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题目描述

给定一个由NNN个整数组成的序列，要求构造一个使用不超过MMM个运算符的编码表达式，使得该表达式能够生成给定的序列。序列的编码使用以下规则定义：常数序列用[n][n][n]表示，表示所有项均为nnn；若S=(Si)S = (S_i)S=(Si​)是一个序列，则[m+S][m + S][m+S]表示序列(m+S1,m+S2,… )(m + S_1, m + S_2, \dots)(m+S1​,m+S2​,…)，[m∗S][m * S][m∗S]表示序列(m×S1,m×S2,… )(m \times S_1, m \times S_2, \dots)(m×S1​,m×S2​,…)。编码表达式可以嵌套，例如[2+[1]][2 + [1]][2+[1]]生成序列2,3,4,5,…2, 3, 4, 5, \dots2,3,4,5,…。题目要求找到能够生成给定序列且运算符数量不超过MMM的编码表达式；若不存在这样的表达式，则输出[0][0][0]。

输入格式

输入包含多组测试数据。每组数据占一行，包含一个整数MMM以及序列的前若干项。序列中的项为绝对值不超过200000200000200000的整数（正整数或负整数），项数NNN满足N>MN > MN>M，且2≤N≤512 \le N \le 512≤N≤51，1≤M≤501 \le M \le 501≤M≤50。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行，包含对应的编码表达式，表达式中不包含任何空格。若不存在满足条件的表达式，则输出[0][0][0]。

样例输入

3 10 30 30 -30 90 -450 3150 2 2 6 36 360 5400 113400

样例输出

[2*[5+[-2]]] [0]

题目分析

该问题要求逆向构造生成给定序列的编码表达式。编码表达式由常数和两种运算（加法和乘法）组成，运算可以嵌套。由于运算符数量不超过MMM，且MMM最大为505050，序列长度NNN最大为515151，可以采用深度优先搜索（DFS\texttt{DFS}DFS）来尝试所有可能的构造方式。观察编码的结构，最内层必然是常数序列[n][n][n]，外层则通过加法或乘法与常数结合。因此，可以从给定序列出发，逐层剥离运算：若序列中相邻项的差值恒定，则可能是加法运算；若相邻项的比值恒定（且前一项不为000），则可能是乘法运算。搜索过程中，记录已经使用的运算符数量，若超过MMM则剪枝。由于题目保证若有解则解存在，且搜索空间有限，该方法可以在规定时间内找到答案。

解题思路

对于每组数据，首先读取MMM和序列。调用深度优先搜索函数dfs\texttt{dfs}dfs，传入当前序列、已构造的表达式片段、当前深度和最大深度。在dfs\texttt{dfs}dfs中，首先检查当前序列是否所有元素相同，若是，则将常数添加到表达式并输出结果，标记搜索完成。否则，检查当前序列是否满足相邻项可整除（即后一项能整除前一项且前一项不为000），若满足，则尝试所有可能的乘法因子iii（iii整除首项），构造新的序列（首项变为首项除以iii，其余项变为后一项除以前一项），并将表达式片段添加iii和乘号，递归搜索。同时，无论是否满足乘法条件，都尝试加法操作：构造差分序列（后一项减前一项），并将表达式片段添加首项和加号，递归搜索。若搜索深度超过MMM或序列为空，则返回。若搜索完成则输出表达式，否则输出[0][0][0]。注意表达式的构造顺序：由于递归是从外层向内层剥离，因此表达式片段需要逆序拼接，最终形成形如[a+[b∗[c]]][a + [b * [c]]][a+[b∗[c]]]的嵌套结构。

代码实现

// Find the Sequence// UVa ID: 996// Verdict: Accepted// Submission Date: 2017-03-19// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2017，邱秋。metaphysis # yeah dot net//// The judge data is not strong.//#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;boolfinished=false;boolisSame(vector<int>&number){if(number.size()==0)returnfalse;for(inti=1;i<number.size();i++)if(number[i]!=number[i-1])returnfalse;returntrue;}booldivided(vector<int>&number){for(inti=1;i<number.size();i++)if(number[i-1]==0||((number[i]%number[i-1])!=0))returnfalse;returntrue;}voidprint(vector<string>&sequence){string formula;for(inti=sequence.size()-1;i>=0;i--)formula="["+sequence[i]+formula+"]";cout<<formula<<'\n';}voiddfs(vector<int>number,vector<string>sequence,intdepth,intmaxDepth){if(depth>maxDepth||number.size()==0)return;if(isSame(number)){sequence.push_back(to_string(number[0]));print(sequence);finished=true;return;}if(divided(number)){vector<int>next_number(number.size(),0);for(inti=1;i<number.size();i++)next_number[i]=number[i]/number[i-1];for(inti=1;i<=number[0];i++){if(number[0]%i==0){next_number[0]=number[0]/i;vector<string>next_sequence(sequence);next_sequence.push_back(to_string(i)+"*");dfs(next_number,next_sequence,depth+1,maxDepth);if(finished)return;}}}vector<int>next_number;for(inti=1;i<number.size();i++)next_number.push_back(number[i]-number[i-1]);vector<string>next_sequence(sequence);next_sequence.push_back(to_string(number[0])+"+");dfs(next_number,next_sequence,depth+1,maxDepth);}intmain(intargc,char*argv[]){cin.tie(0);cout.tie(0);ios::sync_with_stdio(false);string line;while(getline(cin,line)){intm,n;vector<int>number;istringstreamiss(line);iss>>m;while(iss>>n)number.push_back(n);finished=false;vector<string>formula;dfs(number,formula,1,m);if(!finished)cout<<"[0]\n";}return0;}

总结

本题的关键在于理解编码表达式的嵌套结构，并利用深度优先搜索从给定序列出发逐层剥离加法和乘法运算。通过检查序列的差分和比值特征，可以判断可能的运算类型。搜索过程中需要记录已使用的运算符数量，并进行有效的剪枝。由于题目数据规模较小，该搜索方法能够快速找到解。掌握序列的差分与比值分析以及递归构造表达式的方法，对于解决此类逆向构造问题具有重要的参考价值。