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旋转、平移、缩放……这些"变换"都能用矩阵表示。本章讲透"矩阵就是变换"这个核心思想，这是理解 Eigen 几何模块（第 32 章）的钥匙。

21.1 矩阵 = 变换

一个惊人的事实：矩阵乘法 = 对向量做变换。

一个向量 v 被矩阵 A 乘一下（A·v），就变成了另一个向量——相当于对 v 做了一次"变换"（移动、旋转、缩放、扭曲……）。

v ──(A 作用)──→ A·v

所以"学矩阵"其实是"学变换"。下面看几种基本变换。

21.2 缩放

对角矩阵表示缩放：把坐标各分量分别放大。

[ 2 0 ] [ x ] [ 2x ] [ 0 3 ] · [ y ] = [ 3y ]

这个矩阵把 x 方向放大 2 倍，y 方向放大 3 倍。

y | · (2x, 3y) | / |/ · (x, y) └────────── x

21.3 旋转

二维平面绕原点旋转角度 θ，用旋转矩阵：

R(θ) = [ cosθ -sinθ ] [ sinθ cosθ ]

绕 Z 轴旋转 θ（三维里最常用）：

Rz(θ) = [ cosθ -sinθ 0 ] [ sinθ cosθ 0 ] [ 0 0 1 ]

例：绕 Z 轴转 90°（θ=90°，cos=0，sin=1）：

[ 0 -1 0 ] [ 1 ] [ 0 ] [ 1 0 0 ] · [ 0 ] = [ 1 ] ← X 轴上的点 (1,0,0) 转到了 Y 轴 (0,1,0) [ 0 0 1 ] [ 0 ] [ 0 ]

这就是"旋转矩阵"——用矩阵乘法实现旋转。

21.4 平移（需要齐次坐标）

平移（整体移动）是"加上一个向量"，不是线性变换，普通 3×3 矩阵表达不了。于是引入齐次坐标：多加一维。

二维点 (x, y) 写成齐次坐标 (x, y, 1)，用 3×3 矩阵做平移：

[ 1 0 tx ] [ x ] [ x + tx ] [ 0 1 ty ] [ y ] = [ y + ty ] [ 0 0 1 ] [ 1 ] [ 1 ]

三维点 (x, y, z) 写成 (x, y, z, 1)，用 4×4 矩阵做平移：

[ 1 0 0 tx ] [ x ] [ x + tx ] [ 0 1 0 ty ] [ y ] = [ y + ty ] [ 0 0 1 tz ] [ z ] [ z + tz ] [ 0 0 0 1 ] [ 1 ] [ 1 ]

这就是为什么 3D 图形里到处都是4×4 矩阵——它能把旋转、缩放、平移统一表示。

21.5 组合变换：矩阵相乘 = 变换叠加

想"先旋转再平移"？把两个变换矩阵相乘，就得到"复合变换"：

先做 B 再做 A = A · B （注意顺序：从右往左执行）

因为 (A·B)·v = A·(B·v)：先对 v 做 B，再对结果做 A。

矩阵乘法的意义之一，就是"变换的组合"。

21.6 刚体变换：保持形状的变换

刚体变换= 旋转 + 平移。它不改变物体的形状、大小、角度（只改变位置和朝向）。

• 刚体的运动（机器人的移动、相机的运动）都是刚体变换
• 用 Eigen 的Isometry3d表示（第 32 章）

21.7 在 Eigen 里做变换

先睹为快（第 32 章详解）：

#include<Eigen/Dense>#include<Eigen/Geometry>#include<iostream>intmain(){constdoublePI=3.14159265358979;// 绕 Z 轴旋转 90°Eigen::AngleAxisdrot(PI/2,Eigen::Vector3d::UnitZ());Eigen::Matrix3d R=rot.toRotationMatrix();Eigen::Vector3dp(1,0,0);// X 轴上的点Eigen::Vector3d p2=R*p;// 旋转std::cout<<"旋转后 = "<<p2.transpose()<<std::endl;// (0,1,0)return0;}

实际输出：

旋转后 = 1.61554e-15 1 0

别被1.61554e-15吓到：数学上这个数是 0，但计算机用二进制表示π/2的余弦时不可能精确为 0，于是留下了 1e-15 量级的"浮点残渣"。判断两个浮点数是否相等，永远用"差值小于某个容差"（如 1e-9），不要用==。第 29、30、36 章的残差、行列式都会出现这种现象。

21.8 小结

• 矩阵乘法 = 对向量做变换。
• 缩放：对角矩阵；旋转：旋转矩阵；平移：齐次坐标 + 4×4 矩阵。
• 矩阵相乘 = 变换叠加（从右往左）。
• 刚体变换 = 旋转 + 平移，用Isometry3d表示。

🎉 第二部分完成！

你现在掌握了理解 Eigen 所需的全部线性代数基础：向量、矩阵、矩阵运算、方程组、行列式、逆矩阵、特征值、几何变换。

第三部分，正式进入 Eigen 库——你会发现前面学的数学和 C++ 全都用上了。

练习题

1. 写出绕 Z 轴旋转 90° 的旋转矩阵，用它旋转点 (1,0,0)。
2. 写出把点 (x,y,z) 平移 (1,2,3) 的 4×4 齐次矩阵。
3. 解释：为什么"先旋转后平移"和"先平移后旋转"结果不同。
4. 用自己的话解释"矩阵就是变换"。
5. 什么是刚体变换？举一个实际例子。