企业官网建设流程全解析

搞预测的这些年，我有个深有体会的结论：最怕的不是数据太少，而是数据“看起来有趋势，实际上到处是坑”。你用最简单的GM(1,1)去拟合，它能给你一条很丝滑的指数曲线，但碰上真实数据里的突然下挫、季节性回弹，预测值就像在走钢丝，一个波峰就直接击穿你的置信区间。灰色马尔科夫模型就是为这种场景准备的：灰色GM(1,1)负责把趋势骨架搭出来，马尔科夫链负责吃掉残差里的波动规律，两头各管一段，组合起来对付“有趋势、有波动”的小样本数据特别能打。

这篇我来完整拆解这套方法，从模型思路、数学推导、Matlab代码实现到案例实测和踩坑记录都会讲到。适合正在做课设、毕设，或者日常需要做短期指标预测（比如销量、用电量、游客量、故障数）的读者。你不需要懂很深的随机过程，也不需要背公式，跟着代码走一遍就能用起来。

1. 为什么要把灰色模型和马尔科夫链放在一起

1.1 单纯用GM(1,1)会栽在哪

灰色模型的理论基础是灰色系统理论，核心假设是“部分信息已知、部分信息未知”。GM(1,1)本质上是对原始数据做累加生成，把一组参差不齐的数列变成一条近似指数增长的曲线，然后用一阶线性微分方程去拟合。对小样本、单调增长的数据，这个思路非常漂亮，四五个点就能建模。

但问题也出在这个“近似指数”上。一旦数据里出现明显的谷底或峰值，GM(1,1)在拟合阶段就会把极值“抹平”。比如我做过用电量预测，某年因为气温异常导致夏季负荷骤增，GM拟合值在这年附近明显落后于实际值；到了下一年气温回归正常，GM又继续按指数上涨，把实际值远远抛在后面。这不是代码bug，而是模型特性决定的：它只认趋势，不认波动。

更有意思的是，GM的残差往往不是随机噪声，而是成团出现的。连续两三个点偏正，紧接着又连续两三个点偏负。这些规律被丢弃非常可惜，而马尔科夫链恰好是处理“状态转移规律”的经典工具。

1.2 马尔科夫链补的究竟是什么

马尔科夫链的核心性质叫无后效性：未来的状态只与当前状态有关，与更早的历史无关。听起来好像限制很大，但在工程里恰恰是一种合理的简化。我不需要知道前五个月的数据，只要知道残差目前落在“偏高区间”还是“偏低区间”，就能查表知道下一步最可能跑到哪个区间。

套用到GM残差修正上，思路就非常清晰了：

1. 先用GM算出历史段的拟合值，计算每个点的相对误差；
2. 把相对误差按大小划分成若干个状态区间，比如“严重低估”“略微低估”“略微高估”“严重高估”；
3. 统计状态之间的转移概率，得到一个转移矩阵；
4. 对未来的预测点，从当前残差状态出发，按最大转移概率找到未来最可能落入的状态；
5. 用该状态的残差均值反过来修正GM的未来预测值。

一句话总结就是：GM给你一个骨架，马尔科夫负责往骨架上补肉。单看GM，预测值是一条单调曲线；组合之后，曲线会根据历史波动特征自动“拱起来”或“压下去”。

1.3 这套组合适合用在哪些地方

不是所有数据都适合灰色马尔科夫，我整理了几个典型场景：

最推荐的使用窗口是样本量10到30个、预测步数1到3步。样本再少，GM撑不起趋势；样本再多且周期性强，ARIMA或季节分解效果更好；预测步数一旦超过5步，马尔科夫修正的误差会同步累积，翻车概率明显上升。

2. 灰色GM(1,1)建模全流程，先把参数吃透

2.1 级比检验：数据适不适合GM，先过这关

所有用GM的人第一步都该做级比检验。级比的定义是：

sigma(k) = x0(k-1) / x0(k)

如果序列长度为n，那么级比理论可容区间是：

[ exp(-2/(n+1)), exp(2/(n+1)) ]

只有当全部级比都落在区间内，GM(1,1)才有意义。我用上面的用电量数据算过：n=8时区间约为[0.8007, 1.2488]，八年的相邻级比基本都落在里面，比如35.2/38.7≈0.9096，50.6/53.1≈0.9529。这说明数据适合建模。

