企业官网建设流程全解析

在拿到一张投入产出表的时候，很多人的第一反应是"这表我好像在哪见过，但接下来该算什么来着"。尤其当手里的任务变成"用Excel算直接消耗系数和完全消耗系数"时，真正卡住的往往不是经济学概念，而是：公式到底该往哪个单元格里填、行列是谁除以谁、为什么算出来的结果跟教材对不上。

这篇东西就是把这件事彻底讲透。我会用一张自洽的三部门投入产出表，从原始数据一直推到直接消耗系数和完全消耗系数，每一步的Excel操作、每一个容易犯的方向性错误、以及最后怎么验证结果，都会拆开讲。适合刚接触投入产出分析的学生、做产业关联研究的研究人员，以及需要在Excel里快速完成系数测算的职场人。

1. 先从表的结构说起：中间投入、最终使用与总产出是怎么咬合在一起的

1.1 一张投入产出表的三象限结构

投入产出表最核心的骨架，是一张三部门表就能说明白的。假设我们把整个经济体简化成农业、工业、服务业三个部门，那么一张最基础的竞争型投入产出表长这样：

这张表很“小”，但结构并不小。左上角那个3×3的方块叫第Ⅰ象限，也叫中间投入矩阵，里面每个数字x_ij的含义是“生产部门j那一个部门的产品时，消耗了多少部门i的产品”。比如第1行第2列的那个60，意思就是工业部门在生产过程中，消耗了60亿元的农产品。第Ⅱ象限是最终使用，包含了消费、资本形成、出口等去向，它和中间投入合在一起，构成了每个部门总产出的完整去向。

还有第Ⅲ象限，一般放在列的方向下方，就是增加值。增加值包含劳动者报酬、生产税净额、固定资产折旧和营业盈余。增加值那一列数字的价值在于，它保证了表在列的方向上也有一个平衡：中间投入合计+增加值=总投入。

1.2 行平衡与列平衡：算系数之前必须先相信这张表是自洽的

为什么要先讲平衡？因为投入产出表里的所有系数计算，都建立在行平衡和列平衡之上。

行平衡说的是：中间投入合计+最终使用=总产出。以农业为例，农业行中间投入合计是30+40+20=90，最终使用是50，两者之和正好等于总产出150。列平衡说的是：中间投入合计+增加值=总投入。农业列中间投入合计是30+60+10=100，增加值是60，相加正好等于总投入150。

“总投入”和“总产出”在投入产出表里数值必然相等，因为同一个部门的产出量和投入量就是同一件事的两面。后续计算直接消耗系数时，我们用的分母就是这个总投入（等价于总产出）。这一条很多初学者忽略了，结果拿着总产出那一行当分母，算出来的系数其实也没错，但心里不明白为什么可以用行上的数去除列上的数。原理就是：行总和列总在同一张表里必须相等。

所以拿到任何一张投入产出表，第一件事不是急着算系数，而是先核对平衡关系。如果行不平衡或者列不平衡，后面所有系数都是空中楼阁。

1.3 直接消耗系数和完全消耗系数，各自回答什么问题

直接消耗系数a_ij的定义是：生产1单位j部门产品，直接消耗多少i部门产品。它回答的是一个最直观的生产技术问题——“我产出一块钱的工业品，当场要吃掉多少农产品”。

完全消耗系数b_ij回答的问题则深一层：生产1单位j部门产品，算上所有直接和间接消耗，总共需要多少i部门产品。这里多出来的“间接消耗”，是产业链传导出来的。工业产出的过程中要耗电，发电的过程要耗煤，采煤的过程要用到化工产品，化工产品的生产又可能消耗农产品……这种一层层嵌套的关系，是直接消耗系数表单靠看数字看不出来的。

清楚了这两个系数在回答什么问题，后面Excel怎么操作都不会跑偏。

2. 直接消耗系数：其实就是“每个格子除以所在列的总投入”

2.1 计算公式与Excel里的行列对应关系

直接消耗系数的公式是：

a_ij = x_ij / X_j

其中x_ij就是中间投入矩阵第i行第j列的那个数，X_j是j部门的总投入。这里最关键也最容易翻车的地方在于：分母是“所在列的总投入”，而不是“所在行的总产出”。

为什么是列？因为从列的方向看，中间投入+增加值=总投入，一列代表的是一个生产部门完整的投入结构。我们要算的是“生产每1单位j产品要消耗多少i产品”，分母当然就应该是j产品的总生产规模，也就是j列的总投入。

