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最近要在一门微观经济学课上给学生演示一般均衡理论，最直接的工具就是埃奇沃思盒（Edgeworth Box）。以前我在白板上手画，画一条无差异曲线都要小心翼翼，画出一整族更是费劲，更别说还要表达帕累托改进、契约曲线这些动态概念。后来换成了 Python 脚本，改一个参数整张图就能重新生成，一节课下来能把交换经济里的禀赋、无差异曲线、交易收益、均衡价格全套讲透。这篇文章把这套代码和背后的原理完整拆开，讲清楚怎么用 Python 画一张带无差异曲线、帕累托改进区域、契约曲线和竞争均衡点的埃奇沃思盒。对正在学微观经济学、想用代码做论文插图、或者备课时需要可视化工具的读者，都能直接用上。

1. 先搞清楚埃奇沃思盒的图形逻辑再动手写码

1.1 两人两商品的交换经济设定

埃奇沃思盒回答的问题其实很朴素：一个经济里只有两个人，比如 A 和 B；只有两种商品，比如 X 和 Y；两种商品的总量是固定的，A 拿得多一点，B 就拿得少一点。这种设定叫“两人两商品纯交换经济”，是一般均衡理论里最简单的模型，但几乎所有核心结论都能在这个盒子里显现出来。

假设经济中商品 X 的总量是 W，商品 Y 的总量是 H，A 初始持有(ω_Ax, ω_Ay)，B 初始持有(ω_Bx, ω_By)，那么一定有ω_Ax + ω_Bx = W、ω_Ay + ω_By = H。任意一种分配方案(x_A, y_A, x_B, y_B)只要满足

x_A + x_B = W y_A + y_B = H

就是可行的。把所有可行分配画到一张图上，就是那个著名的矩形——埃奇沃思盒。

这个盒子的精妙之处在于，它把一个二维的分配问题，压缩成了平面上的一个点。一个点代表一种分配，点的位置变化代表财富的转移，这样一来，交换过程、效用变化、最优配置全都可以在几何直观里讨论。

1.2 “双坐标系”是盒子的灵魂

盒子的构造听起来很简单：左边和下面是 A 的坐标系，A 的原点O_A在左下角，向右代表商品 X 数量增加，向上代表商品 Y 数量增加；右边和上面是 B 的坐标系，B 的原点O_B在右上角，向左代表商品 X 数量增加，向下代表商品 Y 数量增加。

所以，图上任意一个点(x_A, y_A)，对应的 B 的消费束就是(W - x_A, H - y_A)。A 往右上移动，A 拥有的商品变多；B 往左下移动，B 拥有的商品变多。两个消费者的利益天然是“对着干”的，这个对抗关系被盒子用旋转 180 度的方法直接画在了同一张图里。

第一次接触的人很容易在这个地方绕晕。我自己的经验是：写代码时一定要把“A 的坐标系”和“B 的视角”分开。A 坐标系是画布本身，B 只是在这个画布上反向读数据。如果不把这个关系想清楚，画出来的 B 无差异曲线就会完全错误。

1.3 无差异曲线怎么“翻”进盒子

A 在左下角拥有自己的无差异曲线族，B 是右上角拥有自己的无差异曲线族。以 Cobb-Douglas 效用函数为例，A 的效用是

U_A = x_A^α * y_A^(1-α)

B 的效用是

U_B = x_B^β * y_B^(1-β)

在这个盒子里，B 的无差异曲线必须用“B 实际拿到的东西”来计算，也就是x_B = W - x_A、y_B = H - y_A。这本质上是一种坐标翻转：取网格点(x_A, y_A)，算出 B 拿到多少，再带入 B 的效用函数。那组等高线画出来的结果，就是 B 眼中凸向O_B的无差异曲线族。

A 的无差异曲线越靠近左下角效用越低，越靠近右上角效用越高；B 则完全相反。两条曲线在某点相切时，意味着两个消费者的边际替代率相等，这个切点轨迹就是契约曲线，也是后面所有均衡分析的几何基础。

