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做分类任务的朋友，基本都会绕不开支持向量机（SVM）。它虽然不像深度网络那样动不动跑几个小时的训练，但靠着“间隔最大化”和“核技巧”这两板斧，在中小规模数据集上依然非常能打。这两年我陆陆续续做了不少分类相关的实战，其中最常被问到的一个问题是：SVM 做多分类，到底怎么直观地理解它学到的边界？怎么做出好看又有解释力的 2D、3D 可视化图？

这篇博文就围绕“SVM 2D/3D 多分类案例与可视化”展开，我先把方案设计思路捋清楚，再给出完整的训练代码和可视化代码，最后把我踩过的坑和排查经验一并整理出来。内容覆盖从原理到实操、从二维决策边界到三维超平面的完整链路，适合刚接触机器学习、想弄懂 SVM 多分类原理的入门读者，也适合需要快速产出演示实验的从业者。

1. 案例设计思路：数据、工具与多分类策略取舍

1.1 核心需求拆解

拿到“SVM 2D/3D 多分类案例与可视化”这个需求，我先不急着写代码，而是拆成三个问题。

第一个问题：数据从哪里来。2D 可视化需要数据本身只有两个特征，这样横轴纵轴分别对应一个特征，画出来的决策区域才直观。3D 可视化需要三个特征，才能在三维空间里展示点云和超平面。真实数据集大多是高维的，直接拿来可视化效果很差，所以最稳的思路是使用生成数据。我用的是 scikit-learn 自带的make_blobs和make_classification，可以精确控制类别数、样本量、簇间距离和噪声，这对于演示 SVM 行为非常有帮助。

第二个问题：多分类怎么做。SVM 天生是二分类器，多分类必须靠“拆”。常用方案有三类：一对多（One-vs-Rest，OVR）、一对一（One-vs-One，OVO）和直接优化多分类目标。工程上最常见的就是前两种，我后面会详细对比。

第三个问题：可视化到底要画什么。2D 场景下，决策边界是一条条曲线或折线，把平面划分成几个区域；3D 场景下，决策边界是曲面，把空间划分成几块区域。可视化的本质不是“画得好看”，而是把模型学到的分类规则直观地摆出来，方便发现过拟合、欠拟合、边界混乱等问题。

1.2 方案选型与工具链

工欲善其事，必先利其器。这个案例的核心工具链非常轻量：

• scikit-learn：提供SVC、数据生成、标准化、模型评估等全部能力。
• matplotlib：负责 2D 和 3D 绘图。2D 用contourf填充等高线，3D 用plot_surface或带透明度的scatter。
• numpy：处理网格生成、数据重塑等底层计算。

这套方案选型的理由很简单：scikit-learn 的 SVM 实现稳定、接口统一、文档完善，而且内置了 OVR 和 OVO 的完整支持；matplotlib 是 Python 绘图的默认选择，虽然 3D 交互性不如 plotly，但胜在随处可用、输出静态图清晰，适合写博文和做实验记录。

从工程实践的角度，我不建议在这个案例中引入重量级框架，也不建议用 torch 或 tensorflow 手写 SVM 优化。这个需求的核心在于“理解、演示、复用”，轻量方案效率最高。

1.3 多分类策略：OVR 和 OVO 的取舍

SVM 多分类最常见的是这两种策略，它们的原理和取舍很关键。

一对多（OVR）的思路是：如果有 K 个类别，就训练 K 个二分类器，每个分类器负责区分“这个类别”和“其余所有类别”。预测时，K 个分类器各自输出一个置信度，置信度最高的那个类别胜出。优点是分类器数量少，训练速度快；缺点是每个分类器都面对一个“正样本少、负样本非常多”的不平衡问题，并且不同分类器的得分不容易直接比较。

一对一（OVO）的思路是：K 个类别两两组合，共训练 K*(K-1)/2 个二分类器，每个分类器只负责区分其中两个类别。预测时用投票法，得票最多的类别胜出。优点是每个分类器任务简单、训练数据平衡；缺点是类别多时分类器数量呈平方级增长。

scikit-learn 的SVC底层使用的就是 OVO 策略，而LinearSVC使用 OVR。很多人不知道这个差异，导致在对比实验结果时产生困惑。例如同样是 5 分类任务，SVC实际训练了 10 个二分类器，LinearSVC只训练了 5 个，两者的决策边界和预测耗时自然不同。

