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每年到这个时间点，后台就会收到一波运筹学备考的消息。不是问“线性规划单纯形法最后一行怎么判最优”，就是问“运输问题用最小元素法求完初始解，位势法到底怎么算检验数”。我这份汇总就是把期末试卷和考研真题里反复出现的填空题、计算题按题型剥开，把答案和踩坑点一起放出来，题目不多，但每一道都值得动手做一遍。

这份整理适合三类人：一是考前突击、需要快速过一遍考点的同学；二是想检验自己复习质量、专门找题练手的人；三是已经工作但准备考非全、需要拾起运筹学基础的朋友。填空题部分覆盖了概念、图像性质、对偶理论、灵敏度分析、排队论这些“背了就有分”的点；计算题部分则集中在单纯形法、对偶问题、运输问题、指派问题和动态规划这几个必考大类。每道题我都尽量给出“解题过程+答案+为什么这么做”，不是单纯把答案堆在最后让你自己对。

先提醒一句：运筹学这门课，最忌讳的就是只看不练。你觉得自己看懂了单纯形法，闭上书试试从建模写到最优解表格，大概率在某一列上卡住。下面这些题，建议先拿纸笔做一遍，再对照答案看差异，这样收获完全不一样。

1. 试卷结构心里有数：各知识板块的出题权重与考察逻辑

运筹学考卷虽然学校不同，但出题套路相当稳定。一般来说，填空、选择这类小题占总分30%左右，计算题占60%以上，剩下是建模题或简答题。计算题里，线性规划纯属必考，要么直接考单纯形法计算，要么考对偶理论加灵敏度分析，这块在多数试卷里占20到25分。运输问题紧跟其后，大概率考一个产销平衡的求初始调运方案加位势法检验，15分左右。整数规划、图论、动态规划、排队论、存储论等板块中，学校会根据课时多少选两到三个来考。

不同知识板块的考察逻辑也很清晰。填空题侧重概念辨析与公式记忆，比如“满足约束条件和非负条件的解叫什么”“产销不平衡时要引进什么变量”，考的是你对定义是否精准；计算题则看你能不能把流程走完，比如单纯形法从初始可行解开始迭代，中间任何一步算错，后面最优解必然不对，但多数老师会按步骤给分，算出基变量、检验数这些中间结果也有分，所以过程一定不能省。

理解出题逻辑对复习方向很有帮助。我的建议是：先把线性规划和运输问题这两块练到“闭着眼都能算”的程度，再花时间背填空考点，最后处理其他计算题板块。因为线性规划和运输问题分值最重、题型最程序化，性价比最高。

2. 填空小题别忽略：背下这些高频考点就能稳拿基础分

填空题分值看似不大，但胜在数量多、覆盖面广。很多同学把精力全放在计算题上，结果填空题失分严重，非常可惜。下面这些是我从多套真题里筛选出的高频考点，每题都附答案和一句解析。

2.1 基础概念与模型辨析

题目1：在线性规划问题中，由所有约束条件和非负条件共同确定的变量取值范围，称为____。
答案：可行域（或称可行解集）。
解析：这里注意和“可行解”区分，可行域是集合，可行解只是其中的一个点。

题目2：若线性规划问题存在可行解，但其目标函数值无界，则称该问题____。
答案：有无界解（或无最优解）。
解析：考试经常会写成“无最优解”，阅卷时也算对。但严格说，教材先用“无界解”描述原因，再得出结论“无最优解”，答题时写后者更稳妥。

题目3：线性规划问题的标准形式中，目标函数一律转化为____形式，约束条件一律转化为____，且所有决策变量____。
答案：求最大值；等式约束（加松弛变量/减剩余变量后）；非负。
解析：标准形式的三要素：max、等式约束、变量非负，这是单纯形法计算的前提。如果题目给的是min，要转换成max再计算，转换方式是令z' = -z。

题目4：若线性规划问题存在最优解，则最优解必定能在可行域的某个____上达到。
答案：顶点（极点）。
解析：这是线性规划基本定理的结论。图解法中，最优解一定在交点处，就是顶点。这一条是填空题的钉子户。

