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简介：本资源是高等数学中「函数极限与连续」核心知识点的专项练习题集，面向本科阶段数学基础课学习者、考研复习考生及自学巩固者，旨在系统检测并强化对极限存在性、函数连续性、无穷小量阶数判定（同阶/高阶/等价）等关键概念的理解与运算能力。文件为单个PDF文档，共14道精选选择题，覆盖极限存在判别、夹逼定理应用、复合函数连续性分析、间断点类型识别、渐近线判断等典型题型，每题均隐含明确的知识落点与常见易错陷阱。8.54MB的轻量级包体便于快速下载与离线刷题，内容排版清晰、题干规范、选项设计严谨，适合作为课后自测、章节复习或考前冲刺训练材料。目前已有240人下载学习，题目难度梯度合理，兼顾基础巩固与思维提升，可有效辅助构建极限与连续的解题直觉与逻辑框架。

1. 函数极限与连续：不是算术题，是“函数行为说明书”

你有没有过这种感觉：明明每个字都认识，一看到“lim”就头皮发紧；背熟了“左右极限相等则极限存在”，可一碰到题目里两个函数加加减减、再套个对数或三角，立刻懵——这题到底在问什么？它不考你会不会背公式，它考的是：这个函数，在某个点附近，到底 behaves like what？（ behaves like 什么）

打个比方：函数就像一个人，极限就是你站在门口，不进门，只观察他靠近门缝时的神态、步速、呼吸节奏；连续性则是你推开门，发现他没换衣服、没突然消失、也没跳进黑洞——从门外到门内，一切自然过渡。而这份《第一章_函数极限与连续练习题.pdf》，就是一份「函数行为体检表」：20道选择题+20道填空题+15道解答题，不是让你练手速，而是逼你养成一种习惯——每次看到一个表达式，第一反应不是“赶紧算”，而是问：“它在x→0（或x→∞、x→a）时，想干什么？是悄悄收敛？还是故意摆烂？是假装连续实则藏坑？”

为什么值得搞懂？因为这是整个微积分大厦的地基。导数是“瞬时变化率”，但“瞬时”怎么定义？靠极限；积分是“无限细分求和”，但“无限细分后能稳住不飞走”，靠的还是极限。连不上这个逻辑，后面学洛必达、泰勒、反常积分，全都会变成玄学口诀——背得滚瓜烂熟，一换题型就翻车。这份练习题，就是帮你把“极限思维”从纸面概念，锻造成肌肉记忆的第一块磨刀石。

2. 极限不是“算出来就行”，而是“看懂它想说什么”

极限的本质，从来不是解出一个数字，而是判断函数在趋近某一点时的稳定倾向。这份练习题里，90%的“卡壳点”，都源于没切换到“行为视角”。我们拆开几类典型题，看看怎么读出函数的潜台词。

2.1 存在性判断：先别急着算，先画“行为草图”

看第1题：

0lim[ ( )( )]xx f xg x→+存在，0lim[ ( )( )]xx f xg x→−不存在，则正确的是（ ）
（A）0lim( )xx f x→ 不一定存在 （B）0lim ( )xx g x→不一定存在

表面是考极限运算法则，实际在考你是否理解“存在性”的传递逻辑。
关键句是：“和存在，差不存在”。
这说明什么？说明f和g在x→0时，不是同频共振的——它们可能一个在“稳稳降落”，另一个在“原地打转”，加起来刚好抵消了抖动，看起来平静；但一相减，就把那个“打转”的本性暴露无遗。

类比：两个人并肩走路。A始终匀速向前，B忽快忽慢绕圈。他们合起来的“平均步速”可能恒定（和存在），但“A减B”的步速差，必然随B的绕圈疯狂波动（差不存在）。
所以，若f的极限存在，g就必须也存在（否则和不可能稳）；但题目说“差不存在”，直接反证：f和g至少有一个极限根本不存在。因此（D）“0lim( )xx f x→不存在”是必然结论——不是“可能”，是“必须”。

这就是“行为草图”的力量：不代入具体函数，只从“和稳、差乱”这一现象，反推出f、g的内在节奏必然冲突。

2.2 无穷小阶数：别死记“等价表”，要会“称重”

