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本研究在高分辨率多模态连接组上构建的图神经场模型，能够在从谐波到介观的广泛时空尺度上，同时精准捕获fMRI谐波功率谱与MEG时间功率谱。这不仅系统性地将图神经场建模的应用范围拓展到了统一的谐波-时间域，并深入到介观尺度，更为理解脑结构、动力学与功能之间的复杂关系提供了新的洞见。（🔗点击文章底部阅读原文获取原文和相关资源）

摘要

本研究在高分辨率多模态人类连接组数据上，系统评估了一个图神经场模型的性能与应用。该模型耦合了Wilson-Cowan神经群方程与波扩散方程，能够在宏观时空尺度上同时捕获功能磁共振成像(fMRI)的谐波功率谱和脑磁图(MEG)的时间功率谱。此外，模型还展现出一些对健康脑功能至关重要的动力学特性(例如接近不稳定性和长程时间相关性(LRTCs))，而这些特性并非模型在设计或优化时预先设定的目标。进一步分析发现，这些LRTCs出现在特定的时间频段，在皮层表面呈现出清晰的空间定位模式，并与结构连接有关，其中长程白质纤维束发挥了独特作用。综上所述，这些发现拓展了图神经场在多模态神经影像数据建模中的应用范围。

引言

人脑动力学由皮层几何与结构连接共同塑造，其中长程白质纤维束发挥着独特作用。耦合神经集群网络和连续神经场等数学模型，为理解脑结构与功能之间的关系搭建了桥梁。神经活动的某些特定属性，例如接近不稳定性和长程时间相关性(LRTCs)，被认为对维持健康脑功能至关重要。近年来，图论概念(如图拉普拉斯算子)的引入，已经发展为神经影像数据建模与分析的一种有效手段。基于图拉普拉斯算子的模型已在结构连接组上实现，并分别用于捕捉功能磁共振成像(fMRI)的空间特征或脑磁图(MEG)的时间特征。

本研究在一个高分辨率多模态人类连接组图谱上实现了Wilson-Cowan图神经场模型(图1)。针对每个个体大脑，结构连接组的图拉普拉斯算子通过结合一个约含20000个节点的皮层表面网格和一个约含10000条白质纤维束的数据构建而成，前者来自解剖磁共振成像(MRI)，后者来自弥散张量成像(DTI)。因此，该图拉普拉斯算子同时捕获了皮层表面的几何结构，以及沿白质纤维束传导的长程连接。在此基础上，神经活动按照同步进行的波动和扩散动力学传播，并通过图拉普拉斯算子进行解析求解。

图1.图神经场模型示意图。

材料与方法

图拉普拉斯算子

图拉普拉斯矩阵为图拉普拉斯算子提供了一种类比，其特征向量则对应图上的傅里叶基。借助图拉普拉斯特征向量，可以高效实现具有对称核的卷积，并求解图上的微分方程，比如本文中的阻尼波动方程；这反过来又能对神经元活动的传播核进行建模。此外，图拉普拉斯矩阵可以对线性(或线性化)且空间参数无关的图方程进行对角化，从而在图傅里叶域中完成计算高效的数值模拟。这里，距离加权的结构连接组图拉普拉斯算子Δ、其特征向量𝑈以及对角特征值矩阵Λ定义如下：

其中𝐴和𝐷分别为图邻接矩阵和对角度矩阵：

𝑑𝑖𝑗是节点间连接距离的度量。在此，每个个体连接组的图邻接矩阵，通过结合从解剖MRI获得的皮层表面网格边和从DTI获得的白质纤维束来构建。其中，MRI边以其连接节点间的欧氏距离进行加权；DTI边则按相应纤维的路径长度除以速度因子50来加权。

既往研究已经使用过由二值邻接矩阵构建的未加权图拉普拉斯算子，但这种算子无法保留皮层的几何结构信息，也未考虑白质纤维上活动传播速度的差异。局部几何结构和长程连接都对脑动力学的塑造起着关键作用，而这两者的改变均可影响图神经场的动力学。因此，在建模研究中，选用经过适当距离加权的图拉普拉斯算子更为合适。