2. 为什么选择 Python 实现，整体思路怎么落

2.1 手绘和通用绘图工具的瓶颈

最早我也试过用 PPT 和几何画板这类工具画埃奇沃思盒。PPT 的优点是好上手，但曲线全靠手工调，一个点不对整条曲线就得重来，而且无法做参数实验——换一个偏好参数，全部曲线都要重新画。几何画板可以拖动点，但动画交互和批量实验并不方便，尤其是契约曲线这种需要数值求解的轨迹，很难优雅地画出来。

手绘就更不现实了。无差异曲线一族画下来，白板基本就满了，而且每次换参数都要重新画一遍，课堂上时间根本不够。

选 Python 的原因很直接：第一，NumPy 可以把整个盒子离散成网格矩阵，效用函数在每个点上的值一次算完，等高线直接由 Matplotlib 提取；第二，scipy 里有现成的数值求解器，求契约曲线和均衡价格非常方便；第三，整套逻辑是参数驱动的，改一个数字，重新运行，图就自动更新，特别适合备课、演示和论文插图。Matplotlib 虽然是通用绘图库，但它的 contour 函数天生就是为“画等高线”准备的，用来画无差异曲线再合适不过。

2.2 Matplotlib + NumPy 的实现思路

整体思路可以分成四步。

第一步，建盒子。用W和H定义矩形范围，用np.linspace在 X 轴和 Y 轴上生成离散坐标，再用np.meshgrid展开成网格矩阵。Matplotlib 里的contour函数需要的是一个二维函数值矩阵，这个网格就是它的输入。

第二步，算效用矩阵。A 的效用直接用X和Y计算；B 的效用要用翻转后的W - X和H - Y计算。这里的翻转是整篇文章最关键的操作，我已经不只一次见过有人直接把X和Y带进 B 的效用函数，画出来的两条曲线族方向完全不对。

第三步，画等高线。用ax.contour画出 A 的无差异曲线（实线）和 B 的无差异曲线（虚线）。两条曲线族的颜色和线型必须区分，否则黑白打印时根本分不清。

第四步，叠加经济分析元素。包括禀赋点、帕累托改进区域、契约曲线、竞争均衡点、价格线。这些元素才是埃奇沃思盒作为分析工具的价值所在。

2.3 代码骨架与文件组织

实际操作时，我不建议把代码写成一个巨型脚本堆在一起。更合理的结构是分成三个文件，或者至少在同一个脚本里明显分块：参数区、效用函数区、绘图区。这样以后换效用函数、调参数、加动画，都不用大改。

# param.py 或脚本顶部区域：经济参数和偏好参数 W, H = 10.0, 10.0 omega_A = [2.0, 8.0] # utility.py：效用函数和边际替代率函数 def util_a(x, y): ... def util_b(x, y): ... # plot_box.py：绘图主逻辑

这种组织方式的好处是，当你从 Cobb-Douglas 换到 CES 效用函数时，只需要改util_a和util_b两个函数，其他地方基本不动。

3. 核心代码拆解：静态埃奇沃思盒

3.1 参数设定与效用函数

代码的第一部分是把所有参数显式地写在最前面。我习惯给偏好参数起一个不容易混淆的名字，尤其要避开 Matplotlib 里的alpha透明度参数——这是个很实际的坑，你很容易写着写着就把偏好参数和透明度参数搞混。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import brentq, fsolve # 经济总量 W, H = 10.0, 10.0 # A 的初始禀赋，B 自动为剩余部分 omega_A = np.array([2.0, 8.0]) omega_B = np.array([W, H]) - omega_A # A、B 对商品 X 的偏好强度（0到1之间） pref_a = 0.4 pref_b = 0.6 def util_a(x, y): return x ** pref_a * y ** (1 - pref_a) def util_b(x, y): return x ** pref_b * y ** (1 - pref_b)