我的建议是：优先用SVC作为演示和案例的主力模型，因为它支持核函数，兼顾线性与非线性场景，适合用来画 2D/3D 决策边界。LinearSVC留给高维稀疏特征场景使用。

2. SVM 多分类原理速通：先弄懂边界，再谈可视化

2.1 支持向量机的核心思想

想理解 2D 决策边界图上的那些曲线和区域，首先得知道 SVM 在找什么。

对于二分类问题，SVM 要找的是一个超平面，把所有正样本和负样本分开，并且让这个超平面离两类样本都尽可能远。在二维平面上，超平面退化成一条直线；在三维空间中，超平面是一个平面。所谓“支持向量”，就是距离这个超平面最近的那些样本点。算法本质上只关心这些支持向量，其他离边界很远的样本不管有多少，都不影响最终模型。这也是 SVM 相比其他分类器的一大特点：决策边界只由少数关键样本决定，泛化能力和鲁棒性都很好。

当数据线性不可分时，SVM 引入“软间隔”概念，允许少量样本越过边界，并用惩罚参数C控制“容错程度”。C越大，模型越不能容忍分类错误，可能导致过拟合；C越小，边界越宽松，可能出现欠拟合。这个参数在后面的可视化作图中影响非常直观。

2.2 核函数：如何从 2D 到 3D 再到高维

SVM 最漂亮的地方是核技巧。真实数据往往是线性不可分的，但把它们映射到高维空间后，就可能变得线性可分。核函数的作用是：不用真的做高维映射，直接在原空间计算高维空间中的内积，既省计算量，又能达到非线性分类效果。

常见核函数有三个层次：

• 线性核：不映射，适合本身就线性可分的数据。
• 多项式核：引入多项式组合，适合有一定交互特征的数据。
• 高斯径向基核（RBF）：本质上是把样本映射到无穷维空间，是最常用的默认选择，对非线性边界拟合能力强。

RBF 核有两个关键参数：C和gamma。gamma控制单个样本的影响半径，gamma越大，每个样本影响的区域越小，边界越弯曲，容易过拟合；gamma越小，边界越平滑，容易欠拟合。理解这两个参数的配合，是读懂后续 2D/3D 可视化图形的钥匙。

2.3 多分类的可视化到底展示了什么

很多人会误以为 2D 多分类决策边界图是“整个 SVM 多分类模型的完整表达”，其实不是。

SVM 多分类是由多个二分类器组合而成的。SVC采用 OVO 策略时，可视化代码在执行预测时，已经把多个二分类器的投票结果合并成了最终类别。因此决策边界图表示的其实是“投票结果按类别划分的区域”，而不是某个特定超平面。更严谨的做法是分别画出每个二分类器的边界，但那样图会非常杂乱，实际演示中通常直接展示最终的类别区域。

搞清楚这一点，再看图就有经验了：图上颜色区域是模型的最终分类规则；区域边缘是决策边界；贴边界的散点往往就是支持向量或靠近边界的难例；图中如果出现细碎的“孤岛”或锯齿状区域，基本可以判断是gamma或C设置不当造成的过拟合。

3. 2D 多分类案例：从数据生成到决策边界可视化

3.1 构造 2D 多分类数据集

2D 案例我选择生成 4 类样本，每类 150 个，一共 600 个样本。使用make_blobs的好处是可以通过cluster_std控制每簇的离散程度，通过centers自行指定中心点分布。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.datasets import make_blobs from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.svm import SVC X, y = make_blobs( n_samples=600, centers=4, n_features=2, cluster_std=0.8, random_state=42 ) X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split( X, y, test_size=0.3, random_state=42 )

这里random_state固定为 42，保证每次运行结果一致，方便复现。cluster_std=0.8是我反复试下来比较合适的一组值：簇间距离明显、边界处有少量重叠，既能展示 SVM 的软间隔能力，又不至于让分类器完全混乱。

接下来是关键的一步：标准化。

scaler = StandardScaler() X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train) X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