图神经场模型

Wilson-Cowan图神经场模型定义为：

该模型包含两个相互作用的群体(兴奋性和抑制性)，具有衰减、由sigmoid介导的活动传播以及噪声。这里采用白噪声来扰动稳态，原则上也可使用有色噪声。符号说明见表1，关于纯扩散活动传播下该模型的线性稳定性分析与模拟也参见该表。

表1.Wilson-Cowan方程中符号的意义。

在本研究中，活动传播同时遵循扩散和波动动力学，即活动传播核𝐾是图上阻尼波方程的解：

其中Δ为图拉普拉斯算子。在图傅里叶域中，初始条件

，解为：

以及

其中Λ为图拉普拉斯特征值的对角矩阵。

谐波-时间功率谱的解析预测

连接组谐波时空频谱分析(CHAOSS)提供了图神经场谐波-时间功率谱的解析预测。简言之，对于给定参数集，通过求解模型稳态方程获得齐次稳态。稳态的线性稳定性通过雅可比矩阵特征谱𝜆𝐽进行评估。若雅可比矩阵对应于稳定状态(Re(𝜆𝐽)𝑚𝑎𝑥<0)，则可获得稳态附近噪声诱发的二维谐波-时间功率谱解析预测。由于整个过程只需计算解析表达式，CHAOSS可近乎瞬时地提供模型功率谱的预测，避免了计算密集的数值模拟需求，并支持高效的数据驱动参数优化。

传统方法推导的一维时间或空间/谐波功率谱，普遍存在一个局限：缺失另一个维度的信息，功率在该维度上被聚合了。在单独观察一维频谱时，某些频率或谐波处出现的功率峰值可能并不明显。而建模方法的优势(尤其是CHAOSS所提供的谐波-时间功率预测)在于能够在空间和时间两个尺度上同时分解功率。这有助于识别那些用其他方式难以发现的特定空间尺度或频率。将数学建模与针对特定时空尺度的成像手段相结合，就能进一步考察经验数据中是否也存在类似的效应。

谐波功率谱

连接组图上时间过程的谐波功率谱，按标准定义计算如下：

其中，𝑈𝑇是图拉普拉斯特征向量矩阵，用于实现图傅里叶变换，𝑥(𝑡)是时间过程。

模型参数优化

每个参与者的最优模型参数集以数据驱动的方式获得，通过优化模型参数使得CHAOSS预测的谐波功率谱近似fMRI数据的谐波功率谱，其时间功率谱近似MEG数据的时间功率谱。观测模型是模型兴奋性和抑制性功率谱的线性组合(Model=𝛽0𝐸+𝛽1𝐼+𝛽2)。优化通过Nelder-Mead和差分进化算法迭代完成。

线性稳定性分析

接近不稳定性可通过计算雅可比矩阵特征谱𝜆𝐽进行解析评估。系统对扰动的线性稳定性取决于主导雅可比特征值，即(Re(𝜆𝐽)𝑚𝑎𝑥)。主导特征值实部为负表示稳定稳态，实部为正则表示失稳。非零虚部表示对扰动的振荡响应。在先前拟合经验功率谱得到的最优参数附近，系统改变各参数，可以揭示状态稳定性如何随模型参数变化。本研究通过系统地改变所有模型参数并检测主导特征值的显著变化或符号翻转来识别稳定性的关键决定参数。为便于可视化，本研究选择了所有参与者中总体最敏感的5个参数(𝑃𝐸, 𝑃𝐼, 𝛼𝐼𝐸, 𝛼𝐼𝐼,𝑑𝐼)，并在最优拟合值附近进行一维参数扫描。必要时，通过延拓跟踪稳态，并检测主导特征值实部的过零点。这些过零点标记了稳定性的变化，每个过零点处参数值相对于最优拟合值的偏差，量化了系统对该参数变化的稳定裕度。