这里选pref_a = 0.4、pref_b = 0.6不是随便定的。如果两个偏好参数都取 0.5，契约曲线会是一条简单的对角线y = x，图虽然规则，但不容易体现交换的“机会成本”变化。让两个消费者偏好不同，契约曲线才会弯起来，图形也更接近教材里的经典效果。

3.2 网格生成与“翻转”效用矩阵

有了参数之后，下一步是生成网格并计算两张效用矩阵。网格密度我一般取 400 到 600。密度太低曲线会有明显折线感，太高计算量变大但视觉提升有限。

N = 500 x = np.linspace(0, W, N) y = np.linspace(0, H, N) X, Y = np.meshgrid(x, y) # B 在 A 坐标系中对应的实际消费束 XB, YB = W - X, H - Y # 效用矩阵 UA = util_a(X, Y) UB = util_b(XB, YB)

XB和YB的生成是这段代码的灵魂。它在 A 坐标系里遍历每一个点，然后“站在 B 的角度”看这个点：如果 A 在(x, y)，B 实际消耗的就是距离右上角的剩余量。用这个翻转后的量去算效用，等高线才是 B 视角的。

你可以在心里对照一下：A 坐标系里靠近左上方的点，比如(2, 8)，A 拿到 2 个 X 和 8 个 Y，B 拿到 8 个 X 和 2 个 Y，这个点离 B 的原点(10, 10)是比较远的，所以 B 的效用中等。而靠近(8, 2)的点，B 反而拿到 2 个 X 和 8 个 Y，离自己的原点更近，效用更高。这套映射是完全对称的。

3.3 画矩形、无差异曲线与坐标标注

图形硬件部分很直接：先画盒子边框，再画两族无差异曲线。这里要特别注意的是等高线的levels参数。很多人第一次画时习惯用levels=np.arange(1, 10, 1)，结果原点附近会出现一大团密集曲线，整个图看起来像一团毛线。

原因是原点附近 X 和 Y 都很小，效用对投入非常敏感，小范围变化就会被等高线放大。我的经验是从 A 的初始禀赋效用水平附近开始取等高线，并且把层数控制在 6 条以内，图面才干净。

u_a0 = util_a(omega_A[0], omega_A[1]) u_b0 = util_b(omega_B[0], omega_B[1]) levels_a = np.linspace(2.0, 8.0, 6) levels_b = np.linspace(2.0, 8.0, 6) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) ax.set_aspect('equal') ax.set_xlim(0, W) ax.set_ylim(0, H) # 盒子边框 ax.plot([0, W, W, 0, 0], [0, 0, H, H, 0], 'k-', lw=1.5) # A 的无差异曲线，蓝色实线 cs_a = ax.contour(X, Y, UA, levels=levels_a, colors='steelblue', linewidths=1.2) # B 的无差异曲线，红色虚线 cs_b = ax.contour(X, Y, UB, levels=levels_b, colors='crimson', linewidths=1.2, linestyles='dashed')

用颜色区分 A 和 B，用线型区分两族曲线，这是最基本的可读性设计。我还见过有人只用红蓝颜色不用线型，彩色屏幕上没问题，但打印成黑白文档后根本分不清。所以虚线加红色、实线加蓝色，双保险。

标注 A、B 的原点位置也很有必要。A 的原点在左下角，B 的原点在右上角，这两句话写不写，图的理解难度差距很大。

ax.text(-0.6, -0.8, 'O_A', fontsize=13, ha='center') ax.text(W + 0.3, H + 0.3, 'O_B', fontsize=13, ha='center') ax.set_xlabel('商品 X 数量（A →，B ←）') ax.set_ylabel('商品 Y 数量（A ↑，B ↓）')

如果需要更严谨的 B 视角刻度，可以用 Matplotlib 的secondary_xaxis在顶部和右侧加反转刻度，效果是顶部从左往右标着 10、8、6、4、2、0，代表 B 实际拿到的 X 数量。这个操作会让图更专业，但不是每一张图都需要，我通常只在自己正式输出的讲义里加。