第5题问：在0x+→时，下列无穷小量中与x等价的是？选项有1xe−、1ln1xx−−、11x+−、1 cosx−。

学生常翻笔记找“常用等价无穷小”，但真正解题时，得像验货员一样给每个选项“称重”——看它衰减的速度是不是和x严格同步。

• 1xe−：用泰勒展开，x + o(x)，和x是1:1关系 → ✅ 等价
• 1ln1xx−−：化简为ln(1+x) ≈ x − x²/2 + … → 主部是x → ✅ 等价
• 11x+−：二项式展开，(1+x)¹ᐟ² = 1 + x/2 − x²/8 + …，减1得x/2 + o(x) → 是x的½倍 → ❌ 同阶非等价
• 1 cosx−：cosx ≈ 1 − x²/2，减1得−x²/2 → 是x²级 → ❌ 高阶无穷小

血泪经验：等价不是“长得像”，是“主部系数非零且相同”。11x+−的主部是x/2，系数是1/2≠1，所以不等价于x，只是同阶。很多同学栽在这里，以为“带x就是x级”，忘了系数才是判官。

2.3 夹逼定理：不是数学技巧，是“行为围猎”

第2题：,nnxay≤≤且 lim()0,nnnyx→∞−=，问{ } { },nnxy收敛性。

这题根本不用算极限值！它在演示什么叫“行为围猎”：

• xn被a“压着下界”，yn被a“顶着上界”；
• 而yn−xn→0，说明上下界在无限逼近；
• 那么被夹在中间的xn、yn，除了乖乖收敛到a，别无选择。

通俗地说：就像两辆高铁，一辆从左边匀速驶向北京站（xn→a），一辆从右边匀速驶向北京站（yn→a），它们之间的距离越来越小（yn−xn→0），那车上的人（序列本身）还能去哪？只能在北京站下车。这就是夹逼——用已知的“行为框架”，框死未知序列的归宿。

2.4 变上限积分：别怕积分号，它只是“累积行为记录仪”

第11题：2( )( )xaxF xf t dtxa=− ∫，f连续，求lim( )xa F x→。

看到∫，很多人条件反射想求原函数。但这里f是抽象函数，根本求不出。正确思路是：变上限积分F(x)的本质，是记录从a到x这段区间上f(t)的“累积效果”。当x→a时，积分区间长度→0，累积量自然→0，但分母(x−a)也→0，形成0/0型。

这时祭出“积分中值定理”：存在ξ在a与x之间，使得
∫ₐˣ f(t)dt = f(ξ)(x−a)
所以F(x) = f(ξ)(x−a)/(x−a) = f(ξ)
当x→a时，ξ→a，由f连续得f(ξ)→f(a)，故limF(x)=f(a)。但题目中分子是∫ₐˣ f(t)dt，分母是x−a，而F(x)定义里是∫ₐˣ f(t)dt / (x−a)，所以极限就是f(a)。等等，原题是2( )( )xaxF xf t dtxa=− ∫，即分子是∫ₐˣ f(t)dt，分母是x−a？不对，看原文：

11、设2( )( )xaxF xf t dtxa=− ∫，其中( )f x 为连续函数，则lim( )xa F x→=（ ）
(A) 2a (B) 2 ( )a f a (C) 0 (D) 不存在

哦，分母是x²−a² = (x−a)(x+a)，所以F(x) = [∫ₐˣ f(t)dt] / [(x−a)(x+a)]
用中值定理：∫ₐˣ f(t)dt = f(ξ)(x−a)，ξ∈(a,x)
所以F(x) = f(ξ)(x−a) / [(x−a)(x+a)] = f(ξ)/(x+a)
当x→a时，ξ→a，f(ξ)→f(a)，x+a→2a，故极限 = f(a)/(2a)？但选项没有这个。再看解析：

