企业官网建设流程全解析

第二章一阶逻辑

主要内容：

• 个体词、谓词、量词的定义和含义
• 一阶逻辑命题符号化

要求：

• 对于一般命题能够利用谓词和量词进行符号化

苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的
苏格拉底是人
所以苏格拉底是要死的
p∧q→r
重言式？正确的推理？

个体词

个体词（individual）是研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。

• 具体的、特定的个体词称为个体常项，一般用 a, b, c 表示
• 抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般用 x, y, z 表示
  个体变项的取值范围称作个体域或论域（domain of the discourse）

个体域(大重点：后期着重分清是哪个个体域)

• x的个体域 D = {1, 2, 3, …}

• x的个体域为实数集合 R

• 全总个体域：宇宙间的一切事物（当不特指个体域时，都按全总个体域使用）
  

• √2 是无理数 —— √2 是个体常项

• x 是有理数 —— x 是个体变项

• 小王与小李同岁 —— 小王和小李是个体常项

• x 和 y 具有关系 L —— x 和 y 是个体变项
  

谓词（predicate）

表示个体词性质或相互之间关系的词称作谓词，常用 F, G, H 表示。

• 谓词常项：表示具体性质或者关系的谓词
• 谓词变项：表示抽象或者泛指的性质或者关系的谓词

0 元谓词：不含个体变项的谓词
例：2 是素数，其中 “…是素数” 是谓词，记为 F，则陈述句可表示为 F (2)

如果在命题里的个体变项多于一个，那么表示这几个个体词间的关系的词也称作谓词。这是多元谓词，含 n（n≥1）个个体的谓词 P (x₁, x₂, …, xₙ) 称n 元谓词，一般用 F (x, y), G (a, b), M (x, y, z) 等表示。

x 与 y 相等，其中 “…与 …相等” 是谓词，记作 G，则陈述句可表示为 G (x, y)
——————————————————————————————————————————————

例：

• “√2 是无理数”，“。。。是素数” 记作 F，则命题符号化为：F (√2)
• “x 是有理数” ，“。。。是有理数”记作 G，则命题符号化为：G (x)
• “小王与小李同岁”，其中 a 表示小王，b 表示小李，“。。。与。。。同岁” 记作 H，则命题符号化为：H (a, b)
• “x 和 y 具有关系 L”，命题符号化为：L (x, y)
  ——————————————————————————————————————————————

准确地讲，谓词 P (x), Q (x, y)是命题形式而不是命题。
因为既没有指定谓词符号 P, Q 的含义，而且个体词 x, y 也是个体变项而不代表某个具体的事物，从而无法确定 P (x), Q (x, y) 的真值。
仅当赋予谓词确定含义，并且个体词取定为个体常项时，命题形式才化为命题。
————————————————————————————————————————————————

例：如果 5 大于 4，则 4 大于 6

设二元谓词 F (x, y)：x > y
命题可符号化为：F (5, 4) → F (4, 6)
命题为假命题
——————————————————————

例：设个体域为自然数集 N，F (x)：x 是偶数，G (x)：x 是素数，用 0 元谓词将下列命题符号化，并讨论它们的真假。

(1) 2 是偶数
(2) 若 2 是素数，则 4 不是素数
(3) 只有 2 是素数，6 才能是素数
(4) 除非 6 是素数，否则 4 是素数

解答：设个体域为自然数集 N，F (x)：x 是偶数，G (x)：x 是素数，用 0 元谓词将下列命题符号化，并讨论它们的真假。

(1) 2 是偶数。F (2) ∧ G (2) —— 真命题
(2) 若 2 是素数，则 4 不是素数。G (2) → ¬G (4) —— 真命题
(3) 只有 2 是素数，6 才能是素数。G (6) → G (2) —— 真命题
(4) 除非 6 是素数，否则 4 是素数。¬G (6) → G (4) —— 假命题
——————————————————————————————————————————————————

量词（quantification）
用来表示个体数量的词是量词。给谓词加上量词称作谓词的量化。
量词可看作是对个体词所加的限制、约束的词，但不是对数量一个、两个、三个…的具体描述，而是讨论两个最通用的数量限制词：全称量词和存在量词。

全称量词（universal quantification）

∀，读作 “所有的 x”、“任意 x” 或 “一切 x”
含义相当于自然语言中的 “任意的”、“所有的”、“一切的”、"每一个“，“凡”等
(∀x )P (x) 意指对论域D中的所有个体都具有性质 P
命题（∀x） P (x)当且仅当对论域中的所有 x 来说，P (x) 均为真时方为真。（记住哦，是均为真方为真）
—————————————————
例：
假设个体x的论域是全总个体域
“一切事物都是运动的” 可以形式描述为：(∀x)(x是运动的)
若以 P (x) 表示 “x 是运动的”，则可写作 (∀x)(P (x))，或简写成（∀x） P (x)，或 ∀x P（x）
—————————————————————————————
存在量词（existential quantification）

