在数学研究中仍面临诸多挑战。技术上的局限性、可靠性问题、伦理考量等都需要我们认真对待。只有通过持续的技术创新、完善的制度建设和广泛的国际合作，才能确保 AI 在数学研究中的健康发展。

对于技术专业人士和企业管理者，我们建议：

积极拥抱变化：主动了解和学习 AI 数学工具，将其融入到自己的工作流程中。
注重人才培养：加强对跨学科人才的培养，特别是既懂数学又懂 AI 的复合型人才。
合理投资布局：根据自身需求和能力，选择合适的 AI 数学工具进行投资。
开放合作创新：积极参与行业合作，共享资源和经验，推动整个领域的发展。

展望未来，我们有理由相信，在 AI 技术的推动下，数学研究将迎来一个前所未有的繁荣时期。从解决古老的数学难题到发现全新的数学领域，从推动基础科学进步到解决实际应用问题，AI 都将发挥不可替代的作用。这不仅是数学的新纪元，更是人类智慧与人工智能共同创造的新时代。

让我们共同期待，在不久的将来，更多像 Erdos#1026 这样的数学难题被攻克，更多未知的数学领域被发现，数学这门古老而年轻的科学在 AI 的助力下绽放出更加绚烂的光彩。

参考资料

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[70] 陶哲轩，用AI爆改科研范式_新智元 http://m.toutiao.com/group/7569181154473968166/?upstream_biz=doubao

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[72] 陶哲轩联手AI挑战经典ε-δ极限，加法秒杀、乘法翻车_36氪 http://m.toutiao.com/group/7507119099361624591/?upstream_biz=doubao

[73] 陶哲轩亲测:我用Gemini十分钟搞定了困扰学界多年的难题 - 智源社区 https://hub.baai.ac.cn/view/50653

[74] 震撼!数学家1975年埋下的「坑」，被AI与全球网友48小时填平 | 陶哲轩关注 https://eu.36kr.com/zh/p/3596176018898947

[75] 陶哲轩用GPT5-Pro跨界挑战，3年无解的难题，11分钟出完整证明_36氪 http://m.toutiao.com/group/7559893001103852042/?upstream_biz=doubao

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[77] 奇点临近?谷歌Gemin联手陶哲轩10分钟解决百年数学难题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7576198686137418266/?upstream_biz=doubao

[78] [Terence Tao访谈] 概述 | 10%的问题 | 制造爆炸 | 生命游戏是一个离散方程-CSDN博客 https://blog.csdn.net/2301_80171004/article/details/148868238

[79] 陶哲轩晒出调教GPT-4聊天记录，点击领取大佬的研究助理!-CSDN博客 https://blog.csdn.net/amusi1994/article/details/131388799

[80] 陶哲轩震撼!数学家1975年埋下的坑，被ai和全球网友48小时填平了 http://m.toutiao.com/group/7583903012196778531/?upstream_biz=doubao

[81] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩，48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_biz=doubao

[82] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/

[83] AI 与全球数学家协同作战， 48 小时攻克 50 年数学难题一道由传奇数学家保罗 · 埃尔德什于 1975 年提出的数学难题，在沉寂半个世纪后，于 2025 年末被迅速破解。在人工智能工具的辅助下，一个由全球数学爱好者与专家组成的协作网络，仅用时 48 小时便完成了问题的精确形式化与最终证明，展现了 “ AI + 人类 ” 协作研究新范式的巨大潜力。

该问题编号为埃尔德什 # 1026 ，最初表述较为模糊，涉及实数序列中单调子序列的最大可能和。经网友转化为一个生动的 “ 硬币分堆 ” 游戏后，问题的核心被清晰界定：即确定对手无论如何分配，都能确保获取的硬币总数比例下限 c ( n ) 。

今年 9月，网友在探讨中针对 n 为平方数的情况提出了一个关键猜想。 12 月 7日，研究人员借助 AI 证明辅助工具 Aristotle 在 Lean 中自动验证了该猜想。几乎同时，另一位参与者给出了简洁的 “ 膨胀法 ” 人工证明。随后，数学家陶哲轩使用另一 AI 系统 Alpha Evolve 进行探索，与合作者共同发现了 c ( n ) 的一般公式，并揭示了该问题与经典 “ 正方形填充 ” 问题（埃尔德什问题 106 ）的深刻等价关系。最终，通过 AI 辅助的文献检索，团队找到了 2024 年的一篇关键论文，其结论完美补全了证明的最后一块拼图。