数值模拟

线性化模型方程的数值模拟在图傅里叶域中进行，总时长600s，时间步长𝛿𝑡=5×10−5𝑠，噪声幅度𝜎=10−7。模拟活动被降采样至500Hz用于去趋势波动分析。

去趋势波动分析

去趋势波动分析(DFA)是一种评估时间序列中长程时间相关性的常用方法，其指数通过对数-对数空间中波动幅度随窗口大小增加的线性拟合斜率获得。本研究的DFA 窗口范围为2-30s。不同频带的振荡包络使用有限脉冲响应(FIR)滤波提取，随后进行希尔伯特变换。由于滤波本身会引入虚假的时间相关性，因此将兴奋性和抑制性模型活动的DFA指数分布，与时长和样本数相同、且经过同样滤波的白噪声信号的 DFA 指数分布进行比较。这一比较可确保观测到的长程时间相关性显著区别于滤波必然引入的相关性。alpha频率的边界根据个体参与者alpha功率峰值的位置来确定，该位置在个体间存在差异。DFA 分析在以下频带进行：delta、theta、alpha、beta、gamma。

结构连接

节点度定义为该节点在图邻接矩阵中的行和。在连接组图拉普拉斯算子的背景下，邻接矩阵元素与节点间距离的平方成反比，因此节点度衡量的是图中每个节点的结构连接总量。总体连接的节点度基于完整的邻接矩阵计算，该矩阵同时包含MRI和DTI的边；MRI连接的节点度仅基于解剖皮层表面网格衍生的边；DTI连接的节点度则仅基于白质纤维束的边。

数据处理

结构磁共振成像、弥散张量成像、功能磁共振成像时间序列和脑磁图数据的时间功率谱来自人类连接组计划数据集。Freesurfer原生皮层表面网格在保留个体解剖结构的前提下被降采样至约20000个节点。白质纤维使用python包dipy中的标准纤维追踪流程构建。从人类连接组计划数据集中获取经过后处理的静息态血氧水平依赖(BOLD)fMRI时间序列，随后重采样至相应参与者的连接组图上，并去除均值。

结果

模型同时捕获fMRI和MEG的谐波-时间频谱

时空频谱连接组谐波分析(CHAOSS)能够解析预测图神经场的谐波-时间功率谱，描述噪声引起的稳态涨落在连接组谐波(即图拉普拉斯特征模)和时间频率上的功率分布。在所有参与者中，兴奋性和抑制性功率谱在低谐波特征模上均表现出一个明显的alpha频段峰值(图2a，上下两行)，而个体变异性在中高特征模上更为突出。兴奋性功率通常在较高的时间频率上得以维持，而在较高的特征模上迅速衰减(图2a，上)。抑制性功率在较高的时间频率上迅速衰减，但在低时间频率、中高特征模上出现另一处功率增强，且呈现个体差异化的模式(图2a，下)。

图2：图神经场模型在个体参与者中捕获fMRI谐波功率谱和MEG时间功率谱。

一维谐波功率谱和一维时间功率谱的解析预测通过将二维频谱沿另一维度积分得到，并经数值模拟验证(图2b-c)。在谐波域(图2b)，兴奋性功率通常随特征模增大而降低，呈近似对数-对数线性(幂律)衰减，跨越多个数量级。抑制性功率起初也随特征模增大而下降，直至中等特征模，随后在高特征模处出现另一处功率增强，且呈现个体差异化的模式。在时间域(图2c)，兴奋性功率显示出明显的alpha频段峰值，并在alpha附近保持相近的功率水平。相反，抑制性功率大体随频率增加呈近似对数-对数线性(幂律)衰减，仅在alpha频段有轻微的正向偏离。值得注意的是，抑制性活动在低谐波特征模上确实存在一个显著的alpha功率峰，这可在二维抑制性功率谱中观察到(图2a，下)。然而，在一维时间功率谱(图2c)中，抑制性的低谐波alpha峰被高特征模低频功率所掩盖。这个例子说明，CHAOSS 的二维谐波-时间频谱预测能够揭示那些仅凭一维频谱难以发现的非平凡时空关系。

