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做配电网研究这些年，最让我觉得值得写一篇文章分享的，就是空调负荷优化这一点。每年夏天，傍晚光伏出力开始往下掉，空调负荷却踩着高峰往上蹿，配电网的变压器和线路被压得喘不过气。而另一边，白天光照最好的时候，光伏又呼呼往电网里送电，出现倒送功率、电压越限。一个要削峰，一个要消纳，两件事拧在一起，很自然的思路就是让空调负荷动起来，跟着可再生出力的节奏走。这篇东西我就围绕“含可再生能源的配电网最佳空调负荷优化控制”，把问题建模、Matlab实现、算例分析和踩坑经验完整记录下来，给正在做类似课题的同学和工程师一个可以直接参考的路线。

1. 问题拆解与整体思路

1.1 空调负荷凭什么能参与配电网优化

一台家用空调的功率通常在1kW到3kW之间，单看不起眼，但一个台区几百台空调同时运行，聚合起来的功率可能就是几百千瓦甚至兆瓦级。更重要的是，空调本身就是带储能特性的负荷——房间墙体、室内空气和家具会储存热量，所以空调具备“短时关机但温度不会立刻失控”的能力。这种热惯性决定了空调负荷不是刚性的，它可以在一定范围内调整用电时机和用电功率，本质上就是一种灵活资源。

参与优化控制时，空调负荷大致有两种调节手段。一种是直接负荷控制，也就是我们常说的DLC，由调度端下发指令，对空调进行周期性启停或温度设定值调整。另一种是通过价格信号诱导，比如分时电价下用户自主调整温度。针对配电网层面的优化控制，我通常更倾向于温度设定值调节，因为它对用户舒适度的影响更可控，也更容易建模成连续变量或离散档位。

一个很关键的点是：空调负荷优化的价值必须放到“含可再生能源”的场景下才真正体现出来。光伏在午间大发，净负荷被压得很低，甚至出现负值，这时可以把空调温度调低一点，让空调多制冷，相当于把光伏电量用掉，转化为房间冷量存储起来。等到傍晚光伏迅速回落，负荷尖峰出现时，再把温度调高/关掉一批空调，利用房间冷量释放来削减峰值。这个“储能”过程完全不需要电池，代价只是房间温度在舒适区间内有变化。

1.2 含可再生能源配电网的核心矛盾

传统配电网的调控思路主要是“源随荷动”，但可再生能源接入后，电源侧变得不可控，净负荷曲线出现了剧烈的双向波动。我在处理实际算例时，最常见的两个现象就是：

• 午间光伏出力高而负荷低，馈线潮流倒送，节点电压升高，存在过电压风险；
• 傍晚光伏出力快速下降，负荷快速上升，主变和馈线过载，节点电压偏低。

如果只靠调节有载调压变压器和投切电容器，很难解决这种短时、反复的波动问题。储能当然可以，但投资成本高。而空调负荷分布广泛、响应速度快，通过优化控制可以起到类似储能的一部分作用。

但这里有个约束：配电网运行必须保证用户舒适度。空调负荷的优化不是“关掉就行”，而是要在温度允许偏差范围（比如设定温度26℃，允许上浮/下浮1℃，也就是温度维持在25~27℃之间）内寻找最佳控制策略。这个约束让问题从简单的“直接切除负荷”变成了一个有边界条件的最优控制问题。

所以我理解的“最佳空调负荷优化控制”，核心是找一个控制策略序列，在满足温度舒适度和配电网安全运行的前提下，最大化可再生能源消纳、最小化网损或者削峰效果，并且可落地到Matlab代码上。

1.3 优化目标与建模路线选择

建模之前，必须先想清楚目标函数是什么。不同目标下，最优控制策略差别很大：

我的经验是，第一版模型尽量先做单一目标，比如以“净负荷峰谷差最小”为目标，跑通之后再慢慢加权重。一上来就写多目标加权，很容易陷入参数调不过来、结果解释不清的窘境。

求解路线方面，如果只考虑温度设定值的离散档位，空调优化问题可以建模成混合整数线性规划（MILP），用解算器能拿到全局最优解。如果考虑连续温度调节，热动力学方程本身是线性差分方程，所以仍然可以保持线性结构。配电网潮流如果需要精确计算，可以用DistFlow方程，做二阶锥松弛（SOCP）后，问题就变成混合整数二阶锥规划（MISOCP），Matlab下可以用Yalmip建模，再交给Gurobi或Cplex求解。对于刚起步的同学，我建议先把潮流做成直流潮流或线性化的DistFlow，用MILP先跑通，再逐步提高精度，否则模型复杂度和调试难度同时上来，容易劝退。

