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马赫-曾德干涉仪这个东西，光学实验室里见得最多，但真正把它吃透的人其实不多。我最早接触它是在做光纤振动传感的时候，那会儿被条纹漂移搞得头大，后来花了一整个月把波动光学仿真做通，才算彻底搞明白两条光路里每一处相位和振幅变化到底是怎么回事。这篇博文就把我从建模思路到仿真实操、再到精度控制和排坑的经验一次性写出来，适合正在做干涉仪仿真、光学系统设计或光学测量相关工作的朋友。如果你刚接触这个仪器也没关系，这里面的每一步我尽量把“为什么要这么做”也讲清楚。

1. 马赫-曾德干涉仪：从实验台到仿真屏

1.1 这台“光学听力计”到底在测什么

马赫-曾德干涉仪（Mach-Zehnder interferometer，简称MZI）是光学干涉家族里非常经典的一员。它的结构一句话就能说清：一束光先被分束器一分为二，两路光分别走两条独立的臂，然后再被第二个分束器合到一块，最后形成干涉。这个“先分开、后合拢”的结构让两条光路的物理空间彼此独立，所以你可以在一条臂上随意放样品、加相位调制器、做时间延迟，而不用怕干扰另一条臂。正是这种灵活性，让它成了折射率测量、温度传感、声波检测、气体浓度分析以及量子光学实验中出镜率极高的装置。

我举个具体场景你就理解了：假设信号臂上有一小段光纤暴露在外，外部气体浓度的变化会导致这段光纤的有效折射率发生微小改变，光走过的光程就会变，最后干涉条纹会跟着移动。只要你把条纹移动量测准，反推回去就是折射率变化量。这个过程本质上就是利用“波动的相位”做一把极其灵敏的尺子。之所以强调“波动”，是因为干涉现象本身就是相位的直接体现，几何光学那套“一条线”的光线模型在这里根本不够用，你必须用复振幅和相位来描述整个系统。

1.2 为什么必须做波动光学仿真

很多刚入门的同学会问我：这光路看着这么简单，直接套双光束干涉公式不就行了，为什么还要仿真？答案是：公式只能给你理想平面波的结果，而真实的光是高斯光束，是有束腰半径、有发散角的；分束器有尺寸，镜面有孔径，传播一段距离后还会出现衍射效应。你要是用纯几何方式去算，最后得到的干涉条纹可能只在“中心区域”勉强对得上，边缘部分几乎全是错误的。

波动光学仿真要做的事情，就是在计算机里把“复振幅”这个物理量完整地模拟出来：一束高斯光出发，经过分束器分成两束，各自走完几十毫米甚至几百毫米的路径，期间经历了衍射、波前畸变、相位延迟，最后再次相遇叠加。这个过程尤其适合研究下面这几类问题：

• 探测器平面上干涉条纹的对比度受什么影响；
• 两条臂的光程差略有偏差时，条纹状态如何变化；
• 光束尺寸、传播距离对输出端两路光功率分配的影响；
• 干涉仪对微小相位扰动的响应灵敏度和线性范围。

如果你后续要做实验，仿真还能帮你在搭光路之前就把参数定下来，知道用多大焦距的透镜、探测器放在什么位置，避免一到实验室就来回搬镜架。

1.3 仿真能帮你回答的四个典型问题

我把自己做仿真时最常遇到的四个问题列在这里，后文会逐一展开：

这些问题如果只靠手推公式，要么算不了非理想条件，要么算出来的结果让你心里没底。而一版靠谱的波动光仿真代码，能在几秒钟内给你一组可视化结果，还能顺便帮你把数据导出成表格或者图片，用来写报告和论文非常方便。

2. 波动光学仿真背后的数学工程

2.1 不是“画光路图”：复振幅才是主角

在波动光学框架下，光场不再是一堆几何射线，而是用一个复数场 (E(x,y,z)) 来描述。它的模表示振幅，辐角表示相位。光强则是 (I = |E|^2)。干涉的本质就是两个或多个复场叠加后模平方出现的交叉项，也就是 (2|E_1||E_2|\cos(\Delta \phi)) 这个来源。

拿马赫-曾德干涉仪来说，假设分束器分光比是 50:50，合束前的两束光复振幅分别是 (E_1) 和 (E_2)，那么输出端的光强是：

[ I_{out} = \frac{1}{4}|E_1 + E_2|^2 ]