题目5：线性规划问题中，若某一基变量取值为零，则称该基本可行解为____。
答案：退化的基本可行解（退化解）。
解析：退化问题在单纯形法迭代时可能导致循环，但考试一般只考概念。注意“退化解”是“基本可行解退化”，不是“可行解退化”。

2.2 对偶理论与影子价格

题目6：线性规划原问题有最优解，则对偶问题____有最优解，且两者最优目标函数值____。
答案：也一定；相等。
解析：这是对偶理论中的强对偶定理。考试填空题经常反过来考：如果原问题目标函数无界，对偶问题一定不可行。

题目7：影子价格的经济含义是指在其它条件不变的情况下，某种资源每增加一个单位，目标函数最优值所____的数量。
答案：增加（严格说，是相应增加的量，可正可负）。
解析：影子价格等于对偶问题的最优解（对偶变量），对应的是资源的边际价值。注意如果约束是“≥”类型，影子价格的含义有所不同，但基础题一般考察的是“≤”资源约束。

题目8：若原问题中某个约束条件为“≤”形式，则其对偶变量满足____约束。
答案：非负（≥0）。
解析：对偶变量符号与原问题约束方向有关。约束为“≤”且目标求max时，对偶变量≥0；约束为“=”时，对偶变量无符号限制。

2.3 运输问题与指派问题

题目9：在运输问题中，当总产量大于总销量时，可以通过增加一个____，使其转化为产销平衡问题。
答案：虚拟销地。
解析：虚拟销地对应的运价通常设为0，其销量等于总产量与总销量之差。虚销地运量在实际方案中代表某产地没有运出去的货物量。

题目10：运输问题中，用位势法计算检验数的原理是，若所有非基变量的检验数____，则当前调运方案为最优方案。
答案：都大于等于零（≥0，对于求最小费用问题）。
解析：这是运输问题最优性检验的核心结论。理解成“当前方案没有改进空间”即可，检验数小于0说明还有更省钱的调整方案。

题目11：指派问题的标准数学模型要求，每项任务只能由一人完成，每人只能承担____项任务，目标为总效率____。
答案：一；最大（或最小，看题目设定）。
解析：指派问题的系数矩阵是方阵，如果人数与任务数不等，需要添加虚拟的人或任务，对应效率设为0。

2.4 图论、排队论与动态规划

题目12：在M/M/1排队模型中，第一个M表示到达过程服从____，第二个M表示服务时间服从____，数字1表示____。
答案：泊松流（到达间隔为负指数分布）；负指数分布；只有一个服务台。
解析：这个题每年都有学校考。需要记住为什么叫“M”，是马尔可夫性的意思，说明过程无记忆性。

题目13：在动态规划中，某阶段的状态变量应具有____性质，即当前状态已能完全决定未来决策，与该阶段之前的历史无关。
答案：无后效性（马尔可夫性）。
解析：这是动态规划建模最核心的假设条件，也是判断一个问题能否用动态规划求解的重要依据。

题目14：网络图中，关键线路是总时差为____的工作线路，它决定整个工程的工期。
答案：零。
解析：关键线路上的工作一点都不能拖延，否则总工期延误。计算题中，求关键线路和总工期是重点。

这十几道填空题基本覆盖了期末考试的高频概念。你如果能把每道题涉及的章节都展开复习一遍，填空题的得分就有保障了。

3. 线性规划建模与单纯形法：从设变量到最优表一步步走

计算题的大头在线性规划。它有两种考法：一种是给你实际情景让你建模，另一种是直接给数学模型让你用单纯形法迭代求最优解。这两类我都给出一道典型题目，并把中间的迭代过程写清楚。

3.1 生产计划建模题与标准形式转换

题目：某工厂计划生产甲、乙两种产品。生产1件甲产品需消耗A原料3kg、B原料2kg，利润为50元；生产1件乙产品需消耗A原料2kg、B原料4kg，利润为60元。该工厂现有A原料120kg、B原料160kg。问应如何安排生产，使总利润最大？请建立线性规划模型。

