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简介：这份文档面向具备控制理论基础与编程能力的高年级本科生、研究生及工程技术人员，围绕自动控制原理实验教学，系统讲解控制系统的建模、分析与校正方法，帮助读者在MATLAB与MWORKS环境下完成从数学模型建立到性能验证的完整训练。资源包内含1个docx文件，约1.43MB，按实验一至实验六组织内容，依次覆盖传递函数与状态空间模型的建立、时域与频域分析、典型环节动态性能与稳定性、频率特性测量、频率法串联校正，以及EF-Servo集成与滤波，每个实验均配有目的、内容、步骤与思考题。已有677人学习，适合对照文档动手操作、逐步完成任务并结合思考题加深理解，从而熟悉Simulink建模流程与两款工具的使用，提升系统分析与实践能力。

1. 传递函数不是公式，是控制系统的“身份证”

很多人第一次在 MATLAB 里敲下tf(num, den)，看到命令窗回显一个分式，就以为建模结束了。但真正让控制系统“跑起来”的，从来不是那个分式本身，而是分式背后那套把微分方程压缩成代数运算的表示体系。自动控制原理实验里反复出现的 TF、ZPK、SS 三种模型，本质上是在回答同一个问题：一个动态系统，到底该用什么样的“身份证”来描述，才能让后续的时域分析、频域分析、稳定性判断都建立在同一套可计算的基础上。搞懂这件事，你才会明白为什么ss(tf(G))转出来的状态空间矩阵不唯一，为什么feedback(G1, G2)默认是负反馈，为什么 Simulink 里连一根线都有方向。这份实验文档把六个实验串成一条线，从建模到校正，恰好是这条认知路径的完整走法。

2. 三种 LTI 模型：为什么同一个系统要有三张脸

线性定常系统的传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型，在数学上等价，在工程上却各有各的用武之地。理解它们之间的转换关系，比记住tf、zpk、ss三个函数的调用格式重要得多。

2.1 传递函数模型：把微分方程变成多项式比值

传递函数的核心操作是对线性定常系统的微分方程做拉普拉斯变换，把时域的微积分运算变成复频域的代数运算。一个 n 阶系统在零初始条件下，输出与输入的拉普拉斯变换之比就是一个有理分式，分子分母都是 s 的多项式。MATLAB 和 MWORKS 里用两个行向量num和den分别存分子分母的系数，按 s 的降幂排列。

% 建立 G(s) = 6 / (s^3 + 6s^2 + 11s + 6) 的传递函数模型 num = 6; den = [1 6 11 6]; % 系数按 s^3, s^2, s^1, s^0 排列 G = tf(num, den);

这里有个容易被忽略的细节：den的第一个元素必须是 1，或者至少是非零值，因为它对应最高次项的系数。如果系统有缺项，比如s^3 + 11s + 6没有s^2项，系数向量里必须补 0，写成[1 0 11 6]。漏掉这个 0，多项式阶次就错了，后面算出来的极点全是错的。这是血泪经验里最常见的一类翻车。

传递函数模型的优点是直观，分子分母的系数直接对应系统的微分方程结构，频域分析时把s = jω代进去就能算频率响应。缺点是它只适用于单输入单输出系统，多变量系统没法用两个向量描述。

2.2 零极点增益模型：把结构信息显式暴露出来

把传递函数的分子分母分别因式分解，就得到零极点增益模型。零点让传递函数取零，极点让传递函数趋于无穷，增益是整体的缩放系数。这个模型的价值在于，系统的动态特性几乎完全由极点在复平面上的位置决定。

% G(s) = 6 / [(s+1)(s+2)(s+3)] z = []; % 无零点时留空 p = [-1 -2 -3]; % 极点位置 k = 6; % 增益 G = zpk(z, p, k);

极点位置直接告诉你系统的稳定性：全部在左半平面则渐近稳定，有右半平面极点则不稳定，虚轴上有一对共轭极点则临界稳定。阻尼比和无阻尼振荡频率这两个二阶系统参数，本质上就是从共轭极点的位置反推出来的。实验二里改变阻尼比 ζ 观察超调量变化，改变的就是极点在复平面上的角度。

