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简介：NSM-MadDE算法是一种融合自然选择机制（NSM）与模态感知差分进化（MadDE）的改进智能优化算法，主要面向具有频率约束的多模态特拉斯（桁架）结构优化问题，适用于存在多个全局最优、算法易陷入局部极值的复杂工程场景，也可为电力系统频率控制等衍生问题提供求解参考。压缩包共包含18个.m源文件，整体仅21KB，代码结构分明，主程序、自然选择算子、适应度评估、频率约束处理及参考信号生成等环节均独立成模块，并预置72杆、10杆、37杆、200杆、52杆等典型桁架算例的模态分析数据与运行脚本，便于直接执行和对比不同规模下的优化表现。目前已有77人学习，虽然体量小但完整度高，既适合初学者读懂NSM与DE的协同机制，也能帮助研究人员快速复现实验结果、替换目标函数或扩展新的约束条件。通过研读这份源代码，读者可以掌握在差分进化框架中利用自然选择维持种群多样性、同时满足频率约束的关键实现细节，为后续算法改进或实际工程应用提供扎实基础。

1. NSM-MadDE算法到底是什么：先想清楚它要治什么病

NSM-MadDE算法不是一个全新的优化框架，而是把差分进化（DE）里的“自适应变异”和“小生境洗牌机制”揉在一起的一种进化算法变体，前面那个NSM，我按这类论文最常见的读法把它理解为Niche Shuffling Mechanism（小生境洗牌机制），MadDE是Modified Adaptive Differential Evolution（改进型自适应差分进化）。很多朋友拿到matlab实现包，直接跑一遍发现收敛曲线还行，但换个复杂目标函数就翻车，根本原因是没搞懂这个算法的核心并不在变异公式，而在“每隔一段迭代把种群打散重组”的洗牌动作。这篇文章就把这个机制讲透，然后给出我习惯在matlab里落地的一套最小复现框架，以及调参与排错的完整路径。适合做参数辨识、结构优化、路径规划这类目标函数可写成单目标标量的工程寻优问题。

2. 先看懂NSM-MadDE的结构：洗牌机制、自适应变异与选择压力怎么耦合

2.1 从DE到MadDE：变异尺度为什么要自适应而不是写死

标准差分进化里的DE/rand/1变异是这样一个式子：新个体等于一个随机基向量加上变异尺度F乘以两个随机差向量。基础版本里F是个常数，比如0.8，而常数F恰恰是很多人第一次跑DE失败的原因。F太大会让个体在最优解附近跳来跳去，收敛精度上不去；F太小，种群前几十代就抱成一团，后面根本走不出局部峰。

MadDE的做法是让每个个体都有自己的变异尺度F_i，并且这个F_i随迭代进程逐步收缩扰动幅度。我一般会这样写自适应规则：

% g：当前迭代代数，MaxIter：最大迭代代数 shrink = (1 - g / MaxIter); F_i = F_base + alpha * randn(1, 1) * shrink; F_i = min(max(F_i, 0.2), 1.2);

这段代码的意思是：每个个体在基础F_base附近做高斯扰动，扰动幅度随着迭代次数增加而收窄。alpha控制扰动强度，我通常取0.2。之所以要这样做，是为了让算法前期保持较大的探索步长，后期把注意力收回到当前最优附近做精细搜索。如果写成常数F，算法就退化成普通DE，“自适应”三个字就没有落在实处。

变异公式也要跟着改。MadDE里常见的是current-to-best变体，直接把全局最优拉进变异式：

v = x_i + F_i * (x_best - x_i) + F_i * (x_r1 - x_r2);

对比标准DE/rand/1，这个式子多了一项x_best减去x_i的引导项。这一项的作用是让每个个体都被全局最优“拽”着走，收敛速度明显加快。代价是种群多样性下降得更快，所以才需要NSM洗牌机制来对冲，这就是为什么这个算法要把两件事放在一起，单独拿出任何一个都只是半个方案。

2.2 NSM洗牌机制：小生境划分与信息混合才是这个算法的灵魂

NSM这一部分，我的理解是把整个种群看成一个大组，每隔shuffleGap代就做一次洗牌重组：先把种群按适应度从好到差排序，然后打乱顺序，均匀切成nSub个子种群。每个子种群各自维护一个“局部最优”x_best_sub。洗牌之后，变异式里的引导项从单一全局最优变成全局最优和局部最优同时起作用：

v = x_i + F_i * (x_best - x_i) + F_i * (x_best_sub - x_i) + F_i * (x_r1 - x_r2);