3.4 帕累托改进区域：一个掩膜就搞定

帕累托改进区域是埃奇沃思盒里最直观的“交易收益”表达：从初始禀赋出发，如果一个新的分配能让 A 和 B 的效用都不下降且至少一个人提高，这个新分配点就位于改进区域内。

传统画法是先画出过禀赋点的两条无差异曲线，再把它们围成的透镜形区域填充出来。这个“求两条曲线交点再填充”的思路听起来简单，但真要在 Matplotlib 里实现非常痛苦，因为等高线是以线段形式存储的，得先提取路径、求交点、判断闭合关系，代码量很大。

我后来找到了一个特别巧的办法：直接用布尔掩膜。既然 A 的效用高于初始效用水平的点是一个区域，B 的效用高于初始效用水平的点也是一个区域，两个条件同时满足就是帕累托改进区域，这不就是一个逻辑与操作吗？

region = (UA >= u_a0) & (UB >= u_b0) ax.contourf(X, Y, region.astype(float), levels=[0.5, 1.0], colors='gold', alpha=0.25)

用contourf画布尔数组的时候，要把布尔值转成浮点数，并且levels必须设置成[0.5, 1.0]。这样 True 的区域会被填充，False 的区域不会被填充。填充出来的形状恰好就是那两条初始效用等高线围成的透镜形区域，完全不需要求交点。这个技巧在我第一次想到的时候，确实有“原来还能这么干”的感觉。

现在跑一下这一步的代码，你会看到盒子的左下到右上之间出现了一块金色的透镜区域。那块区域里任意一点都同时好于初始禀赋，这就是 A 和 B 愿意坐下来谈判的全部空间。

4. 进阶：契约曲线与竞争均衡可视化

4.1 契约曲线：切点轨迹的数值求解

无差异曲线画好了，下一步是找 A 和 B 的无差异曲线相切的点。经济学上，交换的最优分配满足两个消费者的边际替代率相等，即

MRS_A = MRS_B

对于 Cobb-Douglas 效用函数，边际替代率有解析形式

MRS_A = (pref_a / (1 - pref_a)) * (y / x) MRS_B = (pref_b / (1 - pref_b)) * ((H - y) / (W - x))

如果偏好参数简单，比如pref_a = pref_b = 0.5，可以直接解出y = x。但参数一变，解析解就不好看了，更通用的做法是数值求解。对盒子里每一个 X 坐标，用scipy.optimize.brentq找满足等式的 Y 坐标，把所有点连起来就是契约曲线。

def mrs_a(x, y): return (pref_a / (1 - pref_a)) * y / x def mrs_b(x, y): return (pref_b / (1 - pref_b)) * (H - y) / (W - x) xs_cc = np.linspace(0.01, W - 0.01, 200) ys_cc = [] for xv in xs_cc: f = lambda y: mrs_a(xv, y) - mrs_b(xv, y) yv = brentq(f, 0.01, H - 0.01) ys_cc.append(yv) ax.plot(xs_cc, ys_cc, 'green', lw=2.0, label='契约曲线')

这里用brentq而不是fsolve，是因为brentq是区间根求解，只要区间端点异号就一定能找到根，不需要像牛顿法那样猜初值。仔细观察函数f在区间两端的行为：在y接近 0 时，MRS_A趋近 0，MRS_B是个正数，所以f < 0；在y接近 H 时，MRS_A很大，MRS_B趋近 0，所以f > 0。有根，而且就在区间内部，brentq特别适合这种场景。

契约曲线的两个端点理论上是(0, 0)和(W, H)，也就是所有商品集中到其中一个人手里，但这两个点在数值上会出现分母为 0 的问题，所以用0.01避开了端点。画出图后肉眼看不出差别。

