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尔曼滤波理论由鲁道夫·卡尔曼于1960年提出，随后在解决“阿波罗计划”中航天器的导航问题时获得成功。

卡尔曼滤波理论可以高效地处理测量误差。广泛的测量需求和测量误差的客观存在使它备受关注，从控制科学到电子信息，从航空航天到人工智能，很多领域都有它的身影。

然而仅凭“应用广泛”还不足以说明它的价值，事实上，它常出现在众多领域的高阶部分。有评论说，它是20世纪重要的数学发现之一。

我们用一个简单模型，逐步推导经典卡尔曼滤波理论，体会它的思想方法。

渐入佳境

今有秦岭冷杉，

次测量的树高为

，，，，

，通常的做法是取平均数作为测量结果。

下面通过方程变形，把

分离出来：

即

，

其中

，是通过前

次测量对树高的估计。

继续把

分离出来：

即

，

其中

，是通过前

次测量对树高的估计。

以此类推，有通式：

，

方程甲

即第

次的估计

，可由第

次的估计

融合第

次的测量

后得出。

这就形成了一种不断融合新数据、进行迭代优化的计算方法。

参数

可以用来调节“上次估计”与“本次测量”的采用比例。

接下来我们寻求一个最优的

。

画龙点睛

定义两个随机变量：

令随机变量

为“上次估计”的误差，即

的误差（

真实值

）。

令随机变量

为“本次测量”的误差，即

的误差（

真实值

）。

假设

与

相互独立。这意味着“上次估计(之前测量)的误差”与“本次测量的误差”不相关。

假设

与

均服从高斯分布。这意味着其线性组合

也服从高斯分布。

这两条假设是对数学模型的理想化，也是整个推导过程中的关键。

一方面我们可以据此得到一个简洁的方程，另一方面从现实世界的情况来看，这样的假设往往是合理的。

根据这两条假设，计算随机变量的方差：

简记为：

其中

为“本次估计”的误差方差，

为“上次估计”的误差方差，

为“本次测量”的误差方差。

这是一个开口向上的一元二次函数，在顶点（导数为零）处取得最小值。

为使“本次估计”的误差方差最小（估计最可靠），令：

解得：

方程乙

余霞成绮

此时，

即：

方程丙

至此，我们的推导结束了。

实践已经证明，这个基于假设得出的理论表现不俗。

文末附一段 java 程序，看一下“卡尔曼滤波器”的高效与简洁。

/**

* 一个简单的卡尔曼滤波器

*/

public class Filter {

private double x; // 估计值

private double p; // 估计误差方差

private final double q; // 测量误差方差

// 初始化

public Filter(double x, double p, double q) {

this.x = x;

this.p = p;

this.q = q;

}

// 优化估计

public void calc(double newX) {

double k = p / (p + q); // 对应 方程乙

x = (1 - k) * x + k * newX; // 对应 方程甲

p = (1 - k) * p; // 对应 方程丙

}

// 输出结果

@Override

public String toString() {

return "x=" + x + ", p=" + p + ", q=" + q;

}

}

/**

* 程序入口

*/

public static void main(String[] args) {

Scanner scanner = new Scanner(System.in);

System.out.println("请输入估计值：");

double x = scanner.nextDouble();

System.out.println("请输入估计误差方差：");

double p = scanner.nextDouble();

System.out.println("请输入测量误差方差：");

double q = scanner.nextDouble();

// 初始化滤波器

Filter filter = new Filter(x, p, q);

System.out.println("请依次输入测量值(小于零时退出)：");

// 迭代计算

while (true) {

double newX = scanner.nextDouble();

if (newX < 0) break;

// 优化估计

filter.calc(newX);

// 实时输出

System.out.println(filter);

}

scanner.close();