2. 数学模型构建与关键约束

2.1 空调负荷热动力学模型（ETP模型）

单个房间的热过程，可以用等效热参数（ETP）模型描述。最常见是一阶等效模型，就像给房间画一个热容量和一个热阻构成的电路。一阶ETP模型的状态方程是：

T_in(t+1) = T_out - η·R·P·u(t) - [T_in(t) - T_out + η·R·P·u(t)]·exp(-Δt/(R·C))

这里：

• T_in：室内温度（℃）
• T_out：室外温度（℃）
• η：空凋能效比（EER，或COP）
• R：房间等效热阻（℃/kW）
• C：房间等效热容（kWh/℃）
• P：空调额定电功率（kW）
• u(t)：空调启停状态，0或1
• Δt：时间步长（h）

这个模型物理含义很直观：房间温度会朝“室外温度叠加空调制冷/制热等效温度”这个稳态值趋近，趋近的快慢由R·C时间常数决定。我一般把Δt设为15分钟或1小时。1小时步长模型简单，但空调启停控制粒度太粗，15分钟步长的模型能描述更精细的调节策略，缺点是优化变量会增加到4倍。

聚合空调时，不能简单把所有空调的R、C、P取平均就完事。更稳妥是保留多样性：温度初始值、时间常数、设备容量按一定分布抽样生成，然后聚合成若干个“空调群”，每个群内部参数接近，用“群聚合模型”参与优化。这样既能降低变量维数，又不会损失太多精度。

2.2 配电网潮流与可再生能源出力模型

配电网潮流我推荐用DistFlow方程。对于辐射状配电网，每条支路和节点满足：

P_ij - R_ij·L_ij = sum(P_jk) - P_j_inj Q_ij - X_ij·L_ij = sum(Q_jk) - Q_j_inj V_j^2 = V_i^2 - 2(R_ij·P_ij + X_ij·Q_ij) + (R_ij^2 + X_ij^2)·L_ij

其中L_ij = (P_ij²+Q_ij²)/V_i²是支路电流平方项。这个方程本身是二次的，一般做法是引入二阶锥松弛，把等式L_ij = (P_ij²+Q_ij²)/V_i²松弛为不等式，从而让整个问题变成可以高效求解的凸问题。算例规模不大时，也可以直接用matpower做交流潮流，把优化和潮流迭代耦合起来，不过那样求解速度会慢很多，调试也更麻烦。

可再生能源出力模型相对简单。光伏出力曲线可以用某典型日的小时数据，也可以加一定比例的正态扰动模拟预测误差：

P_pv(t) = P_pv_forecast(t) + ΔP(t)

风电类似。我建议在代码里单独写一个renewable_forecast.m，这样后续做鲁棒优化时，改起来很顺手。另外要强调的是，可再生能源出力的时间尺度和空调控制的时间尺度必须对齐，都用15分钟，否则末端控制执行的时候会跟实际出力对不上。

2.3 目标函数与约束条件详解

我常用的一个综合目标函数是：

min sum_t [ α·(P_net(t) - P_avg)² + β·sum_branches(I²(t)·R) + γ·sum_nodes(V(t) - V_ref)² + δ·sum_aircon(P_aircon_baseline - P_aircon(t)) ]

其中P_net是配电网根节点处与上级电网交换的功率，P_avg是全天平均交换功率，I²R是网损，V是节点电压偏差，最后一项是空调调节量惩罚，防止为了削峰过度牺牲用户舒适度。

约束条件大致分四类：

• 空调运行约束：室内温度必须在舒适区间内，比如[T_set - ΔT_max, T_set + ΔT_max]；空调功率有上下限；如果采用启停控制，启停变量是0/1整数；如果采用温度设定档位，档位也是离散整数。
• 配电网安全约束：节点电压上下限，通常取0.95~1.05pu；支路电流或视在功率不超过上限；根节点交换功率不超过主变容量。
• 可再生能源约束：光伏/风电出力不能超过预测值的上限；若允许弃光，则实际出力是可调的，且弃光量有上限或惩罚项。
• 用户舒适度约束：这是容易漏掉的关键点。如果目标函数里没有对空调功率偏离的惩罚，优化器可能把空调全关或者全开，虽然满足了电网目标，但室温会越界。所以温度约束和功率调节惩罚要同时存在，一“硬”一“软”搭配。