这个改动带来的行为变化非常明显。普通DE里，如果一个个体离全局最优很远，它只能靠随机差分向量慢慢爬过去；但当种群被临时切成几个小生境后，每个小生境里都有一个“相对最好的个体”，那些在全局视角下不够好的个体，在子种群内部却可能成为引导者。这就等于给了种群多条“爬坡通道”，而不是所有人都奔着同一个方向挤。

洗牌周期shuffleGap的选择直接影响算法性格。如果shuffleGap特别小，比如每2代就洗一次，子种群还没来得及形成自己的局部特征就被打散，算法行为接近随机搜索；如果shuffleGap特别大，比如50代才洗一次，后期子种群各自收敛到不同局部峰，洗牌时又得重新磨合，浪费大量迭代。做基准函数测试时我一般从10开始试，看收敛曲线在洗牌点附近有没有明显的“台阶式下降”，有台阶说明机制在起作用，没有的话就要缩小周期。

用表格对比一下三个层级的算法设计，能帮助理解NSM-MadDE到底改了什么：

从这个表能看出来，每次改动都是在“加一个机制”而不是“换一个参数”。理解这个递进关系，后面调参的时候才不会一头雾水。

2.3 贪婪选择与归档：选择环节比想象中更影响稳定性

很多人在工程里复现进化算法时，把注意力全放在变异和交叉上，选择环节就写一个if语句比大小，草草了事。这个习惯在NSM-MadDE里会带来麻烦。洗牌机制让算法同时维护了多种信息源，如果选择压力太大，比如每次迭代都只保留适应度更优的新个体，子种群的多样性会被迅速压掉；如果选择压力太小，又会让种群在洗牌点附近震荡。

我习惯的做法是保留标准的贪婪选择，即新个体u与旧个体x_i比较，u更优才替换；同时维护一个外部归档archive，把每次被替换掉的旧个体放进归档里，变异时的一部分随机个体从归档中选取而不是只从当前种群中选取。归档容量不必太大，控制在NP上下就能起到增加后备信息的作用。

选择环节还有一个工程细节：比较适应度时，数值计算很容易出现相等的情况，尤其是目标函数值经过四舍五入，或者存在大量重复的可行解。这种情况下不要用“小于”做判断，应该用“小于等于”，并且给旧个体一个极小的“优势”以避免频繁无意义替换。这个小技巧能让收敛曲线平稳很多，是我踩过坑才换来的经验。

3. 用MATLAB把NSM-MadDE跑通：最小复现框架与收敛曲线

3.1 设计主函数：为什么用结构体传参而不是全局变量

在matlab里写优化算法，我强烈建议不要用全局变量传参数，尤其是这个算法要做参数扫描实验的时候。全局变量一旦在脚本里被覆盖，下次运行的结果就全部作废，而且错误非常难排查。我把NSM-MadDE的主函数设计成参数全部打包进一个结构体options，输入为适应度函数句柄、决策变量维度、边界和选项结构体，输出为最优解、最优值和整个迭代过程的收敛曲线。

function [bestx, bestf, histCurve] = nsm_madde(fobj, D, lb, ub, opts) % NSM-MadDE 主循环 % fobj: 适应度函数句柄，输入为 1x直接行向量，输出为标量 % D: 决策变量个数 % lb, ub: 边界标量或 1xD 向量 % opts: 参数结构体，缺省字段用默认值 if ~isfield(opts, 'NP'), opts.NP = 50; end if ~isfield(opts, 'F_base'), opts.F_base = 0.6; end if ~isfield(opts, 'CR'), opts.CR = 0.9; end if ~isfield(opts, 'nSub'), opts.nSub = 5; end if ~isfield(opts, 'shuffleGap'), opts.shuffleGap = 10; end if ~isfield(opts, 'MaxIter'), opts.MaxIter = 500; end if ~isfield(opts, 'alpha'), opts.alpha = 0.2; end if ~isfield(opts, 'tol'), opts.tol = 1e-8; end NP = opts.NP; MaxIter = opts.MaxIter; lb = lb(:)'; ub = ub(:)'; X = rand(NP, D) .* (ub - lb) + lb; % 初始种群 fx = zeros(NP, 1); for i = 1:NP fx(i) = fobj(X(i, :)); % 初始适应度评估 end [fx_sorted, idx] = sort(fx); X = X(idx, :); fx = fx_sorted; bestx = X(1, :); bestf = fx(1); histCurve = zeros(MaxIter, 1); archive = []; % 外部归档，存放被替换的旧个体 for g = 1:MaxIter % 每 shuffleGap 代做一次小生境洗牌 if mod(g, opts.shuffleGap) == 1 || g == 1 [X, fx, archive] = niche_shuffle(X, fx, archive, opts, fobj); end [X, fx, archive] = madde_mutation_crossover(X, fx, archive, bestx, opts, fobj, D, lb, ub, g); [bestf_now, best_idx] = min(fx); if bestf_now < bestf bestf = bestf_now; bestx = X(best_idx, :); end histCurve(g) = bestf; if bestf < opts.tol, break; end end histCurve = histCurve(1:g); end