这一步不是可有可无的。SVM 对特征尺度极其敏感：如果一个特征数值范围是另一个特征的几十倍，那么在计算距离时，大数值特征会完全主导结果。标准化把每个特征缩放到均值为 0、标准差为 1 的分布，各特征在距离计算中的地位才平等。我见过很多初学者跳过这步，结果画出的决策边界完全倾斜，训练集准确率很高但测试集表现很差，原因就是特征尺度失衡。

3.2 训练 SVM 多分类模型

模型部分代码如下：

svm = SVC(kernel='rbf', C=10, gamma='scale', decision_function_shape='ovo') svm.fit(X_train_scaled, y_train) train_acc = svm.score(X_train_scaled, y_train) test_acc = svm.score(X_test_scaled, y_test) print(f"训练集准确率: {train_acc:.4f}") print(f"测试集准确率: {test_acc:.4f}")

这里我选 RBF 核，gamma='scale'表示根据特征数量自动计算 gamma 值，默认是1 / (n_features * X.var())。2D 数据集只有两个特征，scale模式下的 gamma 会偏小，边界相对平滑，比较适合展示基本的多分类效果。

C=10属于中等强度惩罚。如果C太小，比如 0.01，决策边界会过于宽松，出现大量误分类区域；如果C太大，比如 1000，一个离群点都可能被单独圈成一个区域，边界变得非常崎岖。10 是一个经验安全值，不会让图太难看不至于脱离实际。

有一点需要提醒：在较新版本的 scikit-learn 中，decision_function_shape参数已不建议显式指定，SVC默认就是 OVO，多分类内部自动处理投票。旧代码里写decision_function_shape='ovo'是当时为了兼容性，现在直接省略即可。

3.3 画 2D 决策边界

2D 决策边界可视化的核心思路是：在特征平面上均匀采样大量点，用训练好的模型预测这些点的类别，然后把类别填充到网格中，形成“色块地图”。

from matplotlib.colors import ListedColormap x_min, x_max = X_train_scaled[:, 0].min() - 0.5, X_train_scaled[:, 0].max() + 0.5 y_min, y_max = X_train_scaled[:, 1].min() - 0.5, X_train_scaled[:, 1].max() + 0.5 xx, yy = np.meshgrid( np.linspace(x_min, x_max, 300), np.linspace(y_min, y_max, 300) ) Z = svm.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]) Z = Z.reshape(xx.shape) colors = ['#4C72B0', '#DD8452', '#55A868', '#C44E52'] cmap = ListedColormap(colors) plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.contourf(xx, yy, Z, levels=len(np.unique(y)) - 1, alpha=0.6, cmap=cmap) plt.scatter( X_train_scaled[:, 0], X_train_scaled[:, 1], c=y_train, cmap=cmap, edgecolors='k', s=40 ) plt.xlabel("Feature 1 (standardized)") plt.ylabel("Feature 2 (standardized)") plt.title("SVM 2D Multi-class Decision Boundary (RBF)") plt.xlim(xx.min(), xx.max()) plt.ylim(yy.min(), yy.max()) plt.show()

这段代码里有几个细节值得琢磨。

np.linspace生成 300 个等距点，网格密度决定决策边界的精细程度。300 这个数量在 2D 场景下不会太慢，边界也比较平滑。如果网格太稀，比如 50，边界会出现明显的锯齿；太密则计算时间增加但视觉差异不大。

np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]把网格坐标堆叠成二维数组，每一行是一个待预测点，shape 是(90000, 2)。预测完成后，把结果reshape回xx的 shape，才能正确填入等高线图中。

contourf的levels参数我设置成len(np.unique(y)) - 1。len(np.unique(y))是类别数，4 类样本需要 3 个层级来分隔 4 个填充区间。这里折腾过一次：最开始我直接省略levels，matplotlib 默认使用 10 个层级，结果决策区域被分割成很多条颜色带，看起来完全不像分类图，反而像地形等高线。这是一个非常典型的可视化翻车现场。

运行上述代码，你会看到四块颜色区域相对清晰地分开，每块区域内部的训练样本颜色一致，区域之间有明显的交界线。交界线的形状取决于 RBF 核的超参数：gamma越大交界越弯曲，C越大交界越精细。