谐波频谱和时间频谱可分别与相应领域中具有高分辨率的多模态经验观测数据进行比较，例如fMRI和MEG，从而对模型在空间和时间上的动力学施加严格的约束(图2d-e)。在本研究中，个体参与者的模型参数通过数据驱动方式获得，即将静息态fMRI谐波功率谱(特征模1-104)和静息态MEG时间功率谱(频率1-40Hz)拟合为兴奋性和抑制性功率谱的线性组合。结果发现，该模型能够在广泛的空间和时间尺度上同时且准确地再现fMRI谐波功率谱(图2d，平均相关系数：0.86)和MEG时间功率谱(图2e，平均相关系数：0.97)，并能够解释个体变异性。例如，参与者p5的MEG数据中alpha峰相对较弱(图2e)，模型则通过较弱的兴奋性alpha峰和较高的整体抑制性功率来捕获这一特征(图2c)。

模型动力学接近不稳定性

在整体稳定范围内，接近不稳定性被认为是健康脑动力学的一项功能相关属性。对于给定的参数集和稳态，稳定性可通过计算雅可比矩阵特征谱的最大实部进行解析评估。若Re(𝜆𝐽)𝑚𝑎𝑥<0，则该状态对噪声引起的扰动是稳定的，反之亦然。随后，通过系统性地改变模型参数来表征模型相对于参数变化的接近不稳定性程度。在所有参与者中，本研究发现至少有一个参数在变化小于其拟合值0.05%时即可引发不稳定性(图3a)。总体上最敏感的方向(即足以驱动不稳定性所需的最小相对变化)为：增加𝑃𝐸(至兴奋性群体的外部输入)、降低𝑃𝐼(至抑制性群体的外部输入)、降低𝛼𝐼𝐸(抑制性至兴奋性的增益)、增加𝛼𝐼𝐼(抑制性至抑制性的增益)以及增加𝑑𝐼(抑制性活动的衰减率)。参数变化的响应在参与者之间总体一致(例如，增加𝑃𝐸会使所有参与者的状态失稳)；然而，由参数变化引起的稳定性曲线的形状和斜率因个体而异。例如，参与者p5状态尤为稳定，因而需要更大的参数变化才能使其稳态失稳(图3a，p5分图；注意与其他参与者相比，其斜率更平缓，稳定性穿越点距拟合值更远)。这与该参与者功率谱中观察到的模式一致：兴奋性及MEG alpha功率相对较弱，而抑制性功率较高(图2c)。

图3：最优模型动力学接近不稳定性。

在连接组上进行的数值模拟显示出广泛的、性质多样的动力学特征，包括与功能和行为相关的长程时间尺度。图3b展示了同时发生于不同连接组节点的兴奋性(红色)和抑制性(蓝色)活动的示例。alpha振荡的振幅在多秒时间尺度上变化，在某些节点中十分显著(图3b，上图)。其他节点则呈现出alpha振荡与更高频率混合的模式(图3b，中图)。在某些情况下，模拟活动，尤其是抑制性活动，会在较长时间内(1-2s)保持在其稳态值以上或以下(图3b，下图)。接近不稳定性也通过数值模拟得到验证。图3c展示了在图3b相同节点上，在箭头标记的时间点将参数𝑃𝐸增加0.05%的效果。与基于雅可比特征谱获得的解析预测一致，alpha振荡的振幅无界地增加，表明系统进入失稳状态。

模型活动显示出长程时间相关性

长程时间相关性(LRTCs)被认为是健康脑动力学的一项功能属性。去趋势波动分析(DFA)是是评估时间序列中LRTCs存在与否的常用方法。本研究对每位参与者数值模拟活动中连接组的每个节点应用DFA，分析宽带信号及不同频段包络，DFA窗口范围为2-30s。从模型活动估计获得的DFA指数与经过相同滤波处理、具有相同持续时间和样本数量的白噪声信号进行比较(Fisher置换检验，10⁶次置换，Bonferroni校正，12次比较，单侧)。兴奋性和抑制性活动在宽带信号中均显示出显著的LRTCs(图4a)，但二者在频率起源和皮层模式上有所不同。兴奋性LRTCs主要源自alpha频段，且集中分布在枕叶和额叶区域(图4a-b)；抑制性LRTCs主要源自delta频段，并广泛分布于整个皮层(图4a-c)。这些结果表明，兴奋性和抑制性模型动力学均能够在较长的时间尺度(2-30秒)上保留信息，但实现方式不同——一个通过alpha频段、呈现局域化空间特征，另一个通过delta频段、呈现分布式空间特征。由于每位参与者均可获得连接组范围的DFA指数分布，因此也可在个体水平上评估统计显著性。对于宽带、delta抑制性和alpha兴奋性DFA指数分布，所有参与者在与样本、持续时间和滤波匹配的白噪声进行比较时，均达到个体水平的显著性(Mann-Whitney U，单侧，𝑝 < 0.01)。