在Excel里的对应关系也很直观。打开原始表之后，如果中间投入矩阵放在B2:D4区域，总投入（总产出）那一行放在B6:D6，那么B2单元格里的公式就是：

=B2/B$6

这里为什么要对6前面加美元符号？因为向右填充时，列标B会变成C、D，对应的总投入单元格也要跟着变；但向下填充时，每一行的分子都在变，分母却始终锁定在第6行。所以需要在行号前面加$。如果忘了加，往下拖两行，分母就会跑到总产出下面那个空单元格里，算出来的结果全是#DIV/0!。

2.2 实操：一次填充生成整张直接消耗系数表

我建议新建一个工作表，命名为“系数计算”，把原始表的数据引用过来，然后单独留一块区域放直接消耗系数矩阵。

假设在“系数计算”表里：

• B2:D4放直接消耗系数矩阵区域
• 原始表在名为“原始表”的工作表，中间投入矩阵是'原始表'!B2:D4，总投入行是'原始表'!B6:D6

那么在'系数计算'!B2单元格输入：

='原始表'!B2/'原始表'!B$6

然后向右填充到D2，再向下填充到D4，这张3×3的直接消耗系数表就出来了。理论上讲，直接消耗系数运算是逐元素除法，不是数组乘法，所以不需要Ctrl+Shift+Enter，普通填充就行。

算完以后，你这张表里的数值应该是下面这个样子：

验证一下：30/150=0.2，60/300=0.2，10/150≈0.0667。全部对得上。

2.3 一个不用背就能记住的检查规则：每列之和必须小于1

直接消耗系数表算完之后，不要急着进行下一步，先看每一列的列合计。

专业点讲，每列列合计反映的是“生产1单位产品，所有中间投入合计占总投入的比例”。因为列平衡关系里还有一块增加值，增加值占总投入的比例必然大于0，所以中间投入的合计比例必然小于1。

换句话说：直接消耗系数每一列的和都必须严格小于1。如果某列求和等于1甚至超过1，说明这张表的经济含义已经崩坏了——生产一块钱产品，把所有中间投入加起来就要吃掉一块钱甚至更多，那增加值还从哪儿来？

我实操中见过不少新手把行方向的数据错当成列，算出来的“系数表”行和全等于1，列和乱七八糟。用“每列和<1”这条规则一卡，立刻就能发现问题。以前我们手动算的时候，这条规则是重要验算手段；现在用Excel，你也可以在每个系数表下方加一行=SUM(B2:B4)，专门盯这个值。

3. 完全消耗系数：矩阵求逆在Excel里其实被MINVERSE封装好了

3.1 完全消耗为什么不能用“直接相加”解决

很多人刚接触完全消耗系数时，第一反应是：既然完全消耗＝直接消耗＋间接消耗，那我把直接消耗系数加起来不就行了？答案是不行。

原因是间接消耗是无穷多层的。以我们这张表为例，工业每生产1单位产品，直接消耗农业0.2。但工业还直接消耗工业自身0.4，这0.4单位的工业品在生产时，又需要消耗农业品0.2×0.4=0.08。然后这0.08单位的工业品再生产，又需要消耗更少的农业品……这么一层层追下去，把无穷多轮的间接消耗全部加起来，才是真正的完全消耗。

这个无穷相加在数学上可以收敛成一个简洁的表达式。把直接消耗系数矩阵记为A，那么考虑I+A+A²+A³+…这个矩阵级数，其中A²表示两轮间接的消耗，A³表示三轮间接的消耗，依此类推。由于直接消耗系数每列和小于1（这是第2节那条检查规则的深层意义），这个级数是收敛的，而且它的极限是(I-A)^(-1)，也就是列昂惕夫逆矩阵。

列昂惕夫逆矩阵还有一个名字叫完全需要系数矩阵，它表示“最终需求增加1单位时，各部门需要提供的总产出”。这个矩阵的对角元通常大于1，因为它把本部门在循环中重复出现的部分也算进去了。而完全消耗系数是与它相差一个单位矩阵的关系：

完全消耗系数B = (I-A)^(-1) - I

所以Excel里的计算路线就非常清晰了：先根据直接消耗系数A构造I-A矩阵，再求逆，最后减掉单位矩阵I。

3.2 单位矩阵的构造与I-A矩阵的建立

在Excel里构造一个3×3的单位矩阵，最土但最稳的方法是直接填：对角线上填1，其他位置填0。3×3规模不大，手动填几秒钟就完事。如果是42部门甚至更多部门的大表，手动填就不现实了，这时可以用一个IF公式，比如在某个区域左上角单元格输入：