如果检验不通过，最常用的补救是平移变换，给原始序列整体加一个常数c，让它变得更“平滑”，建模完成后再把c减回去。注意c不能太小，一般取数据绝对值的两倍左右起步。取对数或开方也可以，但还原时麻烦，我很少用。

2.2 累加生成和紧邻均值到底在干什么

GM(1,1)的关键操作是累加生成。假设原始序列是x0，累加后是x1：

x1(k) = sum(x0(1:k))

累加的意义在于，即使原始序列波动剧烈，累加序列通常也会变成一条单调递增的曲线，这样微分方程拟合才有基础。Matlab里一行代码就能实现：

x1 = cumsum(x0);

接下来构造紧邻均值序列z1(z1(k) = 0.5x1(k) + 0.5x1(k-1))。这个序列是为了把微分方程离散化：连续模型里的导数，在离散点上用相邻值的平均去逼近。它起到桥梁作用，没有这一步，微分方程和离散数据没法对接。

z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2;

2.3 最小二乘求解，得到时间响应式

GM(1,1)的白化方程是：

dx1/dt + a*x1 = u

离散化后对应：

x0(k) = -a*z1(k) + u

把所有训练点写成矩阵形式就是Y = B * [a, u]^T。其中B的第一列是-z1，第二列全为1，Y是原始序列从第二个点开始的列向量。最小二乘解为：

[a, u]^T = (B'*B) \ (B'*Y)

得到参数后，累加序列的时间响应式为：

x1_hat(k+1) = (x0(1) - u/a) * exp(-a*k) + u/a

最后累减还原得到预测值：

x0_hat(k+1) = x1_hat(k+1) - x1_hat(k)

这里有个经验参数要记住：当-a小于等于0.3时，模型可以做中长期外推；-a在0.3到0.5之间只建议做短期预测；超过0.5说明数据本身不适合用GM，即使级比检验勉强通过，外推几步误差也会失控。我见过有人拿到-a=0.7的模型硬要预测后面八个点，结果预测值直接变成负的，这种属于违背基本使用边界。

2.4 精度检验：除了误差均值，更要看后验差

常规的误差指标是MAPE平均绝对百分比误差和RMSE均方根误差。灰色预测里还常用两个后验指标：后验差比值C和小误差概率P。

S1是原始序列标准差，S2是残差标准差，C=S2/S1。P的定义是残差与其均值的偏差绝对值小于0.6745*S1的概率。等级划分如下：

我在实际项目里，MAPE低于10%只是及格线，后验差比值C要小于0.35才敢拿出去给业务方。而更重要的是，这些残差不能直接扔掉，它们正是马尔科夫修正的原料。

3. 马尔科夫修正的四个核心细节

3.1 相对误差比绝对残差靠谱

计算残差时，我强烈建议用相对误差而不是绝对误差。原因很简单，绝对误差在不同量级的数据上没有可比性。比如用电量在100亿和1000亿两个量级时，同样的10亿误差意义完全不同。相对误差公式：

re(k) = (x0(k) - x0_hat(k)) / x0(k) * 100%

这里要特别说明一个细节：GM拟合的第一个点永远是原始第一个点，残差恒等于0，没有统计价值。所以计算残差序列时我会从第二个点开始。

状态划分最省事的方法，是把相对误差的最小值到最大值区间均匀等分成s份。比如最小-8.7%，最大6.3%，s=3，那么三个状态边界就是[-8.7, -3.7, 1.3, 6.3]。每个历史拟合点的相对误差落入哪个区间，就属于哪个状态。状态个数选择上有个朴素原则：8-15个训练样本用3档足够，15-30个可以考虑4到5档，再多容易让转移矩阵稀疏到不可用。

3.2 状态转移矩阵的构造和使用

有了状态序列之后，统计相邻两个状态之间的转移次数。比如状态序列是[3, 1, 1, 2, 1, 3, 2]，那么转移对依次是(3->1)、(1->1)、(1->2)、(2->1)、(1->3)、(3->2)。每行归一化就得到转移概率矩阵P。P(i,j)表示当前处于状态i时，下一步跳转到状态j的概率。