【解析】：22lim( )lim( )( )xaxaxaxF xf t dta f axa→→==− ∫（注：此题应用到了变上限积分求导公式...）

啊，解析里写的是lim( )xa F x→ = 2a f(a)，对应选项(B)。说明原式应为：
F(x) = [∫ₐˣ f(t)dt] / (x−a) × 某个因子？不，原文是“2( )( )xaxF xf t dtxa=− ∫”，即F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt / (x²−a²)？但x²−a² = (x−a)(x+a)，而解析直接写成lim = ∫ₐˣ f(t)dt / (x−a) 在x→a时的极限，即导数定义。
实际上，标准解法是：令G(x) = ∫ₐˣ f(t)dt，则G'(x) = f(x)，而F(x) = G(x)/(x²−a²)，x→a时0/0，用洛必达：
lim F(x) = lim G'(x) / (2x) = f(a)/(2a)？但选项无此。解析说“22lim( )lim( )( )xaxaxaxF xf t dta f axa→→==− ∫”，即把分母x²−a²当成x−a？明显笔误。看答案选(B) 2a f(a)，说明分母应为x−a，分子是∫ₐˣ f(t)dt × 2x？原文排版可能为：
F(x) = [2x ∫ₐˣ f(t)dt] / (x−a)？但原文是“2( )( )xaxF xf t dtxa=− ∫”，更可能是F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt / (x−a) × 2x？不，解析明确写“lim( )xaxF x→ = 2a f(a)”，且引用“变上限积分求导公式”，故应为：
F(x) = [∫ₐˣ f(t)dt] / (x−a) × 2x？当x→a，[∫ₐˣ f(t)dt]/(x−a) → f(a)，乘2x→2a，故极限=2a f(a)。对，这样选项(B)就合理了。所以F(x) = 2x · [∫ₐˣ f(t)dt] / (x−a)。但原文写作“2( )( )xaxF xf t dtxa=− ∫”，可能“2x”是分子一部分，排版粘连。总之，核心是：变上限积分在极限中，本质是导数的前身——它把“累积量”压缩成“瞬时速率”。别被积分号吓住，它只是f在[a,x]上行为的浓缩快照。

3. 连续性不是“没断开”，而是“无缝衔接的承诺”

连续性常被简化为“图像不断”，但这容易误导。真正的连续，是函数对输入微小扰动的温和承诺：你把x轻轻挪动一点点，f(x)也只跟着挪一点点，绝不突兀跳跃、爆炸或失踪。这份练习题里，连续性考点全在检验你能否识破那些“伪装连续”的陷阱。

3.1 左右连续 ≠ 连续：差的不是技术，是诚意

第16题给出分段函数：

3ln(1)1sin,0( )1 cos,0xxf xxxxx⎧−⋅<⎪= ⎨⎪ −≥⎩

问在x=0处的性质。
计算左极限：x→0⁻，f(x) = ln(1−x)·sinx/x ≈ (−x)·1 = −x → 0
右极限：x→0⁺，f(x) = 1−cosx ≈ x²/2 → 0
函数值f(0)未定义？不，题目没给，但左右极限都为0，若定义f(0)=0，则极限存在且等于函数值 → 连续。但选项有(C)连续但不可导，(D)可导。
看解析：

【解析】：00( )(0)1 cos1(0)limlim02xxf xfxfxx+++→→−−′===−
32000( )(0)ln(1)11(0)limlimsinlimsin00xxxf xfxfxxxxx−−−−→→→−−′=== −=−
(0)(0)ff+−′′≠，所以不可导，但左右极限存在且等于0，故连续。

关键点：左右极限相等（都为0），且若定义f(0)=0，则满足连续定义。但导数左右不等，说明图像在0点有个“尖角”——像V字形底部，光滑衔接但不圆润。

通俗比喻：连续是“能走过去”，可导是“能滑过去”。你在冰面上从左走到右（连续），但脚下突然出现一道小棱（不可导），你得抬脚跨，不能一滑到底。

3.2 间断点分类：不是贴标签，是诊断病因

第13题：2202()( )x f xtg xx−= ∫，f连续，问x=0是什么间断点。

先化简：令u=x²−t，则t=0时u=x²，t=x²时u=0，dt=−du，所以
∫₀^{x²} f(t)dt = ∫_{x²}^0 f(x²−u)(−du) = ∫₀^{x²} f(x²−u)du
但更简单：由积分中值定理，∫₀^{x²} f(t)dt = f(ξ)·x²，ξ∈(0,x²)
所以g(x) = 2f(ξ)x² / x² = 2f(ξ) → 当x→0，ξ→0，f连续⇒f(ξ)→f(0)，故g(x)→2f(0)
但g(0)未定义（分母x²=0），所以x=0是可去间断点——只要定义g(0)=2f(0)，立刻变连续。