图4：模型活动在宽带、抑制性delta和兴奋性alpha频段显示出长程时间相关性，并具有独特的皮层模式以及与结构连接的非平凡关系。

接下来，本研究考察了LRTCs与结构连接之间的关系，此处结构连接以节点度(结构连接组图邻接矩阵的行和或列和)来度量(图4d-e)。由于此处的结构连接组同时包含MRI皮层表面边和DTI长程白质纤维束，因此可以分别考察MRI连接与DTI连接的贡献有何不同。MRI连接还可进一步区分为同时具有DTI边的节点子集与不具有DTI边的节点子集。研究结果发现，兴奋性alpha LRTCs与结构连接之间呈现倒U形关系(图4d，左)，具有一个清晰的峰值，最强LRTCs出现在中间连接值处。DTI连接似乎是塑造结构-LRTCs关系的主要因素，对兴奋性alpha LRTCs在中等连接处的最大值和高连接处的最小值均有贡献(图4d，中)；而MRI连接主要在中低连接值处贡献了一种近似对数-线性的正相关关系(图4d，中)。在这些节点子集中，MRI连接与兴奋性alpha LRTCs之间的关系表现相似，在具有DTI连接的节点中可能略微平坦(图4d，右)。抑制性delta LRTCs与结构连接之间最初呈现递增关系(图4e，左)，最强的LRTCs出现在中等连接性水平，而在高连接性水平时趋于饱和或略微下降。值得注意的是，抑制性delta LRTCs在高连接性时并未像兴奋性alpha LRTCs那样降至最低点(图4d，左)。这表明，抑制性delta模型的LRTCs仅需达到一个普遍的连接性阈值即可出现，且在该阈值之上保持相对稳定；而兴奋性alpha LRTCs则在中等连接性水平时特别增强。当分离DTI和MRI的贡献时，抑制性delta LRTCs与DTI连接之间的关系在形态上与兴奋性alpha中所见相似，但其在高连接性水平处的下降幅度更为平缓(图4e，中)。MRI连接性再次成为中低连接性水平下这种正性、近似对数线性关系的主要驱动因素(图4e，中)。有趣的是，MRI连接与抑制性delta LRTCs之间的正性对数-线性关系主要见于不具有DTI连接的节点，而在具有DTI连接的节点中，这种关系几乎不存在(图4e，右)。

结论

本研究证实，在个体高分辨率多模态连接组上构建的、整合波-扩散活动传播机制的Wilson-Cowan图神经场模型，能够在从谐波到介观的广泛时空尺度上，同时精准捕获fMRI谐波功率谱与MEG时间功率谱。模型自发涌现出接近不稳定性与长程时间相关性等在功能上至关重要的健康脑动力学属性，且这些属性并非预设的目标，为其与真实脑动力学的一致性提供了有力支持。本研究发现，兴奋性与抑制性活动的长程时间相关性源于不同频段，展现出独特的皮层拓扑模式，并与结构连接非平凡关联，揭示了特定长程白质纤维束的特异性贡献。这些发现表明，白质架构远非仅是连接宏观脑区的静态连接通路，而是与皮层几何协同，在塑造多尺度神经动力学与功能中扮演着关键角色。借助图拉普拉斯算子带来的解析可解性，本研究所构建的框架不仅系统性地将图神经场建模的应用范围拓展到了统一的谐波-时间域，并深入到介观尺度，更为理解脑结构、动力学与功能之间的复杂关系提供了新的洞见。

参考文献：Marco Aqil; Brain space-time: graph neural fields capture multimodal spectra and functional properties of brain dynamics. Network Neuroscience 2026; doi: https://doi.org/10.1162/NETN.a.598