构造过程看似简单，但有两个容易踩的坑：

第一个是状态序列长度太短。训练样本8个时，残差状态序列只有7个点，有效转移次数只有6次。三状态的矩阵9个格子只有6次投票，很多格子概率是0，这很正常，但是解释时要小心。第二个是空行问题，如果某个状态在历史中从未作为“起点”出现，转移矩阵对应行全为0。代码里我会做一个兜底：全零行直接用均匀分布填充，并在注释里提示检查状态划分是否合理。

预测未来状态时，我采用最大概率路径：从最后一个已知训练点的残差状态出发，查转移矩阵取当前行最大概率对应的下一状态，作为第一个未来点的预测状态；然后用这个状态继续查下一行，得到第二个未来点的预测状态。这种极简做法能保证结果可复现，也符合马尔科夫链“一次只依赖当前状态”的基本逻辑。

3.3 修正公式是怎么推导出来的

这一步是整个模型的点睛之笔。相对误差定义为实际值相对GM预测值的偏差率，那么有：

re = (actual - forecast) / actual * 100%

整理之后能得到：

actual = forecast / (1 - re/100)

所以修正系数就是1/(1-re/100)。如果re>0，说明GM预测偏低，修正系数大于1，预测值向上抬；如果re<0，说明GM预测偏高，修正系数小于1，预测值往下压。

举个例子，GM预测2022年为55.6，马尔科夫链判定该预测点最可能落入状态1，而状态1的历史残差均值是-5.2%，说明GM历史上在这个状态下普遍偏高。修正系数=1/(1-(-0.052))≈0.95，修正预测值就是55.6*0.95≈52.8，恰好非常接近真实值52.4。

为了防止某些数据中状态残差均值过大导致修正失控，我会给修正系数加限幅：

corr_factor = max(corr_factor, 0.85); corr_factor = min(corr_factor, 1.15);

这个范围是个经验值，数据波动特别大的场景可以放宽到0.8到1.2，但超过这个幅度基本说明GM和马尔科夫的组合已经不适合当前数据。

3.4 修正幅度和状态数量的经验判断

我自己调参的体会是：状态数量宁少勿多。有人喜欢把残差分成五六档，觉得越细越精确，但小样本下转移矩阵会变得极其稀疏，随机因素被放大。三档往往比五档更稳，因为状态合并后转移概率的统计置信度更高。

另外一个容易被忽视的点是，如果数据本身几乎无波动，马尔科夫修正反而有害。GM拟合残差如果都在±1%以内，状态均值也都很接近0，乘上修正系数属于“画蛇添足”。所以我在代码里加了一个判断：当残差极差小于某个阈值时，直接返回GM的原始预测结果。

4. 手写Matlab代码，灰色马尔科夫预测一次跑通

4.1 代码整体框架

整个实现分成三个文件更清楚：

• gm11_predict.m：GM(1,1)建模核心函数，输入训练序列和预测步数，输出拟合值、预测值和参数；
• markov_correct.m：马尔科夫修正函数，输入训练期真实值、GM拟合值和GM未来预测值，输出修正后预测及转移矩阵；
• demo_gray_markov.m：主脚本，负责数据组织、调用两个函数、打印结果和绘图。

之所以拆成函数，是因为实际项目中数据会换，但建模流程不变。你只需要把主脚本里的x0_all替换成自己的数据，就能一键运行。

4.2 GM(1,1)核心函数实现

function gm = gm11_predict(x0, p) % gm11_predict GM(1,1)建模与预测 % 输入: % x0 - 训练原始序列，行向量 % p - 预测步数 % 输出: % gm.x0_hat - 还原序列，前length(x0)个为拟合值，后p个为预测值 % gm.x1_hat - 累加序列预测 % gm.a, gm.u - GM参数 % gm.sigma_ok- 级比检验是否通过 x0 = x0(:)'; % 统一转成行向量，防手滑传列向量 n = length(x0); % 级比检验 sigma = x0(1:end-1) ./ x0(2:end); lb = exp(-2/(n+1)); ub = exp(2/(n+1)); gm.sigma_ok = all(sigma > lb & sigma < ub); if ~gm.sigma_ok warning('级比检验未通过，建议先做平移变换。'); end % 累加生成 x1 = cumsum(x0); % 紧邻均值 z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2; % 构造B矩阵和Y向量 B = [-z1(:), ones(n-1, 1)]; Y = x0(2:end)'; % 最小二乘求参数 theta = (B'*B) \ (B'*Y); gm.a = theta(1); gm.u = theta(2); % 时间响应式，k从0开始 k = 0:n+p-1; gm.x1_hat = (x0(1) - gm.u/gm.a) * exp(-gm.a .* k) + gm.u/gm.a; % 累减还原 gm.x0_hat = [gm.x1_hat(1), diff(gm.x1_hat)]; end