这个题非常简单，但能完整体现建模的四个要素：决策变量、目标函数、约束条件、非负约束。设生产甲产品x₁件、乙产品x₂件，则模型为：

max z = 50x₁ + 60x₂

s.t. 3x₁ + 2x₂ ≤ 120
2x₁ + 4x₂ ≤ 160
x₁, x₂ ≥ 0

建模题的关键在于判断“约束条件”与“目标函数”哪个该放一边。很多同学容易把原料约束写反，其实记住一句话：受限制的写在约束条件里，要优化的写在目标函数里。资源消耗不能超过资源总量，这就是约束；利润要尽可能大，这就是目标。

进一步把它转换成标准形式，以备单纯形法使用。由于两个约束都是“≤”类型，引入松弛变量x₃、x₄，得到：

max z = 50x₁ + 60x₂

s.t. 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 120
2x₁ + 4x₂ + x₄ = 160
x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0

松弛变量x₃、x₄实际上表示被闲置的原料量，它的系数是1，目标函数系数为0，不影响利润。

3.2 单纯形法完整迭代：以两变量模型为例

很多人对单纯形法的印象是“表格特别多、符号容易搞混”，其实只要抓牢三个要素就行：基变量、进基出基规则、检验数。下面用一个更小巧的模型完整走一遍过程。

题目：求解线性规划问题

max z = 3x₁ + 2x₂

s.t. x₁ + x₂ ≤ 4
x₁ ≤ 2
x₂ ≤ 3
x₁, x₂ ≥ 0

先引入松弛变量x₃、x₄、x₅，标准形式为：

max z = 3x₁ + 2x₂

s.t. x₁ + x₂ + x₃ = 4
x₁ + x₄ = 2
x₂ + x₅ = 3
各变量 ≥ 0

初始基可行解：令x₁和x₂为非基变量（取0），则x₃=4，x₄=2，x₅=3，初始目标值z=0。初始单纯形表为：

检验数中最小的是-3，对应x₁，所以x₁进基。接着确定出基变量：用右端项除以x₁列正系数，4/1=4，2/1=2，x₅这一行x₁系数为0不参与比值，最小比值是2，对应x₄出基。主元是x₄行的x₁系数1。

进行一次高斯消去，让x₁列变成单位向量：保持x₁行不变，将x₃行减去x₁行，检验数行加上3倍x₁行。得到第二张表：

第二张表里检验数最小-2，对应x₂进基。比值检验：x₃行2/1=2，x₅行3/1=3，最小比值2，所以x₃出基。主元是x₃行x₂列的1。再次消去，x₂列变成单位向量：x₃行不变，x₁行减去x₃行（x₁行x₂系数为0，不用动），x₅行减去x₃行，检验数行加上2倍x₃行。结果：

所有检验数都≥0，迭代停止。最优解为x₁=2、x₂=2、x₅=1（松弛变量），最优目标值z=10。虚线上方的x₃=0、x₄=0说明两个资源约束都用满了，而x₅=1说明第三个资源x₂≤3还有1单位剩余。

考场建议：单纯形法的计算量不算大，但一定要规范列表格、标出主元。我见过太多同学代数不列检验数，靠心算是基变量的系数列还是非基变量的系数列，最后一步错得离谱。宁可多写一行，也不要跳步。

3.3 对偶问题与灵敏度分析常考形式

对偶问题是线性规划的一个独立考点，常与灵敏度分析一起出现。它的核心是对称关系：max问题对应对偶的min问题，约束方向和变量符号也有对应规则。

题目：写出下面线性规划问题的对偶问题。

max z = 4x₁ + 3x₂

s.t. x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + x₂ ≤ 15
x₁, x₂ ≥ 0

设对偶变量为y₁、y₂（分别对应原问题的两个约束），原问题目标为max、约束为“≤”，则对偶问题的目标为min，约束为“≥”，目标系数和约束系数矩阵互为转置。对偶模型为：

min w = 10y₁ + 15y₂

s.t. y₁ + 3y₂ ≥ 4
2y₁ + y₂ ≥ 3
y₁, y₂ ≥ 0

灵敏度分析的考点则是：某资源增加一个单位，最优目标值变化多少。答案就是该约束对应的影子价格，也就是对偶最优解。比如上面问题中，如果对偶最优解是y₁=1、y₂=1，说明第一资源量从10增加到11时，最优利润会增加1，第二资源同理。这类题不需要重新求解单纯形表，直接用互补松弛定理或读影子价格即可。