4. 3D 多分类案例：超平面与空间区域可视化

4.1 三维数据集的构造与标准化

3D 案例我选择生成 3 类样本，每类 200 个，共 600 个。三维数据的核心价值在于多了一个特征维度，模型要学的是“空间超平面”而不是“平面曲线”。

X_3d, y_3d = make_blobs( n_samples=600, centers=3, n_features=3, cluster_std=1.0, random_state=7 ) X_3d_train, X_3d_test, y_3d_train, y_3d_test = train_test_split( X_3d, y_3d, test_size=0.3, random_state=42 ) scaler_3d = StandardScaler() X_3d_train_scaled = scaler_3d.fit_transform(X_3d_train) X_3d_test_scaled = scaler_3d.transform(X_3d_test) svm_3d = SVC(kernel='rbf', C=10, gamma='scale') svm_3d.fit(X_3d_train_scaled, y_3d_train) print("3D Train Acc:", svm_3d.score(X_3d_train_scaled, y_3d_train).round(4)) print("3D Test Acc:", svm_3d.score(X_3d_test_scaled, y_3d_test).round(4))

三维场景下的 RBF 核会自动调整 gamma，因为n_features=3，同样的gamma='scale'会得到比 2D 场景稍大的 gamma 值，决策曲面因此更有弹性。cluster_std=1.0让三簇数据在空间中有适量交叠，既能体现分类难度，又不至于让准确率过低。

4.2 散点式 3D 类别展示

3D 可视化最简单直观的展示方式是三维散点图，每个类别一种颜色。先画出原始训练样本的空间分布：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D fig = plt.figure(figsize=(10, 7)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') cmap_3d = ListedColormap(['#4C72B0', '#DD8452', '#55A868']) ax.scatter( X_3d_train_scaled[:, 0], X_3d_train_scaled[:, 1], X_3d_train_scaled[:, 2], c=y_3d_train, cmap=cmap_3d, s=30, alpha=0.8 ) ax.set_xlabel("Feature 1") ax.set_ylabel("Feature 2") ax.set_zlabel("Feature 3") ax.view_init(elev=20, azim=45) plt.show()

三维散点图的重点在于视角。初始视角是固定东偏 45 度、仰角 20 度，这种视角通常能同时看到三个坐标轴的分布，但某些簇可能被前面的点挡住。我一般会在静态图输出后手动旋转几次，找到最清晰的视角再保存。如果想探查数据内部结构，可以临时把alpha调低到 0.4 左右，点变透明后能隐约看到被遮挡的簇。

4.3 用体素或曲面近似三维决策区域

真正困难的是把三维决策边界画出来。matplotlib 没有直接画“分类超平面集合”的原生函数，需要自己想办法。

我尝试过两条路线：第一条路线是用plot_surface分别画每个二分类超平面，但多分类 OVO 策略下超平面数量是 K*(K-1)/2，画出来会乱成一团麻线，排布极其密集，阅读价值很低。

第二条路线是等间距采样三维网格，把每个网格点送入模型预测，再用scatter以低透明度画出预测类别。这样得到的图是所有预测点的“气场区域”，颜色分布越均匀，代表模型分类越稳定。

x_min, x_max = X_3d_train_scaled[:, 0].min() - 0.5, X_3d_train_scaled[:, 0].max() + 0.5 y_min, y_max = X_3d_train_scaled[:, 1].min() - 0.5, X_3d_train_scaled[:, 1].max() + 0.5 z_min, z_max = X_3d_train_scaled[:, 2].min() - 0.5, X_3d_train_scaled[:, 2].max() + 0.5 xx_3d, yy_3d, zz_3d = np.meshgrid( np.linspace(x_min, x_max, 20), np.linspace(y_min, y_max, 20), np.linspace(z_min, z_max, 20) ) grid_points = np.c_[ xx_3d.ravel(), yy_3d.ravel(), zz_3d.ravel() ] grid_pred = svm_3d.predict(grid_points) fig = plt.figure(figsize=(10, 7)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.scatter( grid_points[:, 0], grid_points[:, 1], grid_points[:, 2], c=grid_pred, cmap=cmap_3d, alpha=0.15, s=10 ) ax.scatter( X_3d_train_scaled[:, 0], X_3d_train_scaled[:, 1], X_3d_train_scaled[:, 2], c=y_3d_train, cmap=cmap_3d, edgecolors='k', s=40 ) ax.set_xlabel("Feature 1") ax.set_ylabel("Feature 2") ax.set_zlabel("Feature 3") ax.view_init(elev=20, azim=45) plt.show()