陶哲轩对此深感震撼，他强调，正是分散的贡献者、多样化的工具与开放的协作环境，使得从问题重述、猜想形成、公式发现到与既有数学成果连接的所有关键环节，在短短两天内高效汇聚。若依赖传统单人研究模式，此过程可能长达数周甚至数月。此次成功不仅是解决了一个历史遗留问题，更可能标志着数学研究方式进入了一个人机协同、全球实时协作的新时代。

https : / / terry tao . wordpress . com / 2025 / 12 / 08 / the - story - of - erdos - problem - 126 / https://www.iesdouyin.com/share/video/7583408101986929974/?region=&mid=7583407689774959423&u_code=0&did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&with_sec_did=1&video_share_track_ver=&titleType=title&share_sign=xmB_tjhzfcwKDk3_Tqp9oFCSefvGMxypEJ66W0JnwFw-&share_version=280700&ts=1765778889&from_aid=1128&from_ssr=1&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D

[84] AI助力陶哲轩48小时破解Erdős难题!_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964898756_122004016/

[85] 【圆桌对话回顾】跨界共治:全球专家深度探讨人工智能风险、治理与协作路径 - 智源社区 https://hub.baai.ac.cn/view/47962

[86] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了_量子位 http://m.toutiao.com/group/7583342205201302016/?upstream_biz=doubao

[87] Planet Musings https://golem.ph.utexas.edu/~distler/planet/

[88] Erdős Problems https://www.erdosproblems.com/

[89] 陶哲轩震撼，数学家1975年埋下的「坑」，被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_biz=doubao

[90] Erdős Problem 106: pack squares inside square #337 https://github.com/google-deepmind/formal-conjectures/issues/337

[91] Title:Packing, Hitting, and Colouring Squares https://arxiv.org/pdf/2206.02185

[92] 陶哲轩震撼，数学家1975年埋下的「坑」，被AI和全球网友用48小时填平了_36氪 http://m.toutiao.com/group/7583906090396434950/?upstream_biz=doubao

[93] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩，48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_biz=doubao

[94] AI 与全球数学家协同作战， 48 小时攻克 50 年数学难题一道由传奇数学家保罗 · 埃尔德什于 1975 年提出的数学难题，在沉寂半个世纪后，于 2025 年末被迅速破解。在人工智能工具的辅助下，一个由全球数学爱好者与专家组成的协作网络，仅用时 48 小时便完成了问题的精确形式化与最终证明，展现了 “ AI + 人类 ” 协作研究新范式的巨大潜力。

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[95] AI助力陶哲轩48小时破解Erdős难题!_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964898756_122004016/

[96] Эрдёш, Пал https://wiki2.org/ru/%D0%AD%D1%80%D0%B4%D1%91%D1%88,_%D0%9F%D0%B0%D0%BB

[97] 腾讯研究院AI速递 20251215_搜狐网 https://m.sohu.com/a/965142266_455313/

[98] News https://en.ncsti.gov.cn/Latest/news/202406/t20240619_168530.html

[99] Teaching AI to Reason Like Humans Through Math Proofs https://www.visive.ai/news/teaching-ai-to-reason-like-humans-through-math-proofs

[100] At Secret Math Meeting, Researchers Struggle to Outsmart AI https://www.scientificamerican.com/article/inside-the-secret-meeting-where-mathematicians-struggled-to-outsmart-ai/

[101] Google DeepMind and Google.org announce AI for Math Initiative https://bardai.ai/2025/12/04/google-deepmind-and-google-org-announce-ai-for-math-initiative/

[102] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/

[103] AI 解难题，取代数学家？ # AI https://www.iesdouyin.com/share/video/7576585681889536622/?region=&mid=7576585597545040646&u_code=0&did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&with_sec_did=1&video_share_track_ver=&titleType=title&share_sign=7MxZEkXjermr8lR1tBYqP2qwPBJVqXfCxCwH0r3BiFg-&share_version=280700&ts=1765778906&from_aid=1128&from_ssr=1&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D

[104] 陶哲轩震撼!数学家1975年埋下的「坑」，被AI和全球网友用48小时填平了_新浪财经 http://m.toutiao.com/group/7583327290839581238/?upstream_biz=doubao