展开后就是直流项（各自的强度）加上交流项（干涉项）。当 (E_1) 和 (E_2) 的相位差为 0 时亮纹，为 (\pi) 时暗纹。这个表达式看似简单，但真正的功夫在于如何精确算出 (E_1) 和 (E_2) 在合束时的复振幅分布——因为它们在各自臂上传播时已经发生了衍射和相位累积。这个“算传播”的过程，就是波动光学仿真需要解决的核心问题。

2.2 角谱法：在频域里做衍射

自由空间传播的仿真方法有挺多：直接对菲涅尔衍射积分做数值计算、用SASD（单步角谱衍射）方法、或者用光束传播法（BPM）逐步推进。在我的MZI仿真里，最稳也最常用的是角谱法（Angular Spectrum Method）。它的思想并不复杂：把光场从空间域变换到空间频率域，每一个频率分量看作一个传播方向确定的平面波，在频域里给每个分量乘上一个相位因子，再做逆傅里叶变换回到空间域。

用公式表示：

[ E(x,y,z+\Delta z) = \mathcal{F}^{-1}\left{ \mathcal{F}{E(x,y,z)} \cdot \exp\left[i k \Delta z \sqrt{1 - (\lambda f_x)^2 - (\lambda f_y)^2}\right] \right} ]

其中 (f_x, f_y) 是空间频率，(k=2\pi/\lambda)。这个方法的优点是：它对传播距离没有像近轴近似的强限制，只要采样满足条件，在短距离和中等距离下精度都相当高。而且实现起来就是对数组做两三次FFT，计算速度非常快。

我做仿真时通常会封装一个propagate_ASM(field, wavelength, delta_x, delta_y, distance)函数，只要传入当前光场和传播距离，就能输出传播后的光场。这样两臂就可以统一走同一套传播代码，唯一区别是臂长和相位延迟参数不同。

2.3 采样条件与网格设计

角谱法看似只需两行代码，但坑非常深，最大的坑就是采样条件。因为角谱法相当于把光场分解成一系列平面波，而离散傅里叶变换对应的空间频率范围是有限的，最高频率由采样间隔决定。如果你选的网格太粗，那些大角度的平面波分量会被混叠到低频区域，仿真结果会出现明显的周期性假条纹。

我自己的经验是，先估算光场中的最大空间频率 (f_{max} = \frac{\sin\theta_{max}}{\lambda})，其中 (\theta_{max}) 是你要模拟的最大衍射角。对于高斯光束，发散角约为 (\theta \approx \frac{\lambda}{\pi w_0})（(w_0) 是束腰半径）。采样间隔必须满足：

[ \Delta x \le \frac{1}{2 f_{max}} = \frac{\lambda}{2 \sin\theta_{max}} ]

否则就会“欠采样”。比如波长 632.8nm、束腰半径 1mm 的光束，发散角大约 0.2 mrad，那么网格尺寸取几十个微米量级就非常安全。为了留出余量，我一般取 (\Delta x = \lambda / 20 \sim \lambda / 10)，既保证精度又不会让矩阵大到内存爆炸。

另外，网格总大小要足够覆盖光斑扩散后的范围。传播距离比较长时，光斑会扩展，如果你的窗口太小，边缘的光场会被硬生生截断，产生边缘衍射伪影。这里我的建议是：让活动网格边长为光束衍射后尺寸的约2~3倍，这样既不会浪费计算资源，也不会引入明显的边缘效应。

3. 用 Python 从零搭一台“数值马赫-曾德”

3.1 搭建仿真框架和分束器模型

我习惯用 Python + NumPy 做仿真，偶尔用 SciPy 的信处理工具。原因在于NumPy的数组运算和FFT特别顺手，代码量少，调试也方便。下面给出大体框架。

首先定义一个二维网格：

import numpy as np wavelength = 632.8e-9 w0 = 0.5e-3 # 束腰半径 N = 1024 # 网格尺寸 L = 8e-3 # 网格边长 x = y = np.linspace(-L/2, L/2, N) X, Y = np.meshgrid(x, y) delta_x = L / N