4. 运输问题与整数规划：方案寻找、最优性检验与指派问题

运输问题是每年计算题的重头戏，本质是一个特殊结构的线性规划。由于约束矩阵的特殊性，考试不让你用单纯形法，而是要求掌握表上作业法：先求初始调运方案，再用位势法检验，最后用闭回路调整。

4.1 最小元素法求初始方案，位势法验最优

题目：某产品有三个产地A₁、A₂、A₃，产量分别为120、180；销往三个销地B₁、B₂、B₃，销量分别为100、150、50。单位运价如下表，求使总运费最小的调运方案。

先检查产销平衡：总产量120+180=300，总销量100+150+50=300，产销平衡，可以直接用表上作业法。

最小元素法的思路是“哪个格子运价最低，就先尽量往哪个格子运”。运价表中最低运价有两个：A₁到B₃是5，A₂到B₁也是5，任意选一个先运。这里选A₁→B₃，运量为min(120,50)=50，于是B₃需求完成，A₁剩余70。此时把B₃列划去。剩余运价中最低为A₂→B₁的5，运量为min(180,100)=100，B₁需求完成，A₂剩余80。划去B₁列。剩余运价中A₁→B₂为6，A₂→B₂为7，选择A₁→B₂，运量为min(70,150)=70，A₁用完，B₂剩余80。最后A₂→B₂运80，A₂用完。

初始调运方案为：A₁→B₂运70，A₁→B₃运50，A₂→B₁运100，A₂→B₂运80。总运费 = 70×6 + 50×5 + 100×5 + 80×7 = 420 + 250 + 500 + 560 = 1730。

接下来用位势法检验。基变量个数为4个（应该等于m+n-1=2+3-1=4，恰好非退化），设行位势为u₁、u₂，列位势为v₁、v₂、v₃。对每个基变量有uᵢ+vⱼ=cᵢⱼ。令u₁=0，可解得：A₁→B₂：0+v₂=6得v₂=6；A₁→B₃：0+v₃=5得v₃=5；A₂→B₂：u₂+6=7得u₂=1；A₂→B₁：1+v₁=5得v₁=4。

然后计算非基变量的检验数σ=cᵢⱼ-(uᵢ+vⱼ)：A₁→B₁：8-(0+4)=4，A₂→B₃：6-(1+5)=0。由于所有检验数≥0，当前方案即为最优方案，最低运费1730。

这里有个细节：A₂→B₃的检验数为0，说明存在另一个最优方案，但目标值相同。考试阅卷时，只要运费正确、方案合理，一般都给满分。

4.2 当检验数出现负数：闭回路调整怎么做

如果检验数出现负数，说明当前方案不是最优。调整的方法是选检验数最小的非基变量进基，从该格子出发找闭回路，闭回路的偶数顶点上减去进基变量最小运量，奇数顶点加上同样运量，得到新方案。

举例来说，承接上题，如果某一非基变量检验数为-2，比如假设A₁→B₁检验数为-2（注意上题实际是4），那么从A₁→B₁出发，沿水平或垂直方向找基变量顶点，形成回路。假定回路顶点为A₁→B₁（进基）→A₁→B₂（基）→A₂→B₂（基）→A₂→B₁（基）→回到起点。奇数顶点运量分别为A₁→B₂的70、A₂→B₁的100，取最小70，于是进基变量A₁→B₁运量为70，回路奇数顶点减去70，偶数顶点加上70。这个调整过程虽然说起来简单，但考场上看错行列坐标的人非常多，我建议找回路时用笔把格子的行列号标出来，每走一步都确认是不是基变量格子。

4.3 指派问题：匈牙利法的步骤与计算实例

指派问题属于整数规划中的0-1规划特例。3个人完成3项任务的效率矩阵如下，求使总效率最大的最优指派方案。

题目：某班组有3名工人甲、乙、丙，需完成3项任务A、B、C。每个人完成不同任务的效率见下表，求总效率最大的指派方案。

匈牙利法一般处理最小化问题，最大化要先把矩阵转换为最小化。转换方式是取每行最大值（或矩阵最大值）减去该行元素，把它变成“损失矩阵”。这里每行最大值分别为8、8、7，转换后矩阵为：

