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IIR滤波器的逐步设计与不同类型滤波器的特性分析

1. IIR滤波器传递函数的求解

在设计谐振滤波器时，其传递函数可通过双线性z变换（BZT）从模拟滤波器的传递函数$H’(s)$得到，公式为$H(z) = H’(s)|_{s=(z - 1)/(z + 1)}$。例如，经过计算可得：
[
H(z) = \frac{9.6603 + 2.0z^{-1}-7.6603z^{-2}}{4.6928 - 4.0z^{-1}+3.3072z^{-2}}=\frac{4.69(2.059 + 0.426z^{-1}-1.633)z^{-2}}{4.69(1 - 0.85z^{-1}+0.705z^{-2})}=\frac{2.09 + 0.4262z^{-1}-1.633z^{-2}}{1 - 0.8524z^{-1}+0.705z^{-2}}=\frac{2.091 + 0.2039z^{-1}-0.7813z^{-2}}{1 - 0.8524z^{-1}+0.705z^{-2}}
]

从上述例子可以看出，设计过程中最繁琐的部分是通过BZT，利用$s = (z - 1)/(z + 1)$从$H(s)$计算$H(z)$。不过，利用BZT的一些有趣特性，已经有高效的算法来完成这个过程。在实际应用中，我们可以使用实现该算法的计算机程序，该程序接受给定$H(s)$的系数并输出相应的$H(z)$。

2. 未知传递函数的滤波器设计步骤

当原型低通滤波器不存在或模拟滤波器的传递函数未知时，BZT方法的步骤如下：
1.预畸变数字滤波器的通带或临界频率：即对数字滤波器的$\Omega_p^p$和$\Omega_p^s