=IF(ROW()-1=COLUMN()-1,1,0)

然后选中整个n×n区域按Ctrl+Shift+Enter批量生成。这个公式的原理是：当单元格所在行号减1等于列号减1时，也就是落在主对角线上时，返回1，否则返回0。注意里面的“减1”要根据区域起始行列号调整，只要保证相对偏移相等就行。

有了A矩阵和单位矩阵I，构造I-A就是纯粹的逐元素减法。你可以直接在I-A区域的每个单元格输入=I单元格-A单元格，一个个引用；也可以一次性选中对应大小的区域，输入=单位矩阵区域-系数矩阵区域，然后按Ctrl+Shift+Enter，让整个区域同时得到结果。对于3×3的例子，我建议用前一种逐格引用的方式，因为每一步都看得见、查得着；大表可以偷懒用后一种数组公式。

以我们的数据为例，I-A矩阵是：

注意这里对角线是“1减去直接消耗系数”，非对角线是“0减去直接消耗系数”，所以是负号。很多人在这一步看到负数会心里一慌，怀疑是不是算错了。没有，负号完全正常，因为把等式(I-A)X=Y展开后，非对角线上的那些项都带负号。

3.3 MINVERSE、MMULT与Ctrl+Shift+Enter

求矩阵逆矩阵，Excel提供了一个现成函数MINVERSE。它和普通的函数不太一样：普通函数返回一个单独的值，而MINVERSE返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入。

具体操作是：先选中一个与矩阵同样大小的空白区域。比如I-A矩阵在F6:H8区域，那么就在旁边选中一个3×3空白区域，然后在编辑栏输入：

=MINVERSE(F6:H8)

输入完之后千万不要直接按回车，而是按住Ctrl+Shift再按Enter。按下这个组合键后，Excel会在选中区域的所有单元格里填入逆矩阵的对应元素，并且公式栏里会出现一对大括号{ }，表示这是数组公式。

如果你用的是Excel 365或Excel 2021，新版的动态数组引擎允许你直接按回车，让结果自动溢出到旁边。但考虑到很多协作环境、旧版本兼容性问题，我还是建议养成按Ctrl+Shift+Enter的习惯。在别人模板里看到带花括号的公式，也不会因为不理解而手忙脚乱。

算完逆矩阵后，如果只是要验证算得对不对，就用MMULT验证乘法。比如验证(I-A)的逆矩阵真的是它的逆，应该让(I-A)×(I-A)^(-1)等于单位矩阵。方法是选中另一个3×3区域，输入：

=MMULT(F6:H8, MINVERSE的结果区域)

同样按Ctrl+Shift+Enter。如果结果是主对角线全为1、非主对角线全为0（或者因为浮点误差出现0.000000001这种极小数字），那就说明求逆没问题。

MMULT函数要求两个矩阵的维度匹配，左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数。对3×3矩阵来说刚好都匹配；对大表来说，做MMULT前要仔细检查区域的大小，不然会直接返回#VALUE!错误。

3.4 完全需要系数和完全消耗系数的区别，别把结果多讲了一个“1”

这是我在实际交流中反复遇到的一个混淆点。求逆得到的(I-A)^(-1)是列昂惕夫逆矩阵，通常叫完全需要系数矩阵。把它对角线的数字直接念给业务方听，很容易造成误解，因为对角元代表的是“本部门最终需求增加1单位时，本部门总的产出需要”，其中包含了对本部门产出的第一单位“初始需求本身”。

而完全消耗系数要减去单位矩阵I，也就是把那些“初始需求”扣掉，剩下的才真正是“消耗”的部分。

仍然用我们的例子验证一下。根据前面算出来的A矩阵，求逆后的列昂惕夫逆矩阵约等于：

那么完全消耗系数就等于这个矩阵减去单位矩阵：

可以看到，完全消耗系数的对角元素依然可以大于1，比如工业那行第2列是1.117。很多人看到这个数字会惊一下：“一个部门怎么会消耗超过1单位的自己？”实际上完全可能。因为生产工业品要消耗电力和各种工业中间品，而这些中间品在生产时又需要工业品作为投入，所有轮次加起来，对自身的总消耗完全可以超过1。

