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目录

前言：

一，红⿊树的概念

思考：红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍

红⿊树的效率：

二，红黑树与AVL树对比

三，红黑树的实现

红⿊树的结构

红黑树的插入

情况一：插入的是根节点

情况二：变色（u存在且颜色为红色时）

情况三：单旋+变色（u为null（不存在）或颜色为黑色时）

情况四：双旋+变色（u为null（不存在）或颜色为黑色时）

红黑树的插入代码实现

红⿊树的查找

红⿊树的验证

红黑树的删除

结语：

前言：

二叉搜索树可以快速完成查找，但在极端插入顺序下会退化成单链表，查询效率从 \(O(\log N)\) 退化至 (O(N))。为解决普通 BST 的失衡问题，人们设计出自平衡二叉树，红黑树就是其中应用极广的一种。

红黑树并非依靠严格平衡，而是通过节点颜色规则与旋转操作，约束最长路径不超过最短路径的两倍，把查找、插入、删除稳定维持在 (O(log N))。它不追求绝对平衡，减少了旋转开销，在工程中大量使用，C++ 的std::map、std::set底层就是红黑树。

本文将从红黑树的五条核心性质入手，拆解节点变色、左旋与右旋的底层逻辑，重点分析插入场景下的四种修复 Case，并提供可编译的 C++ 完整代码，一步步理解红黑树的自平衡机制。

AVL树：C++高阶数据结构——AVL树-CSDN博客

一，红⿊树的概念

红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊。 通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路 径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。

每个结点不是红⾊就是⿊⾊。

根结点是⿊⾊的。

如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的 红⾊结点。

对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点。

下面是一个红黑树：

它有9条路径，每条路径的黑色结点数量相同，为2，且没有红色结点与红色结点相连接的情况，黑色为根结点，满足红黑树的条件。

注意：路径是到null结点的路径，如下图：

所以有9条路径。

注：这里的NIL 哨兵（外部结点），不是存储业务数据的普通叶子。理论上依靠 NIL 统一路径边界；但实际编码不会实例化 NIL 对象，直接用空指针NULL来充当 NIL,这个看图更好理解。

这个NIL其实在日常时候不需要怎么管，把NIL哨兵理解成NULL节点就可以了，每条路径以NULL为结束（NIL只要有个概念就行）。

上面这些均为红黑树。

思考：红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍

首先，我们通过第五点（黑高相等）和第三点NIL全为黑色，我们在推导的时候可以不用考虑NIL节点对路径的影响，只需要考虑我们看得见的节点就可以了。

由规则 5（黑高相等）可知，从根到达 NIL 哨兵的每一条路径，黑色结点数量完全相同，这个数值记作bh，也就是树的黑高。这里的bh我们不包含NIL节点。

极端场景下最短的数据结点路径，整条路径全部由黑色结点构成。

根据规则 4，树中不允许出现连续红色结点。因此路径上红色结点最多只能与黑色结点交替出现，极端最长路径就是黑、红交替排布。由于黑色结点总数固定为bh（不包含NIL节点）交替排布（黑红黑红）下得到的最长路径就是2*bh（不包含NIL节点）。

附：包含NIL节点的情况下，最短路径是bh+1，最长路径就是2*bh+1

注：全黑的最短路径、一黑一红交替的最长路径，这两种极端情况并不会在每一棵红黑树中同时出现。设任意一条从根出发到 NIL 的路径中，数据结点的总个数为 h（不包含NIL节点），则满足不等式：bh<= h <=2*bh

红⿊树的效率：

假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度由此推出也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径，那么时间复杂度还是O(logN)。

红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜 ⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红 ⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

二，红黑树与AVL树对比

平衡条件

AVL 树属于强平衡二叉搜索树，依靠平衡因子约束，保证左右子树高度差不超过 1；
红黑树是弱平衡二叉搜索树，不严格约束高度差，依靠四条颜色规则，限制最长路径不超过最短路径 2 倍。
性能差异

查询：AVL 树树高更低，查询理论略快；但两者时间复杂度都是𝑂(𝑙𝑜𝑔𝑁)。
插入：AVL 插入最多 1 次旋转；红黑树插入最多 2 次旋转，很多场景仅变色无需旋转。
删除：这是两者最核心区别，AVL 删除最坏会触发𝑂(𝑙𝑜𝑔𝑁)次旋转；红黑树删除最多 3 次旋转，写操作代价更小。
空间与工程使用