分束器在仿真里不需要真去渲染一块玻璃板，只需要把它当作一个空间位置上的算符：入射复振幅乘以反射/透射系数。

def beam_splitter(field_in, t1, r1, t2, r2): # 返回透射臂和反射臂的光场 return field_in * t1 * r2, field_in * t2 * r1

对于理想50:50分束器，相位关系特别重要：反射和透射光之间通常有 (\pi/2) 的相位差。在仿真中我一般这样处理：反射分量乘 (i)（也就是相位增加 (\pi/2)），透射分量保持不变，这样两束光在合束后的干涉条纹位置才是物理正确的。

3.2 参考臂与信号臂的光束传播仿真

两臂里的光束传播，直接调用角谱法函数就可以：

def propagate_ASM(field, wavelength, delta_x, delta_y, distance): k = 2*np.pi/wavelength fx = np.fft.fftfreq(N, d=delta_x).reshape(-1,1) fy = np.fft.fftfreq(N, d=delta_y).reshape(1,-1) # 空间频率网格 FX, FY = np.meshgrid(fx.squeeze(), fy.squeeze()) # 频域传播相位 H = np.exp(1j*k*distance*np.sqrt(1 - (wavelength*FX)**2 - (wavelength*FY)**2)) # 注意：np.fft.fftfreq返回顺序与fft2一致 F = np.fft.fft2(field) out = np.fft.ifft2(F * H) return out

信号臂里的相位调制，可以简单地在光场上乘一个相位屏，比如温度变化造成的光程变化，我习惯建模为：

def add_phase(field, phase_map): return field * np.exp(1j * phase_map)

例如要在中心区域做一个折射率变化，相位分布约等于：

[ \phi(x,y) = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta n \cdot L_{cell} ]

(\Delta n) 是折射率改变量，(L_{cell}) 是光与样品相互作用的长度。这个模型在仿真里非常常用，比实打实算多层薄膜透过率快得多，而且便于参数扫参。

3.3 合束、计算干涉条纹与相位提取

两臂光场传播到合束位置后，合束器同样是一个复振幅叠加的过程。以理想合束器为例，输出端光场为：

E_out1 = (E_ref + E_sig) / np.sqrt(2) E_out2 = (E_ref - E_sig) / np.sqrt(2)

然后光强可以直接算：

I1 = np.abs(E_out1)**2 I2 = np.abs(E_out2)**2

如果你只是要看条纹长什么样，画I1的热力图就能获得清晰的干涉图样。但很多时候我们还需要提取相位，用得较多的是傅里叶变换法：对条纹图做FFT，在频谱里提取 ±1 级旁瓣，逆变换后再取辐角。

def extract_phase(I_all): F = np.fft.fft2(I_all) F = np.fft.fftshift(F) # 假定条纹空间频率已知, 将中心移到旁瓣 F_shift = np.roll(F, (cx_f, cy_f), axis=(0,1)) # 只保留旁瓣周围区域 mask = np.zeros_like(F_shift, dtype=bool) mask[cx_f-size:cx_f+size, cy_f-size:cy_f+size] = True F_shift[~mask] = 0 phase = np.angle(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(F_shift))) return phase

这里有个很关键的操作：必须先把F的零频移到中心，再用roll把旁瓣搬到零频附近，最后逆变换得到的相位才是缓变的相位分布，而不是高频载波相位。

3.4 仿真参数的选择与调试思路

参数的选取直接决定仿真的是否“像真的”。我常用的初始参数如下：

调试顺序上，我建议先跑一个最简单的“零光程差”场景，确认两个输出端中有一个是全亮、另一个是全暗——这是MZI合束的最基本特征。如果发现两端光强几乎一样，大概率是分束器的相位关系没写对，回去检查是不是少乘了 (i)。

4. 典型案例：微小折射率变化的灵敏度分析

4.1 案例设定

我用马赫-曾德干涉仪做过一个可追溯复现的仿真案例：信号臂里放一个长度 (L_{cell}=10) mm 的液体样品池，里面液体的折射率相对空气略大，当浓度变化导致 (\Delta n = 1 \times 10^{-5}) 时，我要观察探测器平面上的条纹变化，并计算相位变化量。这个场景非常实际，比如测血糖浓度、测溶液浓度梯度，都是这个思路。

4.2 仿真步骤与代码实现

核心操作是在信号臂的样品池区域引入一个均匀相位变化：

[ \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta n \cdot L_{cell} ]