这里的关键参数是网格密度。np.linspace(..., 20)代表每个维度取 20 个点，总网格点是20^3 = 8000个，预测速度和绘图压力都可以接受。网格密度如果降到 10，决策区域会非常粗糙；升到 50，总点数达到 12.5 万，绘图会卡顿明显，静态图还会因点过多而开成一片“色块浓汤”。

alpha=0.15是这条路线最核心的经验值。网格点透明度太高则看不见决策区域，透明度太低则完全盖住原始散点。0.15 能在保留类别区域的同时显示出原始样本的位置。

5. 踩坑实录：这些问题我替你先试过了

5.1 特征尺度不一致导致边界“一边倒”

这是整个案例中我遇到最多的问题，没有之一。

有一次我用原始未标准化的数据进行训练，二维可视化时发现决策边界几乎完全由特征 1 决定：特征 2 的数值范围只有特征 1 的零头，SVM 在计算距离时几乎忽略了特征 2，导致边界照片般整齐地垂直于特征 1 轴，分类结果看起来像“拍脑袋切了一刀”。

排查过程一点都不复杂：我先把两个特征的min、max、std打印出来，一眼就发现了量级差距，然后加上StandardScaler重新训练，决策边界立刻恢复正常，测试集准确率也从 0.72 提升到 0.94。

这个教训的普适性很强：任何基于距离或内积的模型，都必须先标准化。线性回归可以不做标准化因为系数能自动适配，但 SVM、KNN、神经网络这些基于距离计算的模型不做标准化，基本等于白训。

5.2 混淆矩阵显示准确率虚高

只看准确率很容易被迷惑。有一次我训练完 4 分类模型，测试集准确率达到了 0.96，看起来非常完美，但当我把混淆矩阵打出来一看，某个类别有一批样本被大量错分为另一个类别，只是这两类的样本数量占比较小，掩盖了问题。

from sklearn.metrics import confusion_matrix, ConfusionMatrixDisplay cm = confusion_matrix(y_test, svm.predict(X_test_scaled)) disp = ConfusionMatrixDisplay(confusion_matrix=cm) disp.plot(cmap='Blues') plt.show()

做多分类案例，我建议至少看一眼混淆矩阵，不要只报准确率。在 SVM 可视化实验中，混淆矩阵还能直接帮助你定位 2D 图中某个颜色区域异常的原因。

5.3 3D 网格采样导致内存溢出

第一次做 3D 可视化时，我把网格设置成np.linspace(x_min, x_max, 50)，每个维度 50 个点，总网格点数是50^3 = 125000个。预测本身还好，但当我用scatter绘制时，12.5 万个点加上原始数据点，图像数据量巨大，交互旋转时卡顿到几乎无法操作。

后来的处理方案就是 20 个点。如果想要更精细的效果，可以分两次画：第一次用 20 的网格画底层区域，第二次用 30 的网格只画靠近边界的局部细节，叠加在同一张图上。这比一次性拉满网格密度要平滑得多。

5.4 matplotlib 3D 可视化遮挡问题

3D 散点图的遮挡问题是固有缺陷：后面的点会被前面的点遮住，导致空间分布判断失误。

一个很实用的小技巧是调整alpha和视角。视角上，我习惯先固定elev=20保证从上往下略带俯视，再在azim=0到360之间循环旋转，每转 45 度保存一张图，最后挑最清晰的一张。透明度上，原始样本点用alpha=0.8，网格预测点用alpha=0.15，两者对比层次感拉满。

如果想要完全解决遮挡问题，建议上交互式可视化工具。后续我会单独展开讲。

5.5 过拟合边界的识别

SVM 的决策边界可视化是判断过拟合最好的“照妖镜”。

有一次我把gamma调到了 10，C调到 1000，结果 2D 图中的决策边界出现了很多闭合的“小岛”：某些孤立样本点被模型单独圈成一个区域，看起来像一张长了疱疹的地图。训练集准确率高达 0.99，但测试集准确率掉到 0.81。