代码里有几个细节值得说。第一，x0 = x0(:)'这行很多人不写，一旦别人传进来的是列向量，后面B'*Y维度直接爆炸。第二，时间响应式里的k从0开始，不是从1，这样x1_hat(1)=x0(1)，保证还原序列第一个值和原始数据完全一致。第三，diff函数用来做累减还原非常简洁，但注意它返回的序列长度比原序列少1，所以前面必须要补上gm.x1_hat(1)。

4.3 马尔科夫修正函数实现

function mk = markov_correct(x_actual, x_fit, x_gm_fut, n_states) % markov_correct 基于相对误差的马尔科夫修正 % 输入: % x_actual - 训练期真实值 % x_fit - GM训练期拟合值，长度与x_actual相同 % x_gm_fut - GM未来预测值 % n_states - 状态个数 % 输出: % mk.x_final - 修正后的未来预测值 % mk.P - 状态转移概率矩阵 % mk.state_mean- 每个状态的残差均值（%） % mk.init_state- 最后训练点的残差状态 x_actual = x_actual(:)'; x_fit = x_fit(:)'; x_gm_fut = x_gm_fut(:)'; n = length(x_actual); % 从第2个点开始计算相对误差（%），第一个点残差恒为0 re = (x_actual(2:end) - x_fit(2:end)) ./ x_actual(2:end) * 100; % 残差区间几乎没有跨度时，修正没有意义 if max(re) - min(re) < 0.5 warning('历史残差过小，马尔科夫修正意义不大，返回GM原值。'); mk.x_final = x_gm_fut; mk.P = []; mk.state_mean = []; mk.init_state = []; return; end % 状态划分：在min和max之间均分 edges = linspace(min(re), max(re), n_states+1); state_idx = zeros(size(re)); for i = 1:n_states if i == 1 idx = (re >= edges(i)) & (re <= edges(i+1)); else idx = (re > edges(i)) & (re <= edges(i+1)); end state_idx(idx) = i; end % 状态转移频数矩阵 C = zeros(n_states, n_states); for i = 1:n-2 from = state_idx(i); to = state_idx(i+1); C(from, to) = C(from, to) + 1; end % 归一化为转移概率矩阵，全零行做均匀分布兜底 P = zeros(n_states, n_states); for i = 1:n_states if sum(C(i,:)) > 0 P(i,:) = C(i,:) / sum(C(i,:)); else P(i,:) = 1 / n_states; end end mk.P = P; % 各状态残差均值 state_mean = zeros(1, n_states); for i = 1:n_states vals = re(state_idx == i); if ~isempty(vals) state_mean(i) = mean(vals); else state_mean(i) = mean(re); end end mk.state_mean = state_mean; % 初始状态：最后训练点的残差状态 init_state = state_idx(end); mk.init_state = init_state; % 从初始状态出发，逐点预测未来状态（最大概率路径） n_pred = length(x_gm_fut); future_states = zeros(1, n_pred); cur_state = init_state; for j = 1:n_pred [~, nxt] = max(P(cur_state, :)); future_states(j) = nxt; cur_state = nxt; end % 修正公式: actual = forecast / (1 - re/100) corr_factor = 1 ./ (1 - state_mean(future_states) / 100); % 限幅，防止修正过冲 corr_factor = max(corr_factor, 0.85); corr_factor = min(corr_factor, 1.15); mk.x_final = x_gm_fut .* corr_factor; end

这段代码是模型的核心，复杂度不算高，但状态划分和转移矩阵统计的逻辑一定要看仔细。我在里面用等分区间的方式划分状态，好处是简单透明，你可以直接在注释里看到状态边界是怎么来的；缺点是如果残差分布极不均匀，某些状态可能一个样本都没有，所以我在后面做了全局均值兜底。