我一般会把温度舒适度设成硬约束（硬边界），把用户可感知的“温变速率”设成软约束（惩罚项）。因为就算温度没越界，如果半小时内从26℃掉到24.5℃，用户也会觉得不舒服。

3. Matlab代码实现架构

3.1 整体文件结构与数据准备

Matlab实现不必一开始就把所有代码写进一个大脚本。我推荐的文件结构是：

• main.m：主程序，负责全局配置、调用各模块、展示结果
• load_input_data.m：读取系统参数和预测数据
• build_aircon_model.m：生成空调群的ETP参数和初始状态
• build_distflow_model.m：构建配电网DistFlow约束矩阵
• formulate_optimization.m：用Yalmip定义变量、目标函数和约束
• solve_optimization.m：调用求解器，处理求解选项和结果解析
• run_validation.m：用matpower或直接计算验证解是否满足潮流约束
• plot_compare.m：绘制优化前后对比曲线

数据准备方面，配电网参数我建议直接用IEEE 33节点算例的公开数据，把线路阻抗、节点负荷改成带空调负荷的形式。可再生能源数据可以找一个典型日的光照强度，然后转换成光伏出力。整个过程一定不要忘记设置时间参数：total_period（比如96个15分钟时段）、dt = 0.25h。

3.2 核心代码模块讲解

先看build_aircon_model.m的核心结构：

function aircon = build_aircon_model() % 生成空调群参数，聚合N台空调 n_aircon = 200; % 空调台数 % 按分区抽样生成房间热阻、热容和空调功率 aircon.R = sort(18 + 6*rand(n_aircon,1)); % ℃/kW aircon.C = sort(0.5 + 0.2*rand(n_aircon,1)); % kWh/℃ aircon.P = 2.5 + 0.8*rand(n_aircon,1); % kW aircon.T0 = 26 + 0.3*randn(n_aircon,1); % 初始室温 aircon.eta = 3.2; % 能效比 aircon.Tset = 26; % 设定温度 aircon.dT = 1; % 允许波动范围±1℃ end

这里R和C的分布要合理，住宅房间典型热阻在10~30℃/kW，热容在0.3~0.8kWh/℃，别随手乱设，否则温度响应时间会异常。

formulate_optimization.m里，用Yalmip定义变量和约束：

% u是n_aircon×T维的0/1启停变量，或温度档位整数变量 u = binvar(n_aircon, T_full); T_in = sdpvar(n_aircon, T_full+1); % 室内温度 % 温度递推约束 for k = 1:n_aircon for t = 1:T_full T_in(k,t+1) == T_out(t) - aircon.eta*aircon.R(k)*aircon.P(k)*u(k,t) ... - (T_in(k,t) - T_out(t) + aircon.eta*aircon.R(k)*aircon.P(k)*u(k,t))*exp(-dt/(aircon.R(k)*aircon.C(k))); end end

如果温度全程写成变量，维度会很大。200台空调、96个时段，T_in就有19200个变量，u又有19200个二进制变量，这个规模对MILP来说还勉强能解，如果空调数量到1000台就如坐针毡。我的做法是采用“空调群聚合”策略：把200台空调按参数相似性聚类成10~20个群，每个群内的空调启停比例是连续变量，用“群内可中断比例”代替每台独立开关，这样变量数大幅下降。代价是精度稍低，但工程上完全够用。

DistFlow约束我通常不直接展开写成大矩阵，而是用Yalmip的循环赋值方式：

for i = 1:n_branch constraints = [constraints, P_branch(i) - R(i)*L_branch(i) == sum(P_child(i,:)) - P_inj(i)]; constraints = [constraints, V_child(i) <= V_parent(i) - 2*(R(i)*P_branch(i) + X(i)*Q_branch(i)) + (R(i)^2+X(i)^2)*L_branch(i)]; % 二阶锥松弛 constraints = [constraints, L_branch(i) >= (P_branch(i)^2 + Q_branch(i)^2)/V_parent(i)]; end

