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1. Wasserstein距离与分布式鲁棒优化概述

在能源系统规划与调度领域，处理不确定性一直是核心挑战。传统随机优化方法需要精确的概率分布假设，而鲁棒优化又往往过于保守。分布式鲁棒优化（Distributionally Robust Optimization, DRO）通过构建包含真实分布可能性的模糊集，在这两种方法间取得了平衡。其中，基于Wasserstein距离的DRO方法因其独特的数学性质和实际应用优势，近年来受到广泛关注。

Wasserstein距离（又称Earth-Mover距离）衡量了两个概率分布之间的"搬运成本"。直观理解，它表示将一个分布的"概率质量"转移到另一个分布所需的最小工作量。在数学形式上，对于两个概率分布P₁和P₂，其p阶Wasserstein距离定义为：

Wₚ(P₁,P₂) = (inf 𝔼[d(X,Y)ᵖ])¹ᵖ

其中下确界取遍所有(X,Y)的联合分布，且X∼P₁，Y∼P₂。d(·,·)是基础空间上的距离度量，p≥1。特别地，当p=1时，得到一阶Wasserstein距离，在DRO中应用最为广泛。

相比KL散度等其他概率距离，Wasserstein距离具有几个关键优势：

• 能够度量支撑集不重叠分布间的距离
• 对分布的几何结构敏感
• 具有良好的样本外性能保证
• 通过适当选择半径ε，可以控制模型的保守程度

2. 风电出力不确定性的建模与处理

2.1 风电出力不确定性的特点

风电出力受风速、风向、温度等多种因素影响，表现出显著的不确定性。这种不确定性具有时空相关性：时间上呈现自相关特性，空间上相邻风电场出力存在耦合。传统方法如场景生成法难以准确捕捉这些复杂特性。

基于历史数据构建的经验分布PN往往不能反映未来可能出现的极端情况。Wasserstein-DRO通过构建以PN为中心、半径为ε的球型模糊集：

𝒫 = {P : W(P,PN) ≤ ε}

这个模糊集包含了在Wasserstein距离意义下与经验分布"接近"的所有可能分布。ε的选择至关重要：过小会导致鲁棒性不足，过大则使解过于保守。

2.2 基于Wasserstein距离的模糊集构建

具体到风电出力建模，假设我们有N个历史样本{ξ̂₁,...,ξ̂N}，经验分布PN = (1/N)∑δξ̂i。Wasserstein模糊集可表示为：

𝒫 = {P : ∃π, ∑πij|ξi-ξ̂j| ≤ ε, ∑πij = P(ξi), ∑πij = 1/N}

其中π是联合分布，|·|表示适当定义的出力差异度量。这个模糊集考虑了所有在ε"搬运成本"内可以到达的分布。

实际应用中，ε常通过统计方法确定。例如使用bootstrap技术估计Wasserstein距离的分布，然后选择适当分位数作为半径。也有研究采用渐进理论推导ε与样本量N的关系：

ε(N,α) ~ (log(1/α)/N)^(1/d)

其中α是置信水平，d是随机变量维度。

3. 混合整数线性规划转化技术

3.1 模型重构的基本思路

基于Wasserstein距离的DRO问题本质上是无限维优化问题，直接求解困难。通过强对偶理论，可以将其转化为等价的有限维优化问题。对于线性决策规则下的问题，转化后通常得到混合整数线性规划（MILP）形式。

考虑一个典型的两阶段DRO问题：

min cᵀx + sup_{P∈𝒫} 𝔼_P[Q(x,ξ)] s.t. x∈𝒳

其中Q(x,ξ)是第二阶段问题。当Q(x,ξ)关于ξ为凸时，利用Wasserstein对偶理论，sup项可转化为：

inf λε + (1/N)∑_{i=1}^N sup_{ξ} [Q(x,ξ) - λ|ξ-ξ̂i|]

进一步，如果Q(x,ξ)在ξ中为线性（或分段线性），内层sup变为有限个极值点评估，整个问题转化为MILP。

3.2 风电调度中的具体应用

在含风电的电力系统调度中，典型的目标函数包含：

• 常规机组发电成本（通常为二次函数，可分段线性化）
• 弃风惩罚成本
• 备用容量成本

约束条件包括：

• 功率平衡方程
• 机组出力上下限
• 爬坡率限制
• 备用要求
• 网络潮流约束（DC潮流或线性化AC潮流）

通过引入辅助变量和约束，将非线性项线性化，最终得到MILP模型。例如，对于风电出力不确定性项，可引入：

z_i ≥ Q(x,ξ) - λ|ξ-ξ̂i|, ∀ξ∈ext(Ξ)