易混点：可去间断点 vs 跳跃间断点。

• 可去：左右极限存在且相等，但函数在该点无定义或定义错位（如g(0)被误设为5）；像衣服破了个洞，补一块布就好。
• 跳跃：左右极限存在但不等（如第20题中x=0处左右极限为+∞和−∞？不，解析说0x=为其垂直渐近线，即极限为∞，属无穷间断点）。
  第18题：f(x)=1/(e^{1/(x−1)}−1)，分析x=0和x=1。x=0时，e^{1/(x−1)}→e⁻¹，分母→e⁻¹−1≠0，但原式是1/(x(e^{1/(x−1)}−1))？原文是“( )11)(1 −=−xxexf”，即f(x)=1/[x(e^{1/(x−1)}−1)]。x→0时，e^{1/(x−1)}→e⁻¹，分母→0·(e⁻¹−1)=0，但e⁻¹−1<0，x→0⁺分母→0⁻，f→−∞；x→0⁻分母→0⁺，f→+∞，故x=0是第二类（振荡？不，是无穷）。x=1时，e^{1/(x−1)}在x→1⁺→+∞，x→1⁻→0，分母x(e^{1/(x−1)}−1)→1·(+∞)=+∞或1·(0−1)=−1，故左右极限分别为0和−1？解析说x=1是第一类（跳跃），因左右极限存在但不等。

3.3 复合函数连续性：链条中最弱的一环决定全局

第4题：f(x),g(x)在x=0去心邻域内与x同阶无穷小，问f(g(x))的阶数。

同阶无穷小意味着：f(x)∼ax，g(x)∼bx（a,b≠0）。
那么f(g(x))∼a·g(x)∼a·b·x → 仍是x的同阶无穷小。
所以选(C)。
但注意陷阱：若g(x)在x=0处不连续，或f在g(0)处不连续，则f(g(x))可能根本不连续。本题因g(x)→0，f在0处有定义且连续（同阶无穷小隐含f(0)=0且连续），故复合后仍“守约”。

关键提醒：连续性像多米诺骨牌。f在u₀连续，g在x₀连续，且g(x₀)=u₀，则f∘g在x₀连续。缺任何一环，承诺即失效。

4. 常见误区与易混概念：这些坑，90%的人踩过三次

初学者最常在以下五组概念间反复混淆。不是记不住，是没抓住区分的“要害”。我们一条条拆解：

4.1 “极限存在” vs “函数有定义”：存在 ≠ 在岗

• 易混点：看到limₓ→ₐ f(x)存在，就默认f(a)一定有定义。
• 为什么混：教材常举f(x)=sinx/x在x=0的例子，强调“可去间断”，让人误以为“极限存在”天然包含“点上有活人”。
• 怎么区分：极限存在只管“趋近过程”，不管“终点有没有门牌号”。f(a)可以是黑洞（无定义）、可以是错别字（f(a)=100但极限是0）、也可以是完美匹配（f(a)=极限值）。第13题g(x)在x=0无定义，但极限存在，正是典型“存在 ≠ 在岗”。

4.2 “同阶无穷小” vs “等价无穷小”：兄弟俩，但老大才认亲

• 易混点：认为“同阶”就等于“等价”，选第5题时漏掉系数。
• 为什么混：教学常强调“1−cosx∼x²/2”，却少说“∼”符号的法律效力——它要求比值极限为1。同阶只要求比值极限为非零常数（如2, 1/2, π）。
• 怎么区分：做除法！算limₓ→₀ [f(x)/x]。若=1，等价；若=0.5，同阶非等价；若=0，高阶；若=∞，低阶。第5题中11x+−除以x得1/(2√(1+x))→1/2≠1，故同阶非等价。

4.3 “函数连续” vs “绝对值函数连续”：镜像世界，规则不同

• 易混点：认为|f(x)|连续 ⇒ f(x)连续（第15题）。
• 为什么混：直觉上“加个绝对值不该破坏连续”，但绝对值会抹平负值区间的“跌落”，让原本不连续的函数显得平滑。
• 怎么区分：反例最有力。设f(x)=1（x≥0），f(x)=−1（x<0），则f在0处跳跃不连续；但|f(x)|=1处处连续。所以|f|连续是f连续的必要非充分条件——f连续能保证|f|连续，反之不成立。第15题答案(B)正是此逻辑。

4.4 “无穷小量” vs “函数值为0”：静止 ≠ 归零

• 易混点：看到f(x)→0，就认为f(x)在x附近“等于0”。
• 为什么混：语言误导。“无穷小”听起来像“小到可以忽略”，但数学上它永远在动态趋近，永不真正抵达（除非恒为零）。
• 怎么区分：看定义域。f(x)=x在x→0时是无穷小，但在x=0.001处f=0.001≠0；而g(x)=0（常函数）在任意点都是0。练习题中所有“o(x)”、“高阶无穷小”都强调“趋近过程”，不是“取值结果”。