注意二阶锥约束在Yalmip里可以直接写成不等式，它会自动识别为SOC约束。

3.3 求解器选择与参数调试

我首选的求解组合是Yalmip + Gurobi。Gurobi对MILP和MISOCP的支持都很好，尤其是节点数到几万、变量几千时依然稳健。如果电脑没有Gurobi，可以用Cplex，或者退一步用MATLAB自带的intlinprog。不过intlinprog处理二次约束和SOCP的能力较弱，所以模型里的二阶锥约束就得丢掉，改回直流潮流或线性化潮流。

求解器选项值得花时间调整。我最常用的是：

ops = sdpsettings('solver','gurobi','verbose',2); ops.gurobi.MIPGap = 0.01; % 1%的最优间隙 ops.gurobi.TimeLimit = 300; % 限制5分钟 ops.gurobi.NumThreads = 4; % 多核

MIPGap不要设成0，一方面很难在有限时间达到，另一方面意义也不大，工程上1%~5%的间隙完全可接受。TimeLimit很重要，否则算例稍大就可能跑一整晚。调试阶段先用8个时段跑通，再扩展到24、96个时段，这样能快速发现模型错误。

4. 算例分解与效果分析

4.1 典型日场景设置

我用IEEE 33节点配电网做一个代表性算例。33节点系统包含32条支路，基座负荷约3.7MW，我在节点6和节点18接入两座光伏电站，装机分别800kW和600kW。空调负荷集中挂接在节点8、12、20及24，总共模拟了200台用户空调，聚合基线功率约300~400kW。时间范围选夏季典型日，从上午6点到次日6点，步长1小时，总共24个时段。光伏出力按典型晴朗日曲线，午间12~14点出力最大，又叠加一个出力缩放系数。空调需求高峰在傍晚18~20点，室外温度用一天的正弦曲线模拟，集中在30~38℃之间。

目标函数第一版设为：minimize sum((P_net(t)-P_net_avg)^2)，即最小化根节点交换功率的方差，这样直接抑制净负荷波动。约束包括室内温度24~28℃，节点电压0.95~1.05pu，支路电流上限参照原算例热稳定极限。求解用Gurobi，MIPGap=1%，TimeLimit=120s。

4.2 优化前后对比

无控制时，净负荷曲线呈现典型的“鸭子曲线”：午间光伏大发，根节点交换功率降到1.8MW左右；傍晚光伏降、负荷升，交换功率冲到4.5MW，峰谷差约2.7MW。

优化控制后，午间空调群温度设定值整体下调，空调多出力，净负荷低谷被“填高”到2.3MW左右；傍晚温度上调，部分空调停机，净负荷峰值被削到3.6MW左右。峰谷差降到1.3MW，削峰效果超过50%。节点电压方面，午间原本节点18电压达到1.07pu，优化后压到1.04pu以内；傍晚原本节点24电压最低0.94pu，优化后回升到0.97pu以上。

空调用户舒适度如何呢？优化后的室内温度曲线在午间会略低于设定值，比如从26℃降到25℃，傍晚略高于设定值，最高到27℃，始终在24~28℃区间内。这说明了柔性负荷的潜力：用户几乎无感知，电网却获得了可观的调节空间。

4.3 敏感性分析

我习惯把几个关键参数各跑一遍，看结果是否稳健：

• 空调渗透率从20%提升到80%，峰谷差削减率从12%提升到58%，但渗透率超过60%后收益增速放缓，原因是配电网其他安全约束开始占主导，再增加空调可调容量也发挥不出来。
• 允许温度波动范围从±0.5℃放宽到±2℃，可调功率容量提升了约70%，峰谷差削减率提升了约23个百分点。这说明舒适度区间是影响可调潜力的最大因素。
• 光伏预测误差从±5%增加到±20%时，如果采用确定性模型，午间电压越限风险明显上升。后来我改成了鲁棒优化的简单版本（用预测区间边界参与约束），虽然目标函数值比确定解略保守，但电压越限概率大幅下降。

这些敏感性分析能帮你向评审或领导解释项目价值，也更接近实际工程中的决策过程。

5. 常见问题与排查技巧实录

5.1 模型不收敛的排查清单

遇到求解器长时间不收敛，或者返回infeasible，别急着怀疑求解器，先按这个清单排查：

有一个很隐蔽的错误：我在空调群聚合时，对空气混合平均后直接求温度递推，结果完全忽略了个体差异，导致优化结果看似很好，但单台空调的温度却越界。后来改为保留群体内温度的上下包络作为约束，问题就正常了。