零极点模型还有一个实用场景：串联校正。实验五的频率法串联校正，设计过程就是在开环传递函数上添加零极点，用零点的相位超前补偿系统的相位滞后。用zpk模型做这件事，比在num、den向量上手工做多项式乘法清晰得多。

2.3 状态空间模型：为什么它不唯一

状态空间模型用一阶微分方程组描述系统，矩阵形式是 ẋ = Ax + Bu，y = Cx + Du。A 是系统矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接传递矩阵。对于传递函数模型，ss(G)能把它转成一种特定形式的状态空间实现，通常叫可控标准型。

% 将传递函数转为状态空间模型 Gtf = tf(5, [1 4 5 2]); Gss = ss(Gtf); % Gss.A, Gss.B, Gss.C, Gss.D 分别是四个矩阵

关键点在于：同一个传递函数对应的状态空间模型有无穷多个。因为状态变量的选取不是唯一的，你可以对状态做任意可逆线性变换 x' = Px，得到一组新的 A' = PAP⁻¹、B' = PB、C' = CP⁻¹、D' = D，传递函数完全不变。ss(tf(G))只是给出了其中一种规范形式，不是唯一答案。实验一里要求把传递函数转成状态空间再转回传递函数做比较，你会发现转回来的系数有微小的数值误差，比如1.9999999999999993这种，这是浮点运算的正常现象，不是模型建错了。

状态空间模型的真正优势在多变量系统和现代控制理论。状态方程能同时处理多个输入多个输出，能直接做能控性、能观性分析，能设计状态反馈和观测器。实验六的 EF-Servo 集成与滤波，底层用的就是状态空间那套框架。

提示：ss转换出来的状态空间模型，A 矩阵的特征值就是系统的极点，和pole(G)的结果一致。可以用eig(Gss.A)验证，这是检查转换是否正确的一个快速手段。

2.4 模型连接：串联、并联、反馈的代数本质

实验一要求求两个子系统的串联、并联、反馈连接。这三种连接在传递函数层面就是三种代数运算：串联是相乘，并联是相加，反馈是 G1/(1+G1·G2)。MATLAB 里分别用G1*G2、G1+G2、feedback(G1, G2)实现。

G1 = tf([1 1], [1 4 4]); % (s+1)/(s^2+4s+4) G2 = tf(1, [1 1]); % 1/(s+1) G_series = G1 * G2; % 串联 G_parallel = G1 + G2; % 并联 G_feedback = feedback(G1, G2); % 负反馈，默认

feedback函数默认是负反馈，因为工程上绝大多数闭环系统都是负反馈结构。如果要正反馈，需要显式传第三个参数+1。这个默认值的设计动机很直接：负反馈是控制系统能稳定工作的基础，正反馈通常只出现在振荡器或特定补偿结构里。实验里建立单位负反馈系统时，feedback(G, 1)的第二个参数 1 表示反馈通道传递函数为 1，即单位反馈。

串联连接的顺序有讲究。G1*G2和G2*G1在标量传递函数下结果相同，但在状态空间模型下，矩阵维度必须匹配，顺序不能随意交换。这是从传递函数思维切换到状态空间思维时容易踩的坑。

3. 时域与频域分析：极点和零点到底在告诉你什么

建模只是起点，分析才是目的。时域分析看系统对时间信号的响应，频域分析看系统对不同频率正弦信号的稳态响应，两者从不同侧面描述同一个系统，但底层都归结到极零点分布。

3.1 二阶系统的两个参数：阻尼比和无阻尼振荡频率

典型二阶系统的闭环传递函数标准形式是 ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²)。ζ 是阻尼比，ωn 是无阻尼振荡频率。这两个参数决定了极点的位置：s = -ζωn ± jωn√(1-ζ²)。

ζ 的取值直接决定响应形态：ζ = 0 时无阻尼，等幅振荡；0 < ζ < 1 时欠阻尼，衰减振荡；ζ = 1 时临界阻尼，单调上升无超调；ζ > 1 时过阻尼，单调上升但更慢。实验二要求取 ζ = 0、0.5、0.707、1、1.5 分别画阶跃响应，就是在观察极点从虚轴向左半平面移动时，响应从振荡到单调的连续变化。