[105] 数学界的“极速追杀”:AI联手陶哲轩，48小时终结半个世纪的谜题_人工智能学家 http://m.toutiao.com/group/7583623931840528923/?upstream_biz=doubao

[106] 半世纪难题48小时破解!陶哲轩组队把AI数学玩成打怪游戏了_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964897856_121207965/

[107] 48小时内破解50年数学难题!陶哲轩与AI的完美协作_搜狐网 https://m.sohu.com/a/964899033_121956424/

[108] The Future of Mathematical Discovery: Code, Creativity, and the Rise of AI https://magazine.mindplex.ai/post/the-future-of-mathematical-discovery-code-creativity-and-the-rise-of-ai

[109] A New Kind of Scientist: AI Is Starting to Make Real Discoveries https://hackernoon.com/a-new-kind-of-scientist-ai-is-starting-to-make-real-discoveries

[110] AI’s Paradoxical Path to New Math: To Find Better Answers, It Needs Less Data and a “Dumber” Brain https://hackernoon.com/ais-paradoxical-path-to-new-math-to-find-better-answers-it-needs-less-data-and-a-dumber-brain

[111] AI in Problem Solving: DeepMind & OpenAI Break New Ground https://www.aicerts.ai/news/ai-in-problem-solving-deepmind-openai-break-new-ground/

[112] Mathematics and Machine Creativity: A Survey on Bridging Mathematics with AI https://arxiv.org/html/2412.16543v2/

[113] Neuro-Symbolic AI for Analytical Solutions of Differential Equations https://arxiv.org/html/2502.01476v2

[114] 陶哲轩力推AlphaEvolve:解决67个不同数学问题，多个难题中超越人类最优解-36氪 https://m.36kr.com/p/3542664198140036

[115] 人工智能与数学双向奔赴 http://paper.chinahightech.com/pad/content/202508/11/content_155063.html

[116] Math + AI = Tomorrow’s breakthroughs https://www.darpa.mil/news/2025/math-ai-tomorrows-breakthroughs

[117] How AI is Transforming Math: The Rise of Automated Theorem Proving https://theaiinnovator.com/how-ai-is-transforming-math-the-rise-of-automated-theorem-proving/

[118] How Math Reveals the Bleeding Edge of AI https://www.pnnl.gov/news-media/how-math-reveals-bleeding-edge-ai

[119] Maths and machine learning https://mathematical-research-institute.sydney.edu.au/news/maths-and-machine-learning/

[120] AI & Math: Terence Tao on the Future of Mathematical Research https://www.toolify.ai/ai-news/ai-math-terence-tao-on-the-future-of-mathematical-research-3789971

[121] The Future of Mathematical Discovery: Code, Creativity, and the Rise of AI https://magazine.mindplex.ai/post/the-future-of-mathematical-discovery-code-creativity-and-the-rise-of-ai

[122] 模运算在人工智能加密算法中的应用-洞察及研究.docx - 人人文库 https://m.renrendoc.com/paper/497024353.html

[123] 从矩阵运算到深度学习Python实战解析AI数学核心附代码模板数据集一、数学是AI的基石人工智能(AI)的快速发展离 - 掘金 https://juejin.cn/post/7526786618159104019

[124] 6、AI赋能密码学:从基础到应用的全面解析-CSDN博客 https://blog.csdn.net/grafana6viz/article/details/151742937

[125] 慕ke 深入AI/大模型必修数学体系—从线性代数到信息论的全栈解析在人工智能(AI)与大模型(Large Langu - 掘金 https://juejin.cn/post/7525649329585356836

[126] 网络安全和人工智能需要的数学领域_网络安全涉及的数学知识-CSDN博客 https://blog.csdn.net/cocofu/article/details/143087252

[127] 数学与人工智能技术的深度融合-洞察阐释.docx - 人人文库 https://m.renrendoc.com/paper/438142820.html

[128] 数学在人工智能领域的应用-洞察及研究 - 豆丁网 https://www.docin.com/touch_new/preview_new.do?id=4890522420

[129] Decoding the $1.45B Valuation of Harmonic: A Breakthrough in AI Accuracy and Commercial Potential https://www.ainvest.com/news/decoding-1-45b-valuation-harmonic-breakthrough-ai-accuracy-commercial-potential-2511/

[130] 斯坦福中国学霸开挂创业:AI解数学难题，0产品目标估值3亿美元_智东西 http://m.toutiao.com/group/7512079685979800101/?upstream_biz=doubao