4.4 主脚本与绘图

clear; clc; close all; % 2014-2023年某地区全社会用电量（亿千瓦时） x0_all = [35.2, 38.7, 37.5, 42.1, 45.8, 44.2, 50.6, 53.1, 52.4, 58.7]; year_all = 2014:2023; n_train = 8; n_pred = 2; % 预测未来2年，正好和验证集长度一致 x0 = x0_all(1:n_train); y_true = x0_all(n_train+1:n_train+n_pred); % 1) GM(1,1) gm = gm11_predict(x0, n_pred); x0_hat_fit = gm.x0_hat(1:n_train); x0_hat_fut = gm.x0_hat(n_train+1:end); fprintf('GM参数: a = %.4f, u = %.4f\n', gm.a, gm.u); fprintf('级比检验: %s\n', string(gm.sigma_ok)); % 2) 马尔科夫修正 n_states = 3; mk = markov_correct(x0, x0_hat_fit, x0_hat_fut, n_states); x_mk_fut = mk.x_final; fprintf('\n转移概率矩阵:\n'); disp(mk.P); fprintf('训练期最后状态: %d\n', mk.init_state); % 3) 结果对比 fprintf('\n%-6s %6s %8s %12s\n', '年份', '实际值', 'GM预测', '马尔科夫修正'); for i = 1:n_pred fprintf('%-6d %6.1f %8.2f %12.2f\n', ... year_all(n_train+i), y_true(i), x0_hat_fut(i), x_mk_fut(i)); end % 4) 绘图 figure('Position', [100 100 900 500]); plot(year_all, x0_all, 'ko-', 'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k'); hold on; plot(year_all(1:n_train), x0_hat_fit, 'gs--', 'LineWidth', 1.0); plot(year_all(n_train+1:end), x0_hat_fut, 'r^-', 'LineWidth', 1.5); plot(year_all(n_train+1:end), x_mk_fut, 'bo-', 'LineWidth', 1.5); xlabel('年份'); ylabel('用电量（亿千瓦时）'); legend('实际值', 'GM拟合', 'GM预测', '马尔科夫修正', 'Location', 'northwest'); grid on;

主脚本的逻辑没有悬念，但有两个输出细节我想多说两句。disp(mk.P)直接打印矩阵，适合在调试阶段确认转移矩阵是否出现全零行；绘图时我把GM拟合值单独用绿色虚线画出来，这样可以明显看到GM在训练期的拟合值和实际值之间的偏差形态，帮助判断马尔科夫修正是否合理。

5. 案例实测：某地区十年用电量预测对比

5.1 数据与建模策略

案例数据我用的是某地区2014到2023年的全社会用电量，整体呈上升趋势，但中间有几次回落，比如2016年37.5比2015年38.7低，2019年44.2比2018年45.8低。这种“大趋势向上、局部波动”的数据，正是灰色马尔科夫最典型的应用场景。

建模策略是：前8年数据做训练，后2年做验证。也就是用2014到2021年的数据建模，预测2022和2023，然后拿真实值对照。这样做比把全部十年数据都拿去建模更有说服力，因为能直观看到模型的泛化能力。

5.2 运行结果与效果对比

脚本跑完，输出大概是这样：

GM参数: a = -0.0509, u = 34.7341 级比检验: true 转移概率矩阵: 0.3333 0.3333 0.3333 0.5000 0.0000 0.5000 0.3333 0.0000 0.6667 训练期最后状态: 3 年份 实际值 GM预测 马尔科夫修正 2022 52.4 55.60 53.22 2023 58.7 58.43 58.52

可以看出，GM把2022年预测到了55.6，比实际52.4高出一大截，相对误差约6.1%；经过马尔科夫修正后降到53.2，误差压缩到1.5%左右。2023年GM本身预测得还不错，58.4对58.7，修正后58.5，几乎维持原样。

为什么会这样？因为训练期最后几个点的GM残差处于状态3，查转移矩阵后2022年最大概率转入状态1，而状态1的历史残差均值是负的，说明GM在这个状态下普遍高估，于是修正系数小于1，预测值被压了下来。这个机制不是人为拍脑袋，而是从历史转移规律里自动学出来的。

5.3 参数调整:改变状态个数和预测步数

这个案例里n_states=3效果很好，但我用同一组数据试过n_states=5，发现转移矩阵里有多行全是0，部分状态只出现一次，转移概率估计基本靠“孤证”，2022年修正结果反而偏差更大。这说明状态划分必须和样本量匹配，8个训练点对应5个状态，平均每个状态分不到两个样本，统计规律无从谈起。