∃，读作 “存在 x”
含义相当于自然语言中的 “某个”、“存在”、“有的”、“至少有一个”、“有些” 等
（∃x） P (x) 意指对论域 D 中至少有一个个体具有性质 P
—————————————————
例:假设个体x域论域是全总个体域

“有的事物是水果” 可以形式描述为：（∃x） (x是水果 )
若以 G (x) 表示 “x 是水果”，则可写作 （∃x）（ G (x)），或简写成 （∃x） G (x)，或 ∃x G（x）

————————————————————————————————————————————————————————

例：设个体域为 D = {0, 1, 2, …, 10}，将下列命题符号化：
(1) D 中所有元素都是偶数
(2) D 中所有偶数都能被 2 整除

解答：
(1) ∀x F (x)，其中 F (x)：x 是偶数
(2) ∀x (G (x) → H (x))，其中 G (x)：x 为偶数，H (x)：x 能被 2 整除

————————————————————————————————————————————————————————
例：设个体域为 D = {x | x 为人}，将下列命题符号化：
(1) 人都生活在地球上
(2) 有的人长着黑头发
(3) 中国人都用筷子吃饭
(4) 有的美国人不住在美国

解答：设个体域为 D = {x | x 为人}，将下列命题符号化：
(1) 人都生活在地球上。
∀x F (x)，其中 F (x)：x 生活在地球上

(2) 有的人长着黑头发。
∃x G (x)，其中 G (x)：x 长着黑头发

(3) 中国人都用筷子吃饭。
∀x (F (x) → G (x))，其中 F (x)：x 为中国人，G (x)：x 用筷子吃饭

(4) 有的美国人不住在美国。
∃x (F (x) ∧ ¬G (x))，其中 F (x)：x 是美国人，G (x)：x 住在美国

————————————————————————————————————————————————————————
王杰的专辑《英雄泪》中歌曲“希望”中有一句歌词“希望世间能有永恒/希望真情不会改变/世上没有伤心人/岁岁年年到永远”
如果令P(x)表示“x是世间的伤心人”，那么“世上没有伤心人”应该表示为（ ）
A ¬P(x)
B ¬(∀x)P(x)
C (∃x)¬P(x)
D ¬(∃x)P(x)
——————————————————————————————————
设D为个体域
（1）“D中所有x都有性质F”符号化为：∀xF(x)
（2）“D中存在x都有性质F”符号化为：∃xF(x)
（3）“对D中所有的x而言，如果x有性质F，x就有性质G”符号化为：
∀x(F(x) → G(x)) （基本公式1）
（4）“D中存在x既有性质F、又有性质G”符号化为：
∃x(F(x) ∧ G(x)) （基本公式2）

（3）（4）就和上面的那个中国人和美国人的题一样想。

设D为个体域
（5）“对D中所有的x，y而言，若x有性质F，（前提）y有性质G，则x与y就有关系H”（若。。。则。。。：用蕴涵）符号化为：
∀x∀y(F(x) ∧ G(x) → H(x,y))
（6）“对D中所有的x而言，若x有性质F，（理解：有了F才会有G（这里是理解不是才的那个蕴含，只是让你单纯的理解））就存在y有性质G，使得x与y有关系H”（若。。。就。。。）符号化为：
∀x(F(x) → ∃y(G(x) ∧ H(x,y)))
（7）“D中存在x有性质F，并且对D中所有的y而言，如果y有性质G，则x与y就有关系H”符号化为：
∃x(F(x) ∧ ∀y(G(y) → H(x,y)))

例 ：在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
解 ：注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域（其他题也是这样想）
(1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数， L(x,y)：x>y
∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y))
或者 ∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y)))（理解：如果它是一个正数，对于所有负数而言都有大于关系）
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数， L(x,y)：x>y
∃x∃y(F(x)∧G(y)∧L(x,y))
或者 ∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))

例 ：在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1) 没有不呼吸的人
(2) 不是所有的人都喜欢吃糖
解： (1) F(x)：x是人， G(x)：x呼吸
∀x(F(x)→G(x))
¬∃x(F(x)∧¬G(x))
(2) F(x)：x是人， G(x)：x喜欢吃糖
∃x(F(x)∧¬G(x))
¬∀x(F(x)→G(x))

例： 设个体域为实数域, 将下面命题符号化
(1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y
(2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y
解 ： L(x,y):x<y
(1) ∀x∃yL(x,y)
(2) ∃x∀yL(x,y)
注意: ∀与∃不能随意交换
显然(1)是真命题,(2)是假命题

主要内容
一阶逻辑命题中使用的谓词、量词的概念和含义；
如何对一阶逻辑命题利用量词和谓词符号化
要求：
能够利用谓词和量词相关知识对一阶逻辑命题进行符号化

——————————————————————-
跟我走，速学