4. 一个完整的三部门算例：从原始表到两张系数表的全过程

4.1 录入原始数据并完成平衡核对

先把原始表完整录入Excel。我习惯把表放在名为“原始表”的第一个工作表里：

• A1输入“部门”
• B1:D1输入“农业”“工业”“服务业”
• A2:A4输入“农业”“工业”“服务业”
• B2:D4填入中间投入矩阵
• A5输入“最终使用”，B5:D5填入最终使用
• A6输入“总产出”，B6:D6填入总产出
• A7输入“增加值”
• A8输入“总投入”，B8:D8填入总投入
• A9输入“列平衡检查”

在B7单元格输入=B8-SUM(B2:B4)，也就是用总投入减去中间投入合计，看是否等于前面给定的增加值。这里如果填出来的结果和你预期增加值一致，说明列平衡没问题。行平衡也可以在F列加一个合计列，用SUM(B2:D2)+E2对比F2。

这个核对环节虽然看起来有点“多此一举”，但真实表格从系统里导出来时，常常会有精度问题、单位问题甚至漏行问题。早点发现，总比后面带着错误数据算完所有系数再回头找原因强。

4.2 直接消耗系数表的逐步操作

在“原始表”右侧或者新建一个“系数计算”工作表，我按下面步骤操作：

第一，在“系数计算”表的B2:D4区域生成直接消耗系数矩阵。B2输入：

='原始表'!B2/'原始表'!B$8

注意这里B$8是总投入所在行，不是总产出行。虽然两行数值一样，但逻辑上要清晰，建议用总投入行。

向右填充到D2，再向下填充到D4，得到前面展示的系数表。

第二，给系数表加一行“列合计”，在B5输入=SUM(B2:B4)，向右填充。检查三列合计都小于1，并且加上增加值系数后正好等于1。举个例子，农业列合计是0.2+0.267+0.133=0.6，农业增加值系数是60/150=0.4，两者相加为1。

这一步不仅验证了正确性，还让你对这张表的产业结构有一个直观认知：农业列合计0.6，说明农业产出的60%来自中间投入，40%来自增加值；工业列合计0.733，说明工业对中间投入的依赖更强。

4.3 完全消耗系数表的逐步操作与结果核对

接下来按第3节的流程——

第一步，在“系数计算”表里找一个空白区域，比如F6:H8，生成单位矩阵。可以直接手填，也可以用IF公式生成。我建议手填快速生成3×3单位矩阵。

第二步，在J6:L8构造I-A矩阵，J6输入=F6-B2，J7输入=F7-B3，逐个引用做减法，把九个格子都填完。得到上一节展示的I-A矩阵。

第三步，选中N6:P8区域，输入=MINVERSE(J6:L8)，按Ctrl+Shift+Enter，得到列昂惕夫逆矩阵。

第四步，选中R6:T8区域，输入=N6:P8-F6:H8，按Ctrl+Shift+Enter，得到完全消耗系数矩阵。

第五步，验证结果：可以选一块区域输入=MMULT(J6:L8,N6:P8)，按Ctrl+Shift+Enter，如果得到近似单位矩阵，说明整个过程没有出错。再检查完全消耗系数的每个元素，理论上都应该大于等于直接消耗系数里对应位置的元素。

我自己做完这套流程后，还会特别看一眼完全消耗系数表里工业对农业的系数0.567，然后对着直接消耗系数0.2想一下：多出来的0.367全是间接消耗，可见只看直接消耗系数会低估部门之间的真实关联强度。这就是为什么产业关联分析里，完全消耗系数往往比直接消耗系数更有决策参考价值。

5. 在多部门大表上实操，我踩过的坑和一些想提醒你的事

5.1 数组公式没按Ctrl+Shift+Enter，结果全是#VALUE!

MINVERSE和MMULT这两个函数我至少见过十次因为没按组合键而报错。现象是：选区里只有第一个格有数字，其他全是#VALUE!，或者整个区域全部#VALUE!。

原因在于Excel的老版数组规则：MINVERSE期望的是一个数组上下文，如果没有按Ctrl+Shift+Enter，它只会在当前单元格尝试返回一个数组的第一个值，但因为没有数组上下文，计算就失败了。

解决方法是点击编辑栏，重新按一遍Ctrl+Shift+Enter。新版Excel 365可以按回车直接溢出，但如果你在做一些兼容性要求高的模板，我还是建议保留数组公式的习惯。另外有一个小技巧：如果你在协作中收到一份同事发来的表格，里面MINVERSE区域显示#VALUE!，第一步就检查公式栏有没有那对大括号。