代入数值：(\Delta\phi = \frac{2\pi}{632.8\times10^{-9}} \times 10^{-5} \times 10^{-2} \approx 1.0) rad。也就是大约 0.16 个条纹周期。这么小的相位变化，用肉眼直接看条纹图几乎分辨不出来，但用相位提取算法可以非常清晰地看到整体相移。

整个流程写的伪代码如下：

# 1. 生成高斯光束 r = np.sqrt(X**2 + Y**2) E0 = np.exp(-(r**2 / w0**2)) # 2. 分束器1 E_ref, E_sig = beam_splitter(E0, t1=1/np.sqrt(2), r1=1j/np.sqrt(2), t2=1/np.sqrt(2), r2=1j/np.sqrt(2)) # 3. 两臂传播 E_ref = propagate_ASM(E_ref, wavelength, delta_x, delta_y, L_ref) E_sig = propagate_ASM(E_sig, wavelength, delta_x, delta_y, L_sig) # 4. 给信号臂加相位 phase_screen = np.ones_like(X) * (2*np.pi/wavelength * delta_n * L_cell) E_sig = add_phase(E_sig, phase_screen) # 5. 合束 E_out1 = (E_ref + E_sig) / np.sqrt(2) E_out2 = (E_ref - E_sig) / np.sqrt(2)

跑完之后你会发现，虽然光强图上的条纹几乎没有可察觉的移动，但相位图上亮暗边界的位置整体偏了一个量，这个偏移就是灵敏度分析的基础。

4.3 结果分析与灵敏度推导

灵敏度定义为相位变化量与折射率变化量的比值。对这个模型，相位变化近似为：

[ \frac{d\phi}{dn} = \frac{2\pi L_{cell}}{\lambda} ]

代入 (L_{cell}=10) mm、(\lambda=632.8) nm，灵敏度约为 (9.9 \times 10^4) rad/RIU（RIU = 折射率单位）。什么意思呢？折射率每变化 1，相位走将近十万弧度；如果探测器能分辨 0.01 rad 的相位，理论上能探测的折射率变化就是 (1 \times 10^{-7}) 量级。这也是为什么马赫-曾德干涉仪可以作为高灵敏度传感器的原因。

不过要注意，这只是理想情况。实际中光源功率波动、探测器噪声、温度漂移都会拉低真实探测能力。仿真能帮你确认“理想情况下系统能做到什么水平”，进而判断瓶颈到底在光学部分还是电路部分。

5. 仿真结果的验证与精度控制

5.1 用解析解检验仿真精度

仿真写得再漂亮，也得有办法验证对不对。最直接的验证方式是对照理想双光束干涉解析解。对于完全均匀的平面波，理想MZI输出光强应该是：

[ I = I_0 \left[1 + \cos(\phi_1 - \phi_2)\right] ]

我可以让仿真里两臂均为均匀平面波（也就是忽略高斯振幅），记录不同相位差下的中心点光强，和解析式画在同一张图里看是否重合。这个测试只需要几分钟就能完成，但能迅速暴露分束器相位写错、网格尺寸过小等低级错误。

此外，还有一个检验方法：把两臂长度设成相同，再做一组小角度倾斜第二分束器的仿真。理论预测条纹间距应正比于两束光夹角的正弦倒数。如果仿真出来的条纹间距符合经验公式，就说明角谱法的传播模型工作正常。

5.2 影响精度的三个“隐形敌人”

实操中影响仿真精度的因素不少，我踩过的坑主要集中在下面三个：

第一个是空间混叠。网格尺寸太大会让高频衍射分量混叠成低频，表现为干涉条纹周围出现歪歪扭扭的额外纹路。解决办法就是满足采样条件，最直接的检测方法：把网格尺寸减半跑一次，看结果是否明显变化。如果不变化，说明此前设置已经收敛；如果变了，那就继续加密网格。

第二个是边缘衍射。计算窗口面积有限，光场边缘被突然截断会产生边缘衍射波。这种效应在光束尺寸和窗口尺寸相当的时候非常严重，看起来像是条纹被扰动。解决思路是扩大窗口，或者给入射光场加一个超高斯孔径函数，让光场在边缘平滑过渡到零。