甲：4 0 5
乙：1 2 0
丙：2 0 3

接着逐行找最小值并减去：第一行减去0，第二行减去0，第三行减去0，矩阵不变。然后逐列找最小值并减去：第一列min(4,1,2)=1，减去后第一列为3,0,1；第二列min(0,2,0)=0；第三列min(5,0,3)=0。得到：

甲：3 0 5
乙：0 2 0
丙：1 0 3

用最少的直线覆盖所有0元素，最少画线数为3（3行或3列时已覆盖），等于矩阵阶数，可以进行试指派。从只有唯一0的行开始：乙行只有一个0在A，所以乙→A；丙行有两个0在B和C，甲行只有一个0在B。先指派甲→B，丙→C，检查安排为甲→B、乙→A、丙→C，对应原效率8+7+4=19。还有另一种：丙→B、甲行就没有0可选？甲只有B，被丙占用则甲无法指派，所以不是最优。因此最优指派是甲→B、乙→A、丙→C，最大总效率19。

这个例子虽然简单，但能完整展示“移减去零→试指派”的逻辑。真正的考试题往往是4×4或5×5，试指派时可能遇到覆盖线数小于阶数的情况，那时需要继续做“无零元素的调整”步骤，本质上是在未覆盖元素中找最小值，重复减加操作。碰到这类题时记住：不要着急试指派，先确认画线数与阶数相等，否则一定漏了步骤。

5. 图、动态规划与排队论：三类常见计算题的代表性解法

这些板块在不同学校考频差别很大，但一旦考到，题型通常非常固定。这里各给出一道具有代表性的题目。

5.1 最短路问题：Dijkstra标号法

题目：求下图中从v₁到v₆的最短路，图中各边权值已标出：v₁→v₂权2，v₁→v₃权5，v₂→v₃权1，v₂→v₄权6，v₃→v₄权4，v₃→v₅权3，v₄→v₅权1，v₄→v₆权5，v₅→v₆权2。

Dijkstra标号法的做法是给每个顶点维护一个当前最短距离标号，每次从未标号的顶点中选距离最小的那个，更新它邻接顶点的距离。迭代过程如下：

初始：d(v₁)=0，其余顶点标为∞。第一轮选v₁，更新v₂为2，v₃为5。第二轮未标号中最小是v₂（距离2），选择v₂，更新v₃为min(5, 2+1)=3，更新v₄为2+6=8。第三轮未标号最小是v₃（距离3），更新v₄为min(8, 3+4)=7，更新v₅为3+3=6。第四轮未标号最小是v₅（距离6），更新v₄为min(7, 6+1)=7，更新v₆为6+2=8。第五轮最小是v₄（距离7），更新v₆为min(8, 7+5)=8。最终v₆最短距离为8。对应的最短路有多条，比如v₁→v₂→v₃→v₅→v₆，距离2+1+3+2=8。

Dijkstra的适用条件是边权非负，考试图题基本都满足。考场容易错在“更新顺序”上：一定要先选当前最小标号点，再用它去更新，而不是按顶点序号顺序更新。

5.2 动态规划：资源分配/背包问题

题目：用动态规划求解下列背包问题：背包容量为10，有3件物品，重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6，每件物品最多取1件，求最大总价值。

动态规划的核心是定义状态、状态转移方程和边界条件。设f(k, c)表示“考虑前k件物品、容量为c时的最大价值”。状态转移方程为：

f(k, c) = max{ f(k-1, c), f(k-1, c-w_k) + v_k }，前提是c≥w_k

填表过程：第一件物品（w=3, v=4），容量0~2取0，容量3~10取4。第二件物品（w=4, v=5）：容量0~2取0，容量3取4，容量4~6可以取max(4, 0+5)=5（其中容量4、5取5；容量6取5），容量7~10可以取max(4, 4+5)=9（7时取前一件加第二件，4+5=9）。第三件物品（w=5, v=6）：容量0~2取0，容量3取4，容量4取5，容量5~6取max(5,0+6)=6，容量7~8取max(9, 4+6)=10，容量9~10取max(9, 5+6)=11。所以最优总价值为11，对应选择第二件和第三件（价值5+6=11），总重量4+5=9，不超过容量10。