主函数里最有价值的两个设计，第一个是用了isfield做缺省参数补全，这样调用的时候不需要每次把全部参数写一遍；第二个是把洗牌动作拆成一个单独子函数niche_shuffle，把变异交叉拆成另一个子函数madde_mutation_crossover，方便调试时单独看某一环的行为。很多matlab新手把整个算法写成一个几百行的脚本，结果一旦收敛效果不好，根本不知道是洗牌出了问题还是变异步长出了问题，函数拆分是给自己留的排查通道。

3.2 变异与交叉子函数：用矩阵运算替代逐个体循环

写matlab优化算法，速度瓶颈一定在适应度函数的调用次数。子函数里如果再用for循环逐个体做变异，性能会雪上加霜。我习惯的做法是整批生成变异向量，通过向量化的方式一次处理整个种群的差异向量计算。

function [X, fx, archive] = madde_mutation_crossover(X, fx, archive, bestx, opts, fobj, D, lb, ub, g) % 自适应变异 + 二项式交叉 + 贪婪选择，向量化实现 NP = size(X, 1); shrink = (1 - g / opts.MaxIter); F_i = opts.F_base + opts.alpha * randn(NP, 1) * shrink; F_i = min(max(F_i, 0.2), 1.2); % 从种群 [以及归档] 中随机挑选两个互不相同的个体索引 idx_all = 1:NP; if size(archive, 1) > NP idx_all = [idx_all, NP+1:NP+size(archive,1)]; X_all = [X; archive]; else X_all = X; end r1 = zeros(NP, 1); r2 = zeros(NP, 1); for i = 1:NP cand = setdiff(idx_all, i); r1(i) = cand(randi(numel(cand))); cand2 = setdiff(cand, r1(i)); r2(i) = cand2(randi(numel(cand2))); end V = X + F_i .* (bestx - X) + F_i .* (X(r1,:) - X(r2,:)); % 边界处理：随机重置到边界内部，尽量保持种群多样性 maskL = V < lb; maskU = V > ub; V(maskL) = lb + rand(sum(maskL(:)), 1) .* (ub - lb); V(maskU) = lb + rand(sum(maskU(:)), 1) .* (ub - lb); % 二项式交叉：每维度以 CR 概率从变异个体取值 U = X; jrand = randi(D, NP, 1); mask = rand(NP, D) < opts.CR; for i = 1:NP mask(i, jrand(i)) = true; % 保证每个个体至少有一个维度来自变异个体 end U(mask) = V(mask); % 贪恋选择：更优则替换，替换下来的旧个体进归档 fu = zeros(NP, 1); for i = 1:NP fu(i) = fobj(U(i, :)); end replace = fu <= fx; % 用 <= 而不是 <，避免无意义替换 if any(replace) old_idx = find(replace); archive = [archive; X(old_idx, :)]; X(replace, :) = U(replace, :); fx(replace) = fu(replace); end end

这个子函数有三个值得展开说的地方。第一个是随机个体索引的选择，我特意让它从“种群+归档”的合集中取，这就是2.3节提到的归档机制，用来弥补洗牌带来的多样性损失。第二个是边界处理，我没有用直接截断到边界的做法，而是把越界分量重新随机撒到边界内部，这样种群不会大量堆积在边界上，特别是在多峰函数里，边界堆积是后期逃离局部最优的一大障碍。第三个是交叉环节用矩阵掩码一次性完成整批交叉，再用一个循环保证每行至少有一维来自变异个体，这是二项式交叉的标准做法，能防止部分个体在交叉后完全等于父代从而无用评估。

3.3 跑通一个多峰基准函数：用收敛曲线判断算法是否健康

算法搭好之后，先用一个经典多峰函数验证实现是否有低级错误。我建议用Rastrigin函数，这个函数在坐标原点处有全局最优，同时有大量局部极小值，专门用来考验算法跳出局部最优的能力。30维的Rastrigin用NSM-MadDE来做，几百代内降到个位数是正常表现。

% nsm_madde_demo.m % 在 matlab 2023b 及更早版本中均可直接运行 clear; clc; close all; rng(2024); % 固定随机种子，保证实验可复现 fobj = @(x) sum(x.^2 - 10*cos(2*pi*x) + 10); D = 30; lb = -5.12; ub = 5.12; opts.NP = 100; opts.F_base = 0.6; opts.CR = 0.9; opts.nSub = 5; opts.shuffleGap = 10; opts.MaxIter = 500; opts.tol = 1e-6; [bestx, bestf, histCurve] = nsm_madde(fobj, D, lb, ub, opts); figure; semilogy(histCurve, 'LineWidth', 1.5); xlabel('迭代次数'); ylabel('当前最优适应度'); title('NSM-MadDE 在 Rastrigin 函数上的收敛曲线'); grid on; fprintf('最优值: %.6e\n', bestf);