4.2 竞争均衡：价格怎么算出来

有了契约曲线，再往前走一步就是竞争均衡。竞争均衡的意思是：给定一组价格，A 在自己预算约束下最大化效用，B 也在自己预算约束下最大化效用，同时两个市场同时出清。

在这个模型里，商品 Y 的价格可以归一化为 1，商品 X 的相对价格记为p。对于 Cobb-Douglas 效用函数，消费者花在 X 上的预算比例正好等于偏好参数。所以 A 的需求为

x_A = pref_a * M_A / p y_A = (1 - pref_a) * M_A

其中M_A = omega_Ax * p + omega_Ay是 A 的总财富。B 的需求类似。

由于两种商品中只要一个市场出清，另一个市场会由瓦尔拉斯法则自动出清，我们只需要解 X 市场：

def excess_demand(p): M_A = omega_A[0] * p + omega_A[1] M_B = omega_B[0] * p + omega_B[1] x_A = pref_a * M_A / p x_B = pref_b * M_B / p return x_A + x_B - W p_star = fsolve(excess_demand, 1.0)[0]

用fsolve是因为这里只有一个未知数，而且函数形式相对平滑，给一个合理初值p=1.0就能收敛。解出来的均衡价格在当前的参数设置下是p = 1.0，这个数值正好对应两个消费者偏好参数互补的情形。均衡分配是 A 拿(4, 6)，B 拿(6, 4)。

你可以在这个结果上多看一眼：A 的禀赋是(2, 8)，均衡持有是(4, 6)，说明 A 用一部分 Y 换来了更多的 X；B 的禀赋是(8, 2)，均衡持有是(6, 4)，说明 B 用一部分 X 换来了更多的 Y。这是一个“各取所需”的直观例子。

4.3 把价格线和均衡点画进盒子

竞争均衡在图上由一个点表示，还要画一条经过禀赋点、斜率为-p的预算线。因为纵轴是 Y、横轴是 X，预算约束是

y = M_A - p * x

所以价格线就是经过 A 的禀赋点、斜率为-p的直线。

x_line = np.array([0.0, W]) y_line = omega_A[1] - p_star * (x_line - omega_A[0]) ax.plot(x_line, y_line, 'gray', ls=':', lw=1.5, label='预算线') x_eq = pref_a * (omega_A[0] * p_star + omega_A[1]) / p_star y_eq = (1 - pref_a) * (omega_A[0] * p_star + omega_A[1]) ax.plot(omega_A[0], omega_A[1], 'ko', ms=8, label='初始禀赋') ax.plot(x_eq, y_eq, 'r*', ms=18, label='竞争均衡') ax.legend(loc='upper left')

价格线两端可能会延伸出盒子，这是正常的，预算线本来就不需要完全待在盒子里。为了让画面干净，也可以用clip_on=True或直接把x_line的取值限制在(0, W)范围内，我这里直接画到矩形边界。

均衡点(4, 6)同时落在契约曲线上，也是两块无差异曲线族相切的位置，同时满足“消费者个体最优+市场出清”。三件事在一张图上全部看到，一般均衡的结论就变得非常直观。

4.4 进一步扩展的方向

画完基础版本之后，这套代码的扩展空间非常大。

最直接的扩展是换效用函数。比如 CES 效用函数U = (a * x^ρ + (1-a) * y^ρ)^(1/ρ)，只要改util_a和util_b两个函数，再把网格计算稍作调整即可。契约曲线部分由于mrs_a和mrs_b也需要跟着换，但数值求解框架完全不用动。

第二个扩展是做交互。用matplotlib.widgets.Slider加两个滑杆，分别控制pref_a和pref_b，拖动滑杆时重新计算效用矩阵并更新等高线。这个交互式埃奇沃思盒特别适合课堂上演示“偏好变化如何影响均衡位置”，学生拖动滑杆，图实时变化，理解马上就不一样。