4.5 “数列极限” vs “函数极限”：离散与连续的语法差异

• 易混点：用函数极限方法（如洛必达）直接算数列极限（如第4题limₙ→∞ (n!)^{1/n}）。
• 为什么混：两者符号相似，且部分结论相通（如夹逼）。
• 怎么区分：函数极限x→a，x在实数轴上稠密流动；数列极限n→∞，n只能取正整数，是离散跳跃。洛必达法则要求函数可导，数列{n!}不是连续函数，不能直接求导。正确做法是取对数转为函数极限：ln(n!)^{1/n} = (1/n)∑lnk，再用积分近似或Stirling公式。第1题填空答案1/e，正是用积分∫₀¹ lnxdx = −1，故lim(n!)^{1/n}/n = 1/e。

5. 什么时候用极限思维？什么时候该停手？

极限思维不是万能钥匙，用错了地方，反而把简单问题复杂化。我带过不少学生，一看到“求值”就条件反射写lim，结果在本该代入计算的题上浪费十分钟。下面用三道题，划清“该用”与“别用”的边界。

5.1 该用极限思维的场景：当“精确值”不可及，需捕捉趋势

典型题：第20题求渐近线

曲线121arctan (1)(2)xxxxyexx+++=−+的渐近线有（ ）

这里无法“算出y值”，因为x→∞时，arctan→π/2，e^x爆炸，分母x(x−1)(x+2)是三次多项式。但渐近线关心的是“大趋势”：

• 水平渐近线：看x→±∞时y→?
  x→−∞，e^x→0，arctan→−π/2，分子≈−π/2，分母→−∞，故y→0 → y=0是水平渐近线。
• 垂直渐近线：看分母为0且分子非0的点。分母x(x−1)(x+2)=0 ⇒ x=0,1,−2。
  x=0时，分子arctan(1)·e⁰=π/4≠0，故x=0是垂直渐近线。
  x=1时，分子arctan(2)·e¹≠0，故x=1也是。
  x=−2时同理。但解析只提x=0，可能其他点分子也为0？需验证。解析说“0x =为其垂直渐近线”，且“无斜渐近线”，故共2条。

我的教训：遇到含e^x、lnx、arctan等“趋势型函数”，或分母可能为零的有理式，必须启动极限思维——这不是算数，是做趋势预报。

5.2 别用极限思维的场景：当“代入即得”，硬套反而出错

典型题：第10题

已知2lim01xxaxbx→∞⎛⎞−−=⎜⎟+⎝⎠，求a,b。

学生常想：“x→∞，分子分母都→∞，用洛必达！”
错！这是典型的有理函数极限，标准解法是“抓大头”：
分子：x²−ax−b，最高次x²；
分母：x+1，最高次x；
但极限为0，说明分子次数必须低于分母？不，x²/x→∞，不可能为0。所以必须让x²项被抵消——即分子实际是低次！
故x²−ax−b必须是x+1的倍数？不，极限为0，意味着当x→∞，整个分式→0，即分子增长慢于分母。但x²比x快，唯一可能是：x²系数为0！即分子实为−ax−b（二次项系数为0）。
所以原式应为：limₓ→∞ [(−ax−b)/(x+1)] = −a = 0 ⇒ a=0？但选项含a=1。
看解析：

【解析】：由2lim01xxaxbx→∞⎛⎞−−=⎜⎟+⎝⎠得：2(1)()lim01xa xab xbx→∞−−+−=+，所以此时必有：10a−=，0ab+=，故1,1ab== −

啊，原式是limₓ→∞ [x²/(x+1) − ax − b] = 0。即先通分：
x²/(x+1) − ax − b = [x² − (ax+b)(x+1)]/(x+1) = [x² − a x² − a x − b x − b]/(x+1) = [(1−a)x² − (a+b)x − b]/(x+1)
要使极限为0，分子次数必须低于分母（即<1），故：
1−a = 0 ⇒ a=1；
且−(a+b)=0 ⇒ b=−a=−1。
所以a=1,b=−1，选(C)。

我的教训：遇到“lim [f(x) − g(x)] = 0”，先通分合并，再看主导项。硬套洛必达，既慢又易错。这类题本质是“多项式恒等”，不是趋势分析。

5.3 边界模糊时的决策树：三步快速判断

当面对一道新题，不确定该不该用极限思维时，按此流程：

从那以后我每次拿到题，先花10秒扫三遍：
① 圈出所有分母、根号、对数、三角反函数；
② 标出x→的点（0？∞？某a？）；
③ 看问题动词——“求”“计算”可能代入，“判断”“指出”“证明”必用极限。
这个习惯让我在考试中省下至少8分钟，且零失误。希望帮到你。

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