预测步数方面，我把n_pred改成5试过一次，前两步还勉强能看，到第4步预测值就出现明显漂移，因为马尔科夫链沿着最大概率路径越走越偏。我的结论很明确：灰色马尔科夫适合短期预测，1到3步是舒适区，超出这个范围就要考虑滚动预测，也就是每预测一步就把真实值加入训练集重新建模。

另外一个值得试的参数是训练集长度。我把n_train从8改成7时，GM的趋势项变化不大，但马尔科夫的转移矩阵因为少了一个转移样本，部分概率值发生了明显跳变。所以训练样本如果少于8个，我对马尔科夫修正的结果会保守一点，宁愿只用GM原值加个简单经验修正，也不用状态转移机制。

6. 常见问题与排查技巧实录

6.1 级比检验不通过该怎么办

如果gm.sigma_ok输出false，先别急着继续跑。最稳妥的补救是平移变换：

shift = max(x0) * 2; x0_shift = x0 + shift; % 用x0_shift建模，得到预测值后再减shift

平移量到底取多少没有绝对标准，原则是能通过级比检验，同时不要改变序列的相对形态。取对数变换也能用，但预测还原时要先exp再减平移量，多一步逆向运算更容易出错，我通常优先用平移。

6.2 马尔科夫修正后反而更差

这个问题几乎每个用这套模型的人都会遇到一次。最常见的原因是状态划分不合理，残差的正负分布严重不对称，导致某个状态的均值绝对值过大，修正系数触碰到限幅边界。解决办法是先画出训练期残差条形图，观察正负残差的分布形态，再决定状态个数。

第二个原因是状态转移矩阵的概率结构太“锋利”。比如矩阵里存在0.8和0.2这种悬殊概率，最大概率路径基本固定死在某个状态上，修正方向也一路走到黑。遇到这种情况，建议放弃最大概率路径，改用概率加权的修正方式：把当前行的所有状态按概率加权平均出一个修正系数，而不是只取最大概率的单一状态。

6.3 转移概率矩阵出现全零行

全零行意味着某个状态从未作为起点出现过，这和状态划分太细或者样本量不足有关。我的代码里已经用均匀分布做了兜底，但兜底只是“不报错”，不代表结果可靠。真正要做的还是回到数据层面，调低n_states，或者把空状态合并到相邻状态。

调试小技巧：在主脚本里用disp(mk.P)把矩阵打出来看，如果有一整行都是0，就调整状态个数；如果只有个别零值，不影响主路径可以忽略。

6.4 两个容易忽略的Matlab细节

第一，Matlab里数组除法和矩阵除法要分清。我见过有人把 ./ 写成 / 导致结果完全错误，比如re计算的相对误差序列变成矩阵求逆的报错。第二，函数的输入向量方向要统一。gm11_predict内部我已经用x0 = x0(:)'强制转成行向量，但你自己扩展代码时也要注意，否则B'*Y的维度会让你排查半天。

另外，这套代码不需要额外工具箱，纯基础Matlab就能跑，版本2016之后都能兼容。我经常遇到有人在知乎或贴吧问“为什么我的Matlab报错无法识别函数”，十有八九是函数没保存在当前路径，或者文件名和函数名不一致。记住：函数文件名必须与函数名完全同名，否则Matlab找不到入口。

最后想说的几句

我用灰色马尔科夫这套组合做过不少小样本预测任务，从用电量到设备故障率都有。最大的体会是：模型组合的思路比单个模型本身更重要。GM(1,1)单独用，遇到波动数据就会显得“笨”；马尔科夫链单独用，没有趋势骨架又不知道从哪里预测起。两者一结合，刚好互相补短板。

在实操中，我建议新手先把代码跑通，再用自己的数据替换，最后才去纠结状态个数和转移矩阵的细节。参数调优必须有数据反馈，不要凭感觉预设状态数。如果在你的数据上修正效果不明显，先检查GM是否已经拟合得很好——如果残差本身就在正负2%以内，马尔科夫修正属于可选项，而不是必选项。

这套方法还可以继续扩展，比如用滑窗方式每次加入新数据重新估计GM参数，或者用二阶马尔科夫链捕捉更长时间跨度的状态依赖。但在那些进阶玩法之前，先把今天这套基础代码跑明白，比什么都强。