% 固定 wn = 5，改变阻尼比观察阶跃响应 wn = 5; zita_list = [0, 0.5, 0.707, 1, 1.5]; t = 0:0.01:5; figure; hold on; for zita = zita_list num = wn^2; den = [1, 2*zita*wn, wn^2]; G = tf(num, den); step(G, t); end legend('ζ=0','ζ=0.5','ζ=0.707','ζ=1','ζ=1.5');

这段代码里den = [1, 2*zita*wn, wn^2]对应的是闭环传递函数的分母。注意实验文档里给的参考代码是先建开环再feedback闭环，两种写法等价，但直接写闭环分母更简洁。ζ = 0.707 对应的是最佳阻尼比，超调量约 4.3%，上升时间和调节时间取得较好的折中，工程上常作为设计目标。

ωn 的影响则体现在响应速度上。ζ 固定时，ωn 越大，极点离虚轴越远，响应越快，上升时间和峰值时间都缩短，但超调量基本不变（因为超调量只取决于 ζ）。实验二要求固定 ζ 改变 ωn 取 0.5、1、3、5，观察的就是这个规律。

3.2 时域性能指标的数值求解：step、lsim、initial 的分工

MATLAB 提供了四个求系统响应的函数，分工明确：step求单位阶跃响应，impulse求单位脉冲响应，lsim求任意输入响应，initial求零输入响应。实验二里用step求阶跃响应，用lsim求斜坡输入响应，用initial求初始状态引起的响应。

% 状态空间模型 A = [0 1; -2 -3]; B = [0; 1]; C = [1 1]; D = 0; G = ss(A, B, C, D); t = 0:0.5:10; x0 = [1; -1]; % 零输入响应 [yo, t, xo] = initial(G, x0, t); % 零状态响应：单位阶跃输入 u = ones(size(t)); [yu, t, xu] = lsim(G, u, t); % 总响应 = 零输入响应 + 零状态响应 y_total = yo + yu; x_total = xo + xu;

这里体现的是线性系统最重要的性质之一：全响应可以分解为零输入响应和零状态响应之和。initial只算初始状态的作用，lsim只算输入的作用，两者相加就是完整响应。这个分解在理论分析里叫叠加原理，在数值计算里就是两次函数调用加一次向量加法。

step和lsim的返回值有三个：输出 y、时间向量 t、状态向量 x。如果系统是传递函数模型，第三个返回值 x 是空矩阵，因为传递函数模型不显式包含状态信息。只有状态空间模型才能拿到状态轨迹，这是状态空间模型在分析能力上的优势。

3.3 稳定性判断：极点、特征值、奈奎斯特判据的三条路径

实验二要求判断给定系统的稳定性，实验三要求用奈奎斯特判据判断闭环稳定性。这两件事本质上是同一个问题的不同解法。

代数判据看极点位置：传递函数的全部极点都在左半平面，系统渐近稳定。pole(G)直接返回极点，eig(A)返回状态矩阵的特征值，roots(den)返回分母多项式的根，三个函数在数值上等价。

G = tf(2, [1 9 14 0]); % 开环传递函数 p = pole(G); % 开环极点 G_cl = feedback(G, 1); % 闭环系统 p_cl = pole(G_cl); % 闭环极点

奈奎斯特判据则是从开环频率特性判断闭环稳定性：闭环系统稳定的充要条件是，奈奎斯特曲线包围临界点 (-1, j0) 的圈数等于开环右半平面极点数。对于开环稳定的系统（右半平面极点数为零），曲线不包围 (-1, j0) 就闭环稳定。nyquist(G)画曲线，margin(G)给出幅值裕度和相位裕度，后者是工程上更常用的稳定性余量指标。

注意：nyquist画出来的曲线在极高频段可能因为数值精度出现虚假的环绕，判断时要结合pole(feedback(G,1))的结果交叉验证，不要只看图。

3.4 频率特性测量：从半圆图反推传递函数

实验四要求用实验方法测一阶惯性环节的频率特性，再从曲线反推传递函数。一阶惯性环节 G(s) = K/(Ts+1) 的幅相频率特性曲线是一个半圆，圆心在 (K/2, 0)，半径 K/2。从半圆与实轴的交点读出 K，从曲线上任取一点 ωk 读出对应的相角 φk，用 T = tan(φk)/ωk 算出时间常数。