[131] Harmonic AI raises $120M at $1.45B valuation to advance mathematical reasoning https://siliconangle.com/2025/11/25/harmonic-ai-raises-120m-1-45b-valuation-advance-mathematical-reasoning/

[132] Math Calculation Software Market https://dataintelo.com/report/math-calculation-software-market

[133] AI Algorithms Market & Intelligent Systems: B2B Use Cases and Neural Network Innovations https://www.marketsandmarkets.com/blog/ICT/neural-networks-ai-algorithms-intelligent-systems-market-use-cases

[134] Mathematics Software Market (By Application: (Educational, Research, Commercial), By Deployment: (Cloud-Based, On-Premise), By End-User) - Global Market Size, Share, Growth, Trends, Statistics Analysis Report, By Region, And Forecast 2025-2033 https://www.datahorizzonresearch.com/mathematics-software-market-39443

[135] Tamanho do mercado de IA, participação, crescimento e análise de mercado por tipo (aprendizado de máquina, processamento de linguagem natural, visão computacional, robótica, software de IA), por aplicação (saúde, finanças, varejo, fabricação, educação, automotivo) e previsão regional para 2033 https://www.proficientmarketinsights.com/pt/market-reports/ai-market-2886

[136] AI赋能数学研究|代数|图论|定理|数学研究|算法|黎曼_手机网易网 http://m.163.com/dy/article/KGIPDG0K0516DOTJ.html

[137] Formal Mathematical Reasoning: A New Frontier in AI https://arxiv.org/html/2412.16075

[138] 数学智能五大方向的五维可行性论证.docx - 人人文库 https://www.renrendoc.com/paper/495544960.html

[139] IA y matemáticas: cuáles son los 3 avances que podrían transformar la forma en que pensamos https://www.infobae.com/america/ciencia-america/2025/06/05/ia-y-matematicas-cuales-son-los-3-avances-que-podrian-transformar-la-forma-en-que-pensamos/

[140] Teaching LLMs to think: Xian Zhang on advancing mathematical reasoning in AI https://www.microsoft.com/en-us/research/articles/teaching-llms-to-think-xian-zhang-on-advancing-mathematical-reasoning-in-ai/

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[142] ChatGPT’s Stunning Mathematical Discovery https://github.com/toshon-jennings/samo-wiki/wiki/ChatGPT%E2%80%99s-Stunning-Mathematical-Discovery

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[144] 人工智能为数学家找到“巨人的肩膀”——解码“AI+科研”系列报道之二 http://www.stdaily.com/web/gdxw/2025-08/25/content_389864.html

[145] 陶哲轩惊呼“变天”，AI用6小时改写数学史 https://c.m.163.com/news/a/KFU4CIAR0550W16F.html

[146] AI成为数学家得力助手还要多久–经济·科技–人民网 http://finance.people.com.cn/BIG5/n1/2025/0617/c1004-40502346.html

[147] 北大AI4M团队推进数学数字化与智能化双向赋能 https://www.iesdouyin.com/share/video/7501971562598436096/?region=&mid=7501971944590428940&u_code=0&did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&with_sec_did=1&video_share_track_ver=&titleType=title&share_sign=GkB2g6jWwE.D5LJ3X2TsxcG9YtJQR6yorMUthlZwIkw-&share_version=280700&ts=1765778938&from_aid=1128&from_ssr=1&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D

[148] 人工智能与数学双向奔赴 http://paper.chinahightech.com/pad/content/202508/11/content_155063.html

[149] AI for Science 能走多远?— 从多元智能与数学难题看AI的科学潜能-腾讯云开发者社区-腾讯云 https://cloud.tencent.com.cn/developer/article/2570685

[150] 人工智能在数学中的应用(终极篇):心智的延伸——AI与数学共塑人类认知的未来_wx62088446a1f70的技术博客_51CTO博客 https://blog.51cto.com/u_15511034/14194729

[151] The Future of Math with o1 Reasoning https://forum.openai.com/public/videos/the-future-of-math-with-o1-reasoning-2024

[152] Creative Collaboration with AI: Insights from Hugo Duminil-Copin on Mathematics and Discovery https://blog.mathieuacher.com/AIScientificThinkingHugoDuminilCopin/

[153] Title:The Mathematician’s Assistant: Integrating AI into Research Practice https://www.arxiv.org/pdf/2508.20236

