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解惑：理解和证明泊松分布公式
很多人第一次看到泊松分布的计算公式，都觉得怪怪的。怎么就会出现这么个怪怪的公式？公式中怎么就会出现指数项呢？下面就一起来学习和证明。

1 先给出泊松分布公式

泊松分布因提出它的数学家泊松而命名。当试验次数n很大、随机事件概率p很小时，泊松分布的公式可用于近似求解这个概率很小的事件发生k次的概率，即：
P { Z = k } = λ k e − λ k ! , λ = n p , λ > 0 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ P\left \{ Z = k \right \} = \frac{\lambda^{k}e^{- \lambda}}{k!},\ \lambda = np,\lambda > 0,\ k = 0,1,2,\cdotsP{Z=k}=k!λke−λ​,λ=np,λ>0,k=0,1,2,⋯
是不是一看到这个公式有点懵？不着急，且容我一一道来。首先，要明白这个公式适用于什么场景。那就是n很大、p很小。其次，要明白λ \lambdaλ这个参数表示什么意思。λ \lambdaλ表示单位时间内随机事件发生的平均次数，通常这是已知参数。还是没看明白？来做例子体验吧。

2 做例子体验公式的应用

现方小帅在公交站观察来乘车的乘客到来的规律。现已知平均1小时来10人，请求出1小时内恰好有3人来乘车的概率。
从题目来看，符合泊松分布的条件。因为试验次数n很大（1小时可以分成很多个小时间段，如3600秒），p很小（在很小的时间段里来人的可能性很小）。从已知来看λ \lambdaλ这个参数的值为10。故可直接用泊松分布的公式求解：
P { Z = 3 } = 10 3 e − 10 3 ! ≈ 0.00757 P\left\{ Z = 3 \right\} = \frac{10^{3}e^{- 10}}{3!} \approx 0.00757P{Z=3}=3!103e−10​≈0.00757
如果题目是要计算30分钟内恰好有3人来乘车的概率，该怎么办呢？因λ \lambdaλ表示单位时间内随机事件发生的平均次数，故以30分钟为单位时间，λ = 0.5 × 10 = 5 \lambda = 0.5 \times 10 = 5λ=0.5×10=5，则：
P { Z = 3 } = 5 3 e − 5 3 ! ≈ 0.1404 P\left\{ Z = 3 \right\} = \frac{5^{3}e^{- 5}}{3!} \approx 0.1404P{Z=3}=3!53e−5​≈0.1404
下面用上面的例子来推导二项分布公式的由来。如果没看明白，就跳过，记住并会用就行。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。

3 证明泊松分布公式

根据上面的例子，我们做3个合理的假设（这些假设对应泊松分布的适用条件）：
（1）乘客到达是随机的。每个人来等车的时间互不影响，且不会扎堆来。
（2）平均到达率稳定。比如，平均每小时有 λ 个人来等车（λ
是一个已知的常数，比如 λ=10 人 / 小时）。
（3）短时间内最多来 1 个人。在非常小的时间间隔里（比如 1
秒钟），几乎不可能同时来 2 个人。
如果把 1 小时拆分成 n 个极短的时间间隔（比如 n =3600 秒，每个间隔
Δ t = 1 秒 \Delta t = 1\ 秒Δt=1秒）。在每个小的时间间隔里：
（1）来 1 个人的概率是p pp（因为平均每小时 λ 人，所以每个间隔的平均概率
p ≈ λ n p \approx \frac{\lambda}{n}p≈nλ​）。
（2）来 0 个人的概率是1 − p 1 - p1−p。
（3）来≥2 个人的概率几乎为 0，可忽略不计。
这样，我们把例子转化成了一个二项分布：在 n 个间隔中，恰好有 k
个间隔里来了 1
个人。可见，泊松分布源自于二项分布。根据二项分布，可得：
P { Z = k } = C n k p k q n − k = C n k p k ( 1 − p ) n − k P\left\{ Z = k \right\} = \mathbf{C}{n}^{k}p^{k}q^{n - k} = \mathbf{C}{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}P{Z=k}=Cnkpkqn−k=Cnkpk(1−p)n−k
其中，
C n k = n ! k ! ( n − k ) ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! \mathbf{C}_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - k + 1)}{k!}Cnk​=k!(n−k)!n!​=k!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)​
当n很大、k kk相对很小时（实际上k kk肯定相对n很小），也即n → ∞ n \rightarrow \inftyn→∞时，n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) ≈ n k n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - k + 1) \approx n^{k}n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)≈nk，因此有：
lim ⁡ n → ∞ C n k = lim ⁡ n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! = n k k ! \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbf{C}{n}^{k} = \lim{n \rightarrow \infty}\frac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - k + 1)}{k!} = \frac{n^{k}}{k!}n→∞lim​Cnk=limn→∞k!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)​=k!nk​
将p = λ n p = \frac{\lambda}{n}p=nλ​、C n k = n k k ! \mathbf{C}_{n}^{k} = \frac{n^{k}}{k!}Cnk​=k!nk​代入到二项分布公式中：
P { Z = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k = n k k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k ≈ λ k k ! ( 1 − λ n ) n P\left\{ Z = k \right\} = \mathbf{C}_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k} = \frac{n^{k}}{k!}\left( \frac{\lambda}{n} \right)^{k}\left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n - k} \approx \frac{\lambda^{k}}{k!}\left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n}P{Z=k}=Cnk​pk(1−p)n−k=k!nk​(nλ​)k(1−nλ​)n−k≈k!λk​(1−nλ​)n
现在的关键是怎么化简( 1 − λ n ) n \left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n}(1−nλ​)n。在微积分的求极限运算中，有一个重要的公式：
lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \rightarrow \infty}\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = ex→∞lim​(1+x1​)x=e
设− λ n = 1 x - \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{x}−nλ​=x1​，则当n → ∞ n \rightarrow \inftyn→∞时，亦有x → ∞ x \rightarrow \inftyx→∞，并可得n = − λ x n = - \lambda xn=−λx，进一步可得：
lim ⁡ n → ∞ ( 1 − λ n ) n = lim ⁡ x → ∞ [ ( 1 + 1 x ) x ] − λ = e − λ \lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n} = \lim_{x \rightarrow \infty}\left\lbrack \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} \right\rbrack^{- \lambda} = e^{- \lambda}n→∞lim​(1−nλ​)n=x→∞lim​[(1+x1​)x]−λ=e−λ
因此，可得：
P { Z = k } = λ k k ! ( 1 − λ n ) n = λ k e − λ k ! P\left\{ Z = k \right\} = \frac{\lambda^{k}}{k!}\left( 1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n} = \frac{\lambda^{k}e^{- \lambda}}{k!}P{Z=k}=k!λk​(1−nλ​)n=k!λke−λ​
学习有困难吗？欢迎给我留言讨论，提出问题。