这类题的得分点在于写出阶段、状态、决策、状态转移方程和最终表。就算填表数字算错，方程写对也能拿到大半过程分，所以千万别只写答案不写方程。

5.3 排队论：M/M/1模型的基本指标

题目：某售票窗口顾客到达服从泊松流，平均每小时到达12人；服务时间服从负指数分布，平均每小时服务20人。求：系统空闲的概率、平均队长、平均等待时间。

M/M/1模型的关键参数是服务强度ρ=λ/μ。λ=12人/小时，μ=20人/小时，ρ=12/20=0.6。系统空闲概率P₀=1-ρ=0.4。平均队长Lₛ=ρ/(1-ρ)=0.6/0.4=1.5人。平均等待时间W_q = L_q/λ，而平均等待队长L_q = ρ²/(1-ρ)=0.36/0.4=0.9人，所以W_q=0.9/12=0.075小时=4.5分钟。如果需要平均逗留时间Wₛ = 1/(μ-λ)=1/(20-12)=0.125小时=7.5分钟。

这个题的易错点是把队长和等待队长搞混。平均队长Lₛ包含正在接受服务的那个顾客，而平均等待队长L_q只包含排队的人。考试时先写公式再代数字，避免最后答案对不上公式时丢分。

6. 考场实战策略：计算题的表格规范与时间分配

计算题能不能拿高分，很大程度取决于考场上的书写规范。单纯形法、运输问题、指派问题、动态规划填表这几类都有标准步骤，评卷时按步骤给分。我整理了几条实操建议，都是自己在考试和辅导中总结出来的。

第一，每次迭代都完整列出单纯形表，并在表中标出主元行、主元列和主元。这样即使最后最优解算错，阅卷老师也能看到你迭代逻辑正确，过程分不会少。不要跳步去合并表格，那种写法风险很大，一步手滑整表作废。

第二，运输问题的初始调运方案画表时，注意标记哪行哪列已被划去，基变量数量要等于m+n-1。如果没有达到这个数量，说明出现了退化，需要把运量为0的格子当成基变量格子补足，否则位势法会出现解不出位势的情况。很多同学就是在这里卡壳的。

第三，动态规划题中状态转移方程一定要放在显著位置。阅卷人往往先扫方程再看表格，方程对了，表格个别数值有误也能拿到大部分分。计算最短路时，建议在每个顶点旁标一个“当前最短距离+前驱”，最后回溯路径时可以直接看清楚。

第四，关于时间分配。我建议根据分值倒推时间：假设卷面满分100、考试时间120分钟，大概1分对应1.2分钟。线性规划大题给20分，就留20到25分钟，不要因为它出现在第一题就恋战。填空、选择最多半小时内做完，不会的先跳过，计算题优先做最熟练的题型。先把能拿的分稳稳拿到，再回头抠难题。

第五，考试时准备一张草稿纸专门做“计算复核”。比如单纯形表的行变换，每次消元后用“原行加主元的倍数”重新算一遍检验数，或者运输问题算完总费用再按原始运价表手算一遍，这能筛掉至少一半的算术错误。运筹学的计算本身不难，丢分基本都是粗心造成的。

这类考试里还有一个常见的隐性陷阱：题目给的是“利润最大化”但表格里却是“费用”，或者给的是“最大运输量”却要求“最小运费”。读题时花十秒钟确认目标方向，比做完一堆计算才发现方向反了要划算得多。做题时把“max”或“min”圈出来，就等于给全卷加了一层保险。

运筹学复习到最后，拼的不只是谁公式背得熟，而是谁能把流程完整、规范地写出来。把上面这些题从“看懂”变成“会算”，再变成“算得又对又快”，考试基本就稳了。如果你手里有哪道题反复做不对，多半是中间某步流程有遗漏，回头对照标准步骤，比盲目刷十道新题更管用。