两者结点额外开销很小：AVL 需要保存平衡因子，红黑树只需要保存颜色标记。

AVL 更适合读多写极少的场景；红黑树读写综合表现更好，C++ STL 的 map、set 底层选用红黑树。

三，红黑树的实现

红⿊树的结构

#pragma once // 枚举值表⽰颜⾊ enum Colour { RED, BLACK }; // 这⾥我们默认按key / value结构实现 template<class K, class V> struct RBTreeNode { // 这⾥更新控制平衡也要加⼊ parent 指针 pair<K, V> _kv; RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) { } }; template<class K, class V> class RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: private: Node* _root = nullptr; };

红黑树的插入

红黑树插入一个值的大概过程

1，插入一个值，先按照二叉搜索树的规则完成插入，插入完成后再校验是否满足红黑树规则。

2，如果是空树插入：新增节点作为根节点，根节点需要设置为黑色。 如果是非空树插入：新增节点默认是红色。倘若新增节点为黑色，会直接破坏「每条路径黑色节点数量相等」这规则 ，黑高的失衡很难修复，因此新节点必须为红色。

3，插入完成，如果存在父结点且父节点p是黑色：没有违反任何红黑树规则，插入直接结束，无需修复。

4，如果父节点p是红色：此时出现连续的红色节点，违反规则 。 由于p是红色，那么祖父节点g一定是黑色。 此时c(cur 当前节点) 红、p(parent 父节点) 红、g(grandfather 祖父节点) 黑，三者颜色固定。后续处理的关键取决于叔叔节点u(uncle，父节点的兄弟) 的颜色，根据u的不同情况分支处理。

c(cur)：当前需要处理的节点（插入的点）。

p(parent)：c 的父节点。

g(grandfather)：c 的祖父节点。

u(uncle)：g 的孩子，p 的兄弟，c 的叔叔节点。

红黑树的插入，当插入red结点时，parent是red结点，有四种情况，下面进行讲解。

情况一：插入的是根节点

这个情况非常的简单，开辟需要新空间插入进去，将color变为black就完成了。

情况二：变色（u存在且颜色为红色时）

情况二的操作流程：

parent与cur是red，与规则冲突了，所以看uncle是什么color，如果uncle的color是red，就进行下面的操作：

将父节点parent、叔叔节点uncie修改为黑色；祖父节点grandfather修改为红色，然后将grandfather作为新的cur结点，继续向上迭代修复。

分析：因为parent和uncle都是红⾊，grandfather是⿊⾊，把parent和uncle变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，grandfather再变红，相 当于保持grandfather所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了cur和parent续红⾊结点的问题，需要继续往上更新 是因为，grandfather是红⾊，如果grandfather的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果grandfather的⽗亲是⿊⾊，则处理结束 了；如果grandfather就是整棵树的根，再把grandfather变回⿊⾊。

跟AVL树类似，上图我们展⽰了⼀种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。

下图将以上类似的处理进⾏了抽象表达，d/e/f代表每条路径拥有hb个⿊⾊结点的⼦树，a/b代表每 条路径拥有hb-1个⿊⾊结点的根为红的⼦树，hb>=0。 （hb为black结点的高度）

hb=0的情况，如下：

hb=1的情况，如下：

hb=2的情况，如下：

这⾥组合 情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，多么复杂，处理⽅式⼀样的，变⾊再 继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可。

情况三：单旋+变色（u为null（不存在）或颜色为黑色时）

注意：

uncle为null或者color为black并不代表一定走情况三 单旋+变色，也可以走情况四。

当u不存在时：cur一定是本次新插入的红色结点。新插入的节点是红结点，不会影响原树的黑结点高度，只会产生双红情况。 如果cur不是新插入节点，且uncle不存在的，那么原树的黑结点高度就是不相等的，因为cur是进行变色向上迭代修复出来的，cur这个位置本来是黑色，那么会与规则相冲突，hb是不相同的，所以原本不是红黑树，所以cur是新插入的红色的结点。