第三个扩展是动画。用matplotlib.animation.FuncAnimation让禀赋点沿某条路径移动，观察帕累托改进区域的变化。动画更适合做教学视频或者课堂放映，静态图讲基本概念，动态图讲过程。

还有一个很实用的小工具：用plt.ginput在图上点任意一点，程序返回 A 和 B 各自拿到的商品束、效用以及是否落在帕累托改进区域内。我在课堂上用过一次，学生点几下就能理解“分配”在盒子里的含义，比单纯看图要深刻得多。

5. 常见问题、坑位排查与调参心得

5.1 最容易被绕晕的“B视角”坐标问题

写代码时最常见的错误，就是画 B 的无差异曲线时直接把X和Y带入 B 的效用函数。比如：

UB = util_b(X, Y) # 错！画出来的是 A 视角的曲线

这个错误画出来的结果非常迷惑：两条曲线族重叠在一起且方向一致，看起来像只有一族曲线。只要你想起来 B 在盒子里是“倒着看”的，要先把坐标翻转成W - X和H - Y，问题就迎刃而解。

我建议把翻转操作写成独立一行，并加上注释，方便自己之后回看，也方便别人读懂代码：

# 先算 B 在 A 坐标系中对应的消费束，再算效用 XB, YB = W - X, H - Y UB = util_b(XB, YB)

5.2 等高线不光滑与曲线密集问题

无差异曲线出现明显折线感，基本是网格分辨率太低。把 N 从 100 提到 500，折线感基本消失。如果还不行，检查一下contour的参数是否有linewidths过小的问题，放大导出时曲线太细也会显得不平整。

曲线太密集通常是levels设置的问题。等高线层数过多或者从很小的效用值开始画，会让原点附近出现一圈一圈的密集纹理。我常用的做法是：

levels = np.linspace(2.0, 8.0, 6)

而不是用np.arange(1, 10, 1)。前者控制范围和层数，后者在原点附近会画出很多无意义的低效用线。也可以用u_a0作为levels的起点，这样图形的第一圈曲线正好是“经过禀赋点的无差异曲线”，对接帕累托分析会很自然。

5.3 一点关于交互式展示的建议

如果只是个人看，静态图足够了；但如果要做课堂演示，我还是建议加一个交互方式。最简单的方案是matplotlib.widgets.Slider，把pref_a和pref_b挂到两个滑杆上。需要提醒的是，滑杆回调函数里不要每次都重新创建figure，而是更新已有等高线对象的坐标数据。

具体做法是：创建contour对象时不要把levels固定死，因为效用函数变化后，等高线对应的效用水平也应该跟着变。这时需要先清除旧等高线，再画新等高线。这一步如果处理不好，拖动滑杆时旧曲线和新曲线会叠在一起，画面一团糟。

5.4 问题速查表

这些坑都是我实际调试中踩过的，每一条都对应过真实的报错或丑陋的图片。尤其是帕累托区域那一条，当时我一度以为 Matplotlib 画不了这种不规则填充区域，后来发现只是布尔数组的处理方式不对，代码量直接少了几十行。

最后再分享一个实际体验

整套代码写完之后，我已经不满足于静态图了。现在备课时最常用的是交互版：把偏好参数做成滑杆，开讲之前先把图调到一个比较典型的位置，讲“禀赋和帕累托改进”时展示透镜区域，讲“一般均衡”时把价格线放出来。学生能直观看到竞争均衡点落在契约曲线上，比对着教材念定义有效率得多。

如果让我给刚接触埃奇沃思盒的同学一个建议：不要一上来就追求画得很复杂，先把矩形、两组无差异曲线、禀赋点这三样画出来，理解 B 的坐标翻转是怎么回事，再一步步叠加帕累托区域和契约曲线。代码可以慢慢扩展，但核心的那个坐标翻转逻辑，一定要在画第一张图时就彻底想清楚。这套脚本你拿去改一改，把效用函数换成你们教材里的形式，就能直接用在你的作业或者论文里了。