其中ext(Ξ)是风电出力支持集的极值点。这样就将无限多个约束转化为有限个约束。

4. 线性决策规则的应用与改进

4.1 基本线性决策规则

线性决策规则（Linear Decision Rule, LDR）是处理多阶段DRO问题的有效方法。其核心思想是将后续阶段的决策变量表示为随机变量观测值的线性函数：

y(ξ) = y⁰ + Yξ

其中y⁰是标称决策，Y是决策矩阵。这种表示大大降低了问题复杂度，但可能引入保守性。

在风电调度中，LDR可用于表示：

• 常规机组的增量出力
• 备用调用量
• 弃风量
• 负荷削减量

这些变量都可以表示为实际风电出力与预测值偏差的线性函数。

4.2 增强型决策规则

为降低保守性，可采用以下改进方法：

1. 分段线性决策规则：将支持集划分为多个区域，在每个区域内采用不同的线性规则

2. 二次决策规则：允许决策变量包含ξ的二次项，提高灵活性但增加计算负担

3. 局部决策规则：在不同运行状态下采用不同的线性系数

例如，对于燃气机组的调节决策，可以设计：

y(ξ) = y⁰ + Y₁ξ + Y₂(ξ - ξ₀)₊

其中(·)₊表示正部，ξ₀是划分点。这种分段的决策规则能更好适应不同风电出力场景。

5. 实际应用中的关键问题与解决方案

5.1 维度诅咒与计算效率

当随机变量维度较高时（如多风电场联合出力），Wasserstein-DRO面临计算挑战。解决方法包括：

1. 降维技术：使用主成分分析等方法降低随机变量维度

2. 场景缩减：基于聚类等方法减少代表性场景数量

3. 分布式计算：利用问题结构设计并行算法

4. 近似算法：采用渐进精确的近似方法，如随机梯度法

实际案例：某省级电网含32个风电场，采用k-means聚类将原始32维问题降为5维主成分，计算时间从小时级降至分钟级，同时保持95%以上的精度。

5.2 数据质量与样本量要求

Wasserstein-DRO的性能依赖于历史数据质量。对于数据不足的情况：

1. 数据增强：通过物理模型生成补充数据

2. 迁移学习：利用其他类似风电场的数据

3. 半监督学习：结合少量精确数据和大量粗略数据

4. 鲁棒统计：采用对异常值不敏感的距离度量

实践中建议样本量N与维度d满足N≫d²，以确保模糊集的有效性。对于高维问题，可引入稀疏结构假设降低有效维度。

5.3 多时间尺度协调问题

电力系统调度涉及多种时间尺度：

• 日前计划（24小时，1小时分辨率）
• 实时调度（1小时，5-15分钟分辨率）
• 自动发电控制（秒级）

解决方法：

1. 分层优化：不同时间尺度使用不同ε的模糊集
2. 滚动时域：实时更新模糊集基于最新预测
3. 一致性约束：确保不同时间尺度决策协调

6. 综合能源系统中的扩展应用

6.1 电-气耦合系统

在含燃气机组的电-气系统中，Wasserstein-DRO可同时处理：

• 风电出力不确定性
• 气源供应不确定性
• 负荷预测误差

关键挑战是气网动态特性与电网的差异。解决方法包括：

1. 线性化气网潮流方程
2. 采用准稳态假设
3. 引入时间耦合约束

6.2 电-热联合系统

热网具有显著的热惯性，可作为灵活性资源。需特殊处理：

1. 热动态方程离散化
2. 热延迟效应建模
3. 热电机组调节特性

典型约束包括：

• 供热管道传输延迟
• 温度动态变化
• 热负荷舒适度范围

6.3 碳约束下的优化

引入碳交易机制时，需考虑：

1. 碳价不确定性
2. 排放强度不确定性
3. 可再生能源证书市场

可构建多模糊集的Wasserstein-DRO模型，分别处理不同类型的不确定性。

7. 算法实现与数值实验

7.1 求解器选择与实现技巧

对于转化后的MILP问题，常用求解器包括：

• CPLEX：商业求解器，性能优异
• Gurobi：商业求解器，对大规模问题高效
• SCIP：开源求解器，可定制性强

实现技巧：

1. 利用问题结构生成有效不等式
2. 设计启发式方法获取初始解
3. 参数调优：重点调节MIPGap、时间限制等

7.2 典型数值结果

以某地区电网为例，比较不同方法：

• 随机优化（SO）：平均成本低但风险高
• 传统鲁棒优化（RO）：成本高但最坏情况优
• Wasserstein-DRO：平衡经济性与鲁棒性

关键指标对比：

7.3 实际工程经验

在实际系统应用中，我们总结了以下经验：

1. ε的选择应基于历史测试，通常取0.05-0.2
2. 线性决策规则在大多数情况下足够
3. 需要平衡模型精度与求解时间
4. 定期更新历史数据重新训练模型
5. 与其他不确定性方法（如随机规划）结合使用