第三个是相位卷绕。用反正切函数提相位时，相位限制在 ((-\pi, \pi]) 范围内。如果真实相位变化超过 (2\pi)，提取结果就会出现台阶状跳变，也就是所谓“包裹相位”。用np.unwrap可以解开一维相位，但二维相位展开需要更细致的路径算法。最好的办法是控制相位变化在每相邻像素之间小于 (\pi)，也就是保证相位在空间上有足够的过采样。

5.3 提高精度的实用手段

如果你发现数值结果始终有微弱的周期误差，优先做下面三件事：

• 网格零填充：在光场周围补一圈零，相当于扩大计算窗口，能有效降低边缘衍射；
• 高斯窗滤波：在提取相位前对光强图乘一个高斯窗，压制旁瓣泄漏；
• 草坪式参数扫描：固定两臂光程差，微小改变网格尺寸做收敛性验证，找到“结果不再变化”的最低网格需求。

我通常会写一个简短参数扫描脚本，自动改变 (N) 从256到2048，记录中心相位结果，当数值变化小于千分之一时就用这组参数。这个习惯在我后来做多组仿真时省了大量时间，因为它把“靠经验调参”变成“靠数据说话”。

6. 常见问题与调试技巧实录

6.1 仿真条纹模糊或不清晰

如果你明明设置了两臂的相位差，却发现干涉条纹对比度非常低，先检查两个分束器输出的两束光在合束点的振幅是否接近。对比度 (V) 的公式很简单：

[ V = \frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1+I_2} ]

当两束光的振幅差别大时，条纹就被“稀释”了。常见原因：光束经过长距离传播后由于衍射，振幅分布发生改变；或者分束器的分光比设成了 90:10。如果你要的是高对比度，就得让两臂光强接近相等。这个经验在实验中同样适用。

6.2 相位提取结果跳变

用傅里叶变换法提取相位时，如果载频选择不准，提取的相位会带有周期性条纹残留。解决办法是把条纹频率选在频谱旁瓣的中心，而不是随便用理论计算值。实际操作中，我会先对干涉图做FFT，找到幅度最大的非零频峰，再把旁瓣中心对准那个峰值。这个步骤看似麻烦，但比手动输入频率值要可靠得多。

6.3 不同波长和光束尺寸下仿真的变化

波长变化会同时影响衍射传播相位和干涉条纹灵敏度，这是新手最容易漏掉的地方。仿真时如果从 632.8 nm 换成 1550 nm，不仅条纹间距会变，衍射效果也会增强，因为衍射角正比于 (\lambda/d)。所以一套参数不能通吃所有场景，至少要做一次“波长-网格采样”的自检。

光束尺寸也一样。束腰越小，发散越快，同样的传播距离下光斑扩展越大。如果你的网格只按初始光斑尺寸算，跑到一半光就顶到边界了。我的习惯是把网格边长设在光斑最大尺寸的2~3倍，宁可多算一点像素，也不要边界反射干扰真实信号。

6.4 个人心得：从仿真到实验的几点建议

仿真跑通之后，最好顺手把结果和实际实验对比一轮。我每次搭MZI之前都会先做一个“预演仿真”：用实验室真实的光束参数跑一遍，看看探测器各个位置的光强分布大概是什么量级，提前判断该用多大增益、会不会饱和。这套流程看起来不起眼，但真的帮我避免过多次烧光电探测器或者白调一晚上光路的尴尬。

另外提醒一句，仿真里的“分束器相位关系”是很多人容易搞错的地方。物理上反射和透射存在相位差，但不同教材的约定可能不同。我的建议是：不管约定是反射加 (\pi/2) 还是透射加 (\pi)，只要你在仿真里保持自洽，并且保证合束后两路光的相对相位关系正确，最后的物理结论就不会出错。可如果符号不一致，你会在条纹亮暗位置和相位正负上反复栽跟头。

最后再分享一个实用小技巧：在做参数扫描时，把每次的两臂相位差记录下来，画成“相位-响应”曲线，往往能直接看出干涉仪的线性范围和周期特性。这比盯着单幅条纹图反复看要高效得多，而且写报告时这张图非常能说明问题。接下来如果再往下扩展，你还可以加入透镜聚焦、光纤耦合、非理想分束器波长依赖等模块，让仿真一步步逼近真实系统。