[154] Google DeepMind and Google.org announce AI for Math Initiative https://newszone.arammon.com/google-deepmind-and-google-org-announce-ai-for-math-initiative/

[155] MA-LoT: Model-Collaboration Lean-based Long Chain-of-Thought Reasoning enhances Formal Theorem Proving https://icml.cc/virtual/2025/poster/46138

[156] AI Mathematician: Towards Fully Automated Frontier Mathematical Research https://arxiv.org/html/2505.22451v1

[157] 5年AI应用架构师经验:AI驱动数学研究的方法论与最佳工具-CSDN博客 https://blog.csdn.net/2501_91483145/article/details/150073674

[158] AI 기반 수학 문제 해결 도구: 수학 학습 혁신 가이드 https://www.toolify.ai/ko/ai-news-kr/ai-3873491

[159] 2025년 11월 최고의 AI 수학 도구 9가지 https://www.unite.ai/ko/best-ai-for-math-tools/

[160] Best Math AI Apps of 2025: My Top Picks https://tutorai.me/blog/best-math-ai-apps/

[161] Best AI Tools For Mathematicians in 2025 https://www.toolify.ai/jobs/mathematicians-221

[162] The Best Math Tool Better Than ChatGPT Math Solver in 2025 https://notegpt.io/blog/the-best-math-tool-better-than-chatgpt-math-solver-in-2025

[163] Best AI for Maths in 2025 – Solvers, Calculators & Apps https://promptaitools.com/best-ai-for-maths/

[164] 【师说AI】数学老师必备的 18 款 AI 工具-学科网 https://m.zxxk.com/article/1036967.html

[165] 2025 年七大 AI 数学工具排行榜:轻松解决复杂数学问题 https://powerdrill.ai/zh/blog/top-ai-math-tools-to-solve-complex-math-problems

[166] 2025年国内数学AI大模型API排名:混元大模型、DeepSeek、通义千问一、2025年国内数学大模型排名 1. 九 - 掘金 https://juejin.cn/post/7514537797954469903

[167] 【2025】9 款 AI 数学解题助手推荐，为你解答数学难题、提升数学能力 - https://baozang.io/3337

[168] AI技术助力高中数学高效提分系统方案 https://www.iesdouyin.com/share/video/7473736121634065724/?region=&mid=7473735665868360482&u_code=0&did=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&iid=MS4wLjABAAAANwkJuWIRFOzg5uCpDRpMj4OX-QryoDgn-yYlXQnRwQQ&with_sec_did=1&video_share_track_ver=&titleType=title&share_sign=akvIxUANtzOFPdLwcJUyuLa8cFUQP6K6gtDdDt_bxd0-&share_version=280700&ts=1765778965&from_aid=1128&from_ssr=1&share_track_info=%7B%22link_description_type%22%3A%22%22%7D

[169] AI应用架构师强推!提升数学研究效率的10个AI工具+方法论-CSDN博客 https://blog.csdn.net/sjsndy/article/details/151688899

[170] 8 款出色的 AI 数学工具 – Edu指南 http://zxjyzn.com/8-%E6%AC%BE%E5%87%BA%E8%89%B2%E7%9A%84-ai-%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B7%A5%E5%85%B7/

[171] AI架构师必备:投资回报分析的机器学习实战_预期回报与机器学习-CSDN博客 https://blog.csdn.net/2502_91678797/article/details/149783693

[172] The ROI Calculation Framework https://fourweekmba.com/the-roi-calculation-framework/

[173] Como a MATH AI Platform garante a mensuração do ROI em projetos de IA https://pt.linkedin.com/pulse/como-math-ai-platform-garante-mensura%C3%A7%C3%A3o-do-roi-em-de-ghiraldini-sx0ef?trk=article-ssr-frontend-pulse_more-articles_related-content-card

[174] Predictive ROI Analysis https://www.kognition.info/ai_use_cases/predictive-roi-analysis/

[175] Measuring Generative AI ROI https://www.goml.io/measuring-generative-ai-roi/

[176] A Framework for Calculating ROI for Agentic AI Apps https://techcommunity.microsoft.com/blog/machinelearningblog/a-framework-for-calculating-roi-for-agentic-ai-apps/4369169

[177] AI ROI Strategy 2025: From $50M Investment to Measurable Returns https://axis-intelligence.com/ai-roi-strategy-2025-ultimate-guide/

（注：文档部分内容可能由 AI 生成）

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