这个方法的底层逻辑是：频率特性 G(jω) 是 ω 的复函数，实部和虚部满足一个圆方程。实验测得的幅值和相角数据点，理论上都落在这个半圆上。实际测量有噪声，数据点会偏离理想圆，所以通常用最小二乘法拟合圆参数，再反推 K 和 T。软件仿真得到的曲线是理想半圆，和实验测量结果对比，差异就来自电路元件的非理想特性和测量误差。

4. 串联校正与 Simulink 建模：从分析到设计的跨越

前面几个实验都在做分析，给定系统求性能。实验五和实验六开始做设计，给定性能要求反推系统参数。这是控制工程从“看懂”到“会改”的关键一步。

4.1 频率法串联校正：用零极点重塑开环特性

串联校正的基本思路是在开环传递函数前面串一个校正装置 Gc(s)，让校正后的开环频率特性满足设计要求。频率法校正通常用超前校正、滞后校正或滞后-超前校正。

超前校正的传递函数是 Gc(s) = (αTs+1)/(Ts+1)，α > 1，提供一个正相角，在穿越频率附近抬高相位，增加相位裕度。滞后校正则是 α < 1，在低频段提高增益、高频段衰减，改善稳态精度而不牺牲稳定性。

% 超前校正示例：给定开环 G，设计超前校正 Gc s = tf('s'); G = 2 / (s*(s+4)); % 开环传递函数 % 设计目标：相位裕度不低于 50 度 % 超前校正参数（示例值，实际需根据 margin 迭代调整） alpha = 4; T = 0.1; Gc = (alpha*T*s + 1) / (T*s + 1); G_open = Gc * G; margin(G_open); % 检查校正后的相位裕度

校正设计的核心是迭代：先算未校正系统的margin，看相位裕度差多少，据此估算需要的超前角，再定 α 和 T，然后重新算margin验证。实验五的思考题问“消除和减小稳态误差的措施有哪些”，答案就落在校正装置的低频增益上：增大开环增益能减小稳态误差，但会降低相位裕度，所以需要校正装置在低频段提供高增益、在高频段衰减，这就是滞后校正的用武之地。

4.2 Simulink 建模：图形化背后的数值求解

Simulink 的图形化建模看起来是把传递函数方块用线连起来，但底层做的事情是：把连续系统离散化，用数值积分算法逐步求解状态方程。每个方块在仿真步长内计算一次输出，信号线传递的是当前步的数值。

实验一要求建立单位负反馈系统的 Simulink 模型，输入单位阶跃，输出接示波器。这个模型包含四个基本模块：Step（信号源）、Gain（增益，可选）、Transfer Fcn（传递函数）、Scope（示波器）。连线时要注意方向：Step 的输出接 Transfer Fcn 的输入，Transfer Fcn 的输出接 Scope，反馈线从输出拉回输入端，经过一个求和模块（Sum）做减法。

Simulink 仿真的关键参数是求解器步长。默认的变步长求解器（如 ode45）会根据系统动态自动调整步长，刚性系统可能需要换成 ode15s。步长太大，高频动态被漏掉，响应曲线失真；步长太小，仿真时间成倍增加。实验里观察典型环节的阶跃响应，用默认变步长通常够用，但如果系统有快速衰减的模态，手动设最大步长会更可靠。

4.3 典型环节的电路模拟：传递函数和电路参数的对应

实验三要求设计典型环节的模拟电路，求传递函数，再做软件仿真对比。比例环节、积分环节、惯性环节的电路都是运放加电阻电容，传递函数里的 K 和 T 直接由电阻比值和 RC 时间常数决定。

以积分环节为例，传递函数是 1/(Ts)，电路是运放反相输入接电阻 R、反馈接电容 C，T = RC。实验参数 R = 100kΩ、C = 1μF，算出来 T = 0.1s。比例积分环节的 K = R1/R0，T = R0C，两个参数分别由两组电阻电容决定。这种“传递函数参数 ↔ 电路元件参数”的对应关系，是模拟控制时代留下的设计方法，现在虽然用数字控制器实现，但理解这层对应关系，对读懂老图纸和老设备仍然有用。