5.2 参数整定心得

ETP参数R和C是影响结果的第一要素。R和C没有实测值时，不要随便从网络上抄一组数，建议根据房间面积估算。我常用经验公式：R约为20~25℃/kW，C约为0.4~0.7kWh/℃，时间常数τ=R·C约在8~15小时之间。τ太小，房间保温差，空调一停温度立刻反弹，优化空间小；τ太大，温度对空调启停不敏感，控制效果也不明显。

目标函数权重α、β、γ的比例调起来很费时间。我建议先固定β和γ为0，纯跑削峰目标，得到功率曲线之后，再把网损和电压偏差的权重从小往大加。注意权重跨数量级时，比如α=1，β=1000，V=0.01，Yalmip自动归一化并不总是智能，需要你手调数量级。

另一个经验是Big-M取值。在很多约束中要引入启停的辅助变量，需要一个足够大的M。如果M太大，Gurobi求解数值会变差；M太小，又会错误地激活或钳制约束。我的方式是先计算所有变量可能的最大范围，比如支路功率不超过5MW，那么M取10就够了，不要为了省事写1e6。

5.3 代码实现中的几个隐藏坑

第一，Matlab的Yalmip在定义二进制变量时，如果直接使用binvar(n,T)，后续矩阵运算很容易因为维数不一致报错。我建议保持所有的变量名称带明确后缀，比如u_open、P_aircon_agg、T_room，不要复用变量名。否则Yalmip不会报错，但会把新变量悄悄覆盖掉，极端情况下结果完全错误却找不到原因。

第二，时间序列索引偏移。温度递推时，T_in(k,1)是初始状态，T_in(k,2)是第一个时段结束的温度。约束里如果把t=1时的温度错误写成T_in(k,1)，整个系统移位一个时段，结果看起来也合理，但物理意义是不对的。排查时我会打印前几个时段的温度值与递推结果核对。

第三，光伏出力数据的归一化。光伏出力原始数据可能是kW，而配电网负荷单位是kW，但节点基值可能用了MVA。DistFlow方程里的所有量纲必须统一，否则电压计算结果会出现0.001量级的诡异偏差。我的习惯是所有数据进入优化函数之前，全部转换为标幺值（基准功率1MVA、基准电压12.66kV），输出结果再转回有名值。

第四，关于“最佳”的误解。很多同学把“最佳”理解成单个空调的温度设定点，最终输出一个全局最优温度曲线。实际上工程上更常用是“群组调节指令”，也就是对每群空调发布一个温度调节量或者最大允许功率百分比，而不是管每台空调的启停。所以代码实现时，我更推荐输出“空调群功率调节比例”，再在群内通过轮询启停实现，这样既保护了用户私密性，又降低了通信要求。

结尾分享一下我个人的操作体会

我最初做这个课题时，一上来就把目标函数写成网损、电压、舒适度、弃光四项加权，空调用了单台模型，加上二阶锥潮流，整个模型维度非常恐怖。Gurobi跑了两小时没出结果，当时差点崩溃。后来我退回到“单目标+聚合空调+直流潮流”，两天内就把整个流程跑通了，再逐步加回精度，效果反而更好。所以我特别建议：第一版代码务必追求“能跑通、能出图、能解释”，不要追求模型面面俱到。

另外，优化控制落地到实际系统时，最容易被忽略的是通信时延和用户行为不确定性。模型求出来的“最佳”控制序列，在实际执行时可能因为用户手动调温度、空调进入除湿模式等原因失效。一个务实的做法是采用滚动时域控制：每15分钟重新求解未来1小时的优化问题，只执行当前时段的指令。虽然代码里需要额外写一个循环调用求解器，但这个改动能让控制效果非常稳定，这一点在我后期做半实物仿真时体会特别深。

如果你正准备复现这个题目，我建议从IEEE 33节点加上200台空调聚合这个搭配开始，先把优化后的峰谷差图跑出来，再研究电压和消纳效果。代码写完之后，一定要用matpower验证一下你优化结果对应的是否真正满足交流潮流约束。这一步能帮你发现绝大多数建模错误。希望这份经验能让你少走一些弯路。