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图

一、图的基础概念与术语

1. 概念：图是一种非线性数据结构，由顶点和边组成，相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，因而更为复杂。

2. 常见类型

   1. 是否有方向：无向图与有向图

      • 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系
      • 在有向图中，边具有方向性，即A→B和B→A两个方向的边是相互独立的

   2. 所有顶点是否连通：连通图和非连通图

      • 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
      • 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。

   3. 我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到有权图

3. 术语：

   1. 邻接：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。
   2. 路径：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。
   3. 度：一个顶点拥有的边数。对于有向图，入度表示有多少条边指向该顶点，出度表示有多少条边从该顶点指出。

二、图的表示

1. 邻接矩阵：设图的顶点数量为 ，邻接矩阵使用一个 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用0或1表示两个顶点之间是否存在边。

2. 邻接表：邻接表（adjacency list）使用n个链表来表示图，链表节点表示顶点。第i个链表对应顶点i，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。

三、图的基础操作

1. 基于邻接矩阵的实现

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */ class GraphAdjMat { vector<int> vertices; vector<vector<int>> adjMat; public: /* 构造方法 */ GraphAdjMat(const vector<int> &vertices, const vector<vector<int>> &edges) { // 添加顶点 for (int val : vertices) { addVertex(val); } // 添加边 for (const vector<int> &edge : edges) { addEdge(edge[0], edge[1]); } } /* 获取顶点数量 */ int size() const { return vertices.size(); } /* 添加顶点 */ void addVertex(int val) { int n = size(); vertices.push_back(val); adjMat.emplace_back(vector<int>(n, 0)); for (vector<int> &row : adjMat) { row.push_back(0); } } /* 删除顶点 */ void removeVertex(int index) { if (index >= size()) { throw out_of_range("顶点不存在"); } vertices.erase(vertices.begin() + index); adjMat.erase(adjMat.begin() + index); for (vector<int> &row : adjMat) { row.erase(row.begin() + index); } } /* 添加边 */ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引 void addEdge(int i, int j) { if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) { throw out_of_range("顶点不存在"); } adjMat[i][j] = 1; adjMat[j][i] = 1; } /* 删除边 */ void removeEdge(int i, int j) { if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) { throw out_of_range("顶点不存在"); } adjMat[i][j] = 0; adjMat[j][i] = 0; } /* 打印邻接矩阵 */ void print() { cout << "顶点列表 = "; printVector(vertices); cout << "邻接矩阵 =" << endl; printVectorMatrix(adjMat); } };

2. 基于邻接表的实现

/* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { public: unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中删除指定节点 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { if (vec[i] == vet) { vec.erase(vec.begin() + i); break; } } } /* 构造方法 */ GraphAdjList(const vector<vector<Vertex *>> &edges) { for (const vector<Vertex *> &edge : edges) { addVertex(edge[0]); addVertex(edge[1]); addEdge(edge[0], edge[1]); } } /* 获取顶点数量 */ int size() { return adjList.size(); } /* 添加边 */ void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) { if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2) throw invalid_argument("不存在顶点"); adjList[vet1].push_back(vet2); adjList[vet2].push_back(vet1); } /* 删除边 */ void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) { if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2) throw invalid_argument("不存在顶点"); remove(adjList[vet1], vet2); remove(adjList[vet2], vet1); } /* 添加顶点 */ void addVertex(Vertex *vet) { if (adjList.count(vet)) return; adjList[vet] = vector<Vertex *>(); } /* 删除顶点 */ void removeVertex(Vertex *vet) { if (!adjList.count(vet)) throw invalid_argument("不存在顶点"); adjList.erase(vet); for (auto &adj : adjList) { remove(adj.second, vet); } } /* 打印邻接表 */ void print() { cout << "邻接表 =" << endl; for (auto &adj : adjList) { const auto &key = adj.first; const auto &vec = adj.second; cout << key->val << ": "; printVector(vetsToVals(vec)); } } };

四、图的遍历

1. 广度优先搜索：广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张
2. 代码实现：

vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) { vector<Vertex *> res; unordered_set<Vertex *> visited = {startVet}; queue<Vertex *> que; que.push(startVet); while (!que.empty()) { Vertex *vet = que.front(); que.pop(); res.push_back(vet); for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) { if (visited.count(adjVet)) continue; que.push(adjVet); visited.emplace(adjVet); } } return res; }