正常情况下，RBF-SVM 的决策边界应该呈现平滑的曲线或带状过渡。如果边界出现大量细碎拐点、独立闭环、锯齿状凸起，基本可以断定gamma或C过高。可视化在这里不只是锦上添花，而是名副其实的调试工具。

我把这些坑整理成一张速查表，方便大家随手翻阅：

6. 可视化进阶：交互式 3D 与决策置信度输出

6.1 用交互式 3D 解决旋转问题

matplotlib 的 3D 图在 Jupyter 中虽然可以旋转，但静态导出后无法互动。如果想要更体面的演示效果，可以切换到 plotly 的Scatter3d，它能直接输出可拖拽旋转的 HTML 文件，发在博客里读者也能自行探索。

import plotly.graph_objects as go fig = go.Figure() fig.add_trace( go.Scatter3d( x=grid_points[:, 0], y=grid_points[:, 1], z=grid_points[:, 2], mode='markers', marker=dict( size=2, color=grid_pred, colorscale='Viridis', opacity=0.2 ), name='Decision Region' ) )

plotly 的优势不止是旋转。数据量大时，它支持 WebGL 渲染，几万个点也能流畅拖动。代价是需要额外安装依赖，产出的是 HTML/JS 文件，并不适合所有场景。我的经验是：Jupyter 里临时探索用 matplotlib，正式演示和分享用 plotly。

6.2 可视化的同时输出决策置信度

最后分享一个能显著提升案例质量的扩展方向：不要只输出最终类别，还要输出每个类别的置信度。

SVC本身不直接给出概率，需要开启probability=True，训练完后使用predict_proba获得每个类别的概率分布。这需要一个额外的交叉验证步骤来表示概率校准，所以训练时间会变长。但对小型演示数据集来说，这个代价完全可接受。

svm_prob = SVC(kernel='rbf', C=10, gamma='scale', probability=True) svm_prob.fit(X_train_scaled, y_train) prob = svm_prob.predict_proba(X_test_scaled[:10]) print(prob.round(3))

输出结果形如：

[[0.002 0.993 0.004 0.001] [0.971 0.018 0.006 0.005] ... ]

每一行代表一个样本，每一列代表属于某个类别的概率。置信度输出能让可视化结论更有说服力：你不仅看到某个区域被划分为类别 A，还能知道模型在边界区域附近的置信度有多低。这是从“画个图”上升到“讲清楚模型行为”的关键一步。

我在实际做多分类可视化时，最喜欢的做法是把置信度叠加到 2D 图中：在边界附近的样本点上，用颜色深浅代表概率大小，会发现边界带的颜色普遍偏浅，这正是模型“犹豫”的区域，对解释支持向量的分布非常有价值。

个人经验与小结

回头看我做 SVM 2D/3D 多分类可视化这套流程，最有感触的一点是：可视化的价值不在于好看，而在于让模型的行为变得可解释、可调试。2D 的决策边界让我快速理解 RBF 核的C和gamma是如何影响模型复杂度的；3D 的空间点云让我直观看出多分类器的决策临界在哪里，哪些地方是模型容易犯错的重灾区。

两步建议送给正在实操的朋友：第一步，先用 2D 数据把整个流程跑通，确认模型、标准化、预测、画图这条链路没有问题，再把数据换成 3D。这样调试成本最低。第二步，不要只盯着准确率，把 2D 决策边界图或 3D 分类点云图打印出来，用“看图说话”的方式去解释 SVM 的分类规则，这比单纯报一个数字更能让你理解模型到底学会了什么。

如果你正在做一个真实项目的多分类演示，或者需要向团队解释 SVM 的分类逻辑，这个案例完全可以拿过去复用：数据生成的参数改一改、类别数改一改、标准化和训练代码保持不变，可视化部分把画布尺寸和颜色列表调一下，就能输出一套与你的数据场景完全契合的 2D/3D 决策边界图。后续想继续深入的话，还可以把高斯过程的概率输出加进来，或者用 PCA 把高维特征先降维到三维再画图，思路都是互通的。