实际 PD 和 PID 环节的电路是近似的，因为理想微分在物理上不可实现（高频增益无穷大，噪声会被无限放大）。实际电路里串一个小电阻限制高频增益，传递函数从理想的 K(1+Ts) 变成带惯性环节的近似形式。实验文档里特别标注了“其模拟电路是近似的”，这个细节值得注意：理论模型和实际电路的差异，往往就藏在这些“近似”里。

5. 避坑与排查：实验里最容易翻车的几个地方

5.1 系数向量漏补零导致阶次错误

现象：建立传递函数后，pole(G)算出来的极点个数比预期少，或者阶跃响应形态完全不对。

原因：分母多项式有缺项时，系数向量没有补零。比如 s³ + 11s + 6 缺 s² 项，写成[1 11 6]就变成了二次多项式。

解决：按降幂逐项检查，缺哪次项就在对应位置补 0。建完模型后用size(den)或length(den)确认向量长度等于阶次加一。

5.2 状态空间转传递函数出现微小数值误差

现象：tf(ss(G))转回来的分子分母系数和原传递函数不完全相等，出现1.9999999999999993这类值。

原因：浮点运算的舍入误差，状态空间转换涉及矩阵求逆和特征值计算，数值精度有限。

解决：这是正常现象，不是模型错误。比较时用zpk形式看零极点是否一致，或者用minreal做最小实现消去接近零的极零点对。判断相等用容差比较，不要用==。

5.3 feedback 默认负反馈被误认为正反馈

现象：闭环系统的阶跃响应发散，但理论上应该是稳定的。

原因：feedback(G1, G2)默认是负反馈，如果实际连接是正反馈结构，结果就错了。或者反馈通道的符号搞反了。

解决：确认反馈极性。正反馈要显式写feedback(G1, G2, +1)。建完闭环后用pole检查极点是否都在左半平面，和理论分析对照。

5.4 Simulink 仿真步长不当导致曲线失真

现象：示波器上的响应曲线看起来有毛刺，或者快速变化的片段被平滑掉了。

原因：变步长求解器的最大步长设得太大，或者用了不适合刚性系统的求解器。

解决：在模型配置参数里限制最大步长（如设为系统最小时间常数的十分之一），刚性系统换ode15s。对比不同步长下的曲线，确认结果收敛。

5.5 频率特性测量数据偏离理论半圆

现象：实验测得的幅相曲线不是标准半圆，数据点散乱。

原因：测量噪声、电路元件容差、运放非理想特性、信号源内阻影响。

解决：多点测量取平均，用最小二乘拟合圆参数，剔除明显偏离的异常点。和软件仿真的理想曲线对比时，重点关注趋势是否一致，不要苛求逐点吻合。

6. 从实验到工程：模型精度和计算代价的取舍

做完这六个实验，回头看一个贯穿始终的问题：为什么同一个系统要有三种模型，为什么 Simulink 要用数值仿真而不是解析求解。答案落在精度和代价的权衡上。

传递函数模型做频域分析最方便，把 s 换成 jω 就能算，但它只适用于单输入单输出、线性定常系统。状态空间模型能处理多变量、能分析内部状态，但矩阵运算的计算量随阶次增长很快。Simulink 的数值仿真能处理非线性、时变、混杂系统，代价是每次仿真都要从头积分，没法像解析解那样直接给出参数化表达式。

实验里有个细节很能说明问题：二阶系统阶跃响应的性能指标，理论上可以用 ζ 和 ωn 的公式直接算，但实验要求用step画曲线再从曲线上读。两种方法的结果应该一致，差异来自数值求解的步长和读图的精度。工程上选哪种，取决于你要的是快速估算还是精确验证。快速估算用公式，精确验证用仿真，两者互为校验。

我一般会这么理解：解析模型是地图，数值仿真是实地走一遍。地图告诉你大致方向和关键地标，实地走才能发现地图上没标的坑。做控制器设计时，先用解析模型算参数初值，再用仿真验证，最后上实物调试，三步缺一不可。从那以后我每次建完模型，都强制先用pole看一眼极点分布，再用step跑一遍阶跃响应，两个结果对不上就先查模型，不往下走。希望帮到你。

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