5.2 MINVERSE选区大小不对，要么结果残缺要么冒出#N/A

MINVERSE要求所选区域必须和矩阵维度完全一致。3×3矩阵就选3×3区域，如果你不小心选了3×4，多出的第4列单元格会返#N/A；如果选了2×3，结果只有前两行，看起来好像“算出来了”，其实残缺。

实际大表操作时，我建议先确认矩阵区域的行列数，再用鼠标精确框选同样大小的区域，最后输入公式。为了减少这种低级失误，我还有一个习惯：在矩阵区域旁边放一个=ROWS区域和=COLUMNS区域，确认维度后再求逆。

5.3 直接消耗系数行列转置的“经典翻车”

投入产出表中矩阵的表示方式全世界并不完全统一。有些资料里直接消耗系数矩阵A的写法是横行为消耗部门、纵列为被消耗部门，跟Excel默认的“行为投入、列为产出”方向相反。如果照搬公式求逆，虽然INF函数不会报错，但算出来的完全消耗系数矩阵是原矩阵的转置，经济解读就完全错了。

判断方向的方法很简单：直接消耗系数矩阵每一列的“生产消耗别人”的视角，必须和中间投入矩阵保持一致。原始表里第Ⅰ象限的x_ij怎么排，A矩阵就怎么排。如果你习惯用行合计等于1检查，那是行方向不同；用第2节说的“每列和小于1”才对应正确的列方向。这是我反复强调这条检查规则的原因，它不止是验算，更是方向判断的依据。

5.4 用小数位偷懒导致的连锁误差

Excel里显示的小数位数和实际上存储的小数位数是两回事。如果你只保留2位小数放到I-A矩阵里，比如0.07、-0.27这种，求逆时Excel用的是你输入的实际数值，但看起来很有迷惑性，最终结果可能会和用完整精度算出来的有显著差异。

要避免这个问题，在构造I-A矩阵时不要手动“抄数字”，而是直接引用直接消耗系数单元格。比如第4节的操作里，I-A矩阵的每个单元格都用=F6-B2这种公式引用，而不是把0.8、-0.2这种数值敲进去。这样即使你设置了小数显示格式，底层计算仍然是完全精度。

5.5 从三部门扩展到42部门甚至153部门时的操作建议

官方投入产出表最常见的规模是42部门，近年还有153部门的细分表。42×42的矩阵在Excel里跑MINVERSE完全没问题，但153×153矩阵求逆会有明显的计算压力，文件也会变得很卡。这时候我再建议你考虑一下别的工具，比如用Python的NumPy做同样的运算，效率会高很多。Excel适合教学、小规模测算和快速验证，一旦进入部门特别多、需要反复调整数据的场景，还是要果断换工具。

另外，在42部门大表上操作时，纯手工一个一个引用I-A矩阵的单元格会非常痛苦。我的做法是：

• 选中与A矩阵同样大小的区域，输入=单位矩阵区域-A矩阵区域，按Ctrl+Shift+Enter一次性生成I-A矩阵。
• 然后选中同样大小的区域，输入=MINVERSE(I-A矩阵区域)，按Ctrl+Shift+Enter。
• 最后选中同样大小的区域，输入=逆矩阵区域-单位矩阵区域，按Ctrl+Shift+Enter得到完全消耗系数。

整个流程只有三条数组公式，对大表来说省时省力。唯一要注意的是，数组公式区域一旦建好，想改其中某一个单元格是不允许的，Excel会提示“不能更改数组的某一部分”。要修改就只能全选整个数组区域再按Delete删除重来。这个限制对大表很烦，所以我通常会在求逆之前把所有输入数据复核一遍，确保一次性算完。

5.6 关于结果的一个实操提醒

完全消耗系数的值一般会到小数后好几倍，比如列昂惕夫逆矩阵里的2.117。在向别人汇报时，建议使用“完全需要系数”和“完全消耗系数”两个词时保持表述一致。我看到过不少报告把列昂惕夫逆矩阵直接称作“完全消耗系数矩阵”，严格讲并不准确，少了减I那一步。自己清楚这点后，再去对照文献和教材，就不会被不同的名词搞晕。

如果后续你还要做影响力系数、感应度系数，或者把投入产出表跟就业、碳排放数据结合起来分析，这整套Excel流程就是你打下的地基。数据算得准，后面的延伸分析才站得住脚。