当uncle存在且为黑色时：c绝对不是本次新插入节点。c原先就存在，本来是黑色；下层子树插入节点触发更新逻辑，向上更新到 c 节点，把 c 节点变为了红色。只有这样才能够满足黑高的规则。

情况三的操作流程：

单旋是与AVL树一样进行单旋的，单旋不会可以看看前面的AVL部分。

根据具体情况更新红黑树结点颜色（保证hb相等）——只记结论就是g变红，p变黑

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则 c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上 来的。

分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解 决问题，需要旋转+变⾊。

这里的单旋一样有左单旋与右单旋。

情况四：双旋+变色（u为null（不存在）或颜色为黑色时）

虽然情况四与情况三的条件一样，但是有很明显的差别的，单旋像一条直线，二双旋像一个拐。

上图是AVL树的图，如果对这种拐进行单旋的话是无法完成的，所以需要双旋来解决。

情况四的处理流程：

双旋就是两个单旋，先对局部进行处理，将拐变成一个直线，如下图，来源于AVL树：

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则 c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上 来的。

分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解 决问题，需要旋转+变⾊。

红黑树的插入代码实现

#pragma once #include<iostream> using namespace std; // 枚举值表⽰颜⾊ enum Colour { RED, BLACK }; // 这⾥我们默认按key / value结构实现 template<class K, class V> struct RBTreeNode { // 这⾥更新控制平衡也要加⼊parent指针 pair<K, V> _kv; RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) { } }; template<class K, class V> class RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv); private: Node* _root = nullptr; }; template<class K,class V> bool RBTree<K, V>::Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(kv); cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } while (parent && parent->_col == RED) { Node* grandfather = parent->_parent; if (parent == grandfather->_left) { Node* uncle = grandfather->_right; if (uncle && uncle->_col == RED) { parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; cur = grandfather; parent=cur->_parent； } else { //单旋 if (cur == parent->_left) { // g // p u // c RotateR(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } else//双旋 { // g // p u // c RotateL(parent); RotateR(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } else { // g // u p Node* uncle = grandfather->_left; // 叔叔存在且为红，-》变色即可 if (uncle && uncle->_col == RED) { parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; // 继续往上处理 cur = grandfather; parent = cur->_parent; } else // 叔叔不存在，或者存在且为黑 { // 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑 // 旋转+变色 // g // u p // c if (cur == parent->_right) { RotateL(grandfather); parent->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } else { RotateR(parent); RotateL(grandfather); cur->_col = BLACK; grandfather->_col = RED; } break; } } } _root->_col = BLACK; return true; }

旋转没有在里面，可以去AVL树中寻找。

红⿊树的查找

红黑树的查找与前面学习的树是一样的，不过多赘叙了。

template<class K, class V> typename RBTree<K, V>::Node* RBTree<K, V>::find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < key) cur = cur->_right; else if (cur->_kv.first > key) cur = cur->_left; else return cur; } return nullptr; }

红⿊树的验证

这⾥获取最⻓路径和最短路径，检查最⻓路径不超过最短路径的2倍是不可⾏的，因为就算满⾜这个条 件，红⿊树也可能颜⾊不满⾜规则，当前暂时没出问题，后续继续插⼊还是会出问题的。所以我们还 是去检查4点规则，满⾜这4点规则，⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。

1.规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。

2.规则2直接检查根即可

3.规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检 查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。

4.规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到 ⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点 数量作为参考值，依次⽐较即可。

template<class K,class V> bool RBTree<K, V>::IsBalance() { if (_root == nullptr) return true; if (_root->_col == RED) return false; // 参考值 int refNum = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == BLACK) { ++refNum; } cur = cur->_left; } return Check(_root, 0, refNum); } template<class K, class V> bool RBTree<K,V>::Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) { if (root == nullptr) { // 前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了 //cout << blackNum << endl; if (refNum != blackNum) { cout << "存在⿊⾊结点的数量不相等的路径" << endl; return false; } return true; } // 检查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲就⽅便多了 if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) { cout << root->_kv.first << "存在连续的红⾊结点" << endl; return false; } if (root->_col == BLACK) { blackNum++; } return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum); }

红黑树的删除

红黑树删除逻辑复杂度远高于插入，且面试一般只要求口述删除各个场景，很少要求完整手写实现，本文就不再实现删除部分。

结语：

希望可以给你提供帮助，谢谢观看！！！

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