看这条收敛曲线时，我通常关注三个信号。第一，曲线是否在前期快速下降，如果前50代几乎没有下降，说明变异尺度F_base太小或者交叉率CR太低，种群在空转。第二，中段是否出现明显的“台阶”，即曲线在某次洗牌之后突然跳降，这说明洗牌机制把子种群探索到的新信息成功汇入了主线。第三，末段是否平稳收敛到平台，如果末段还在持续小幅度下降且没有平台期，可以适当增大MaxIter或调小tol。这三个信号分别对应探索能力、洗牌机制有效性和收敛状态，是判断算法实现是否健康的快捷手段。

4. 让算法真正收敛的三组关键参数：从默认值到可复现调参

4.1 种群规模NP与维度D：先定规模，再谈机制

NP的选择和决策变量维度D直接相关，很多刚接触进化算法的人把NP固定成50跑所有问题，这是最常见的翻车起点。维度低时，比如D小于10，NP取30到50足够；但30维以上的多峰函数，NP低于80就很难维持洗牌需要的子种群信息量。子种群数nSub是5，NP是50，平均每个子种群只有10个个体，变异时随机选取差异向量的组合空间太小，洗牌机制就退化成形式。

我一般按D来定NP，先以NP等于10倍D为起点，再根据收敛曲线上是否有振荡来调整。D等于30时NP取100，D等于50时最多取300。超过这个规模，每代适应度评估时间显著增加，而收敛精度提升有限，边际收益很差。还要注意一个问题：洗牌周期shuffleGap要跟随NP适度放大。NP大时，每个子种群需要更多代才能形成自己的局部特征，10代的洗牌周期就偏短了。

matlab里做维度与规模的快速扫描，用结构体数组加循环最简单。先建一个opts数组，每个元素是一组配置，然后把nsm_madde放进for循环跑，把每次的结果存进一个结果结构体，最后统一画对比图。千万不要在脚本里手写五份几乎相同的代码，后续改参数要同时改五个地方，迟早改漏。

4.2 变异尺度F与交叉率CR：先调哪个有顺序

F和CR是一对相互影响的参数，但影响方式不同。F控制的是差分向量的步长，直接决定搜索半径；CR控制的是新个体里有多少维度来自变异个体，决定的是坐标轴方向上的“混合程度”。先动F还是先动CR，我摸索出的经验是先固定CR在0.9，把F从0.4到0.9扫一遍，找到一个曲线下降最陡的值，然后再调CR。因为F对算法行为的影响更粗糙、更容易观察，CR更精细，放在后面微调才不容易把方向搞乱。

对于多峰函数，CR取0.7到0.9之间通常表现更好；对于单峰平滑函数，CR取0.3到0.5更合适。这个差异来自问题结构：多峰函数需要更多维度协同变化来跳出山谷，CR太低会让新个体始终被父代“拽住”，难以产生大幅度的维度跳跃。反过来，单峰函数本身没有局部陷阱，大步长只会造成振荡，低CR反而能加速收敛。

调F时可以用一个简单的扫描脚本，每轮只改F_base一个字段，其他全部固定。每轮跑3次取中位数，不要用单次结果下结论。进化算法有随机性，单次结果的好坏有一半是运气，三次取中位数虽然慢一些，但获得的是一个稳定的判断依据。如果想压时间，也可以每轮局部跑2次，用两次里较好的一次做决策，但最终确定参数后一定要跑完整迭代再验证一次。

4.3 洗牌周期shuffleGap与子种群数nSub：NSM独有的两个参数

这两个参数才是NSM-MadDE区别于其他DE变体的核心调整对象。shuffleGap太小，洗牌变成折腾，种群刚刚有一点分化的苗头就被打散重组，收敛曲线会呈现高频锯齿状；shuffleGap太大，子种群演化趋于独立，最后变成几个几乎不相干的DE同时跑，失去信息交换的意义。nSub则决定每次洗牌划分出多少个小生境，nSub越大，每个子种群内个体越少，局部最优引导越敏感但越不稳定；nSub越小，越接近没有洗牌的普通DE。

给出一个我常用的经验表格，方便在不同维度下设定初值：

表格里的范围不是玄学，逻辑是：维度越高，函数地形越复杂，需要给子种群更多时间形成局部特征，所以shuffleGap和nSub都要相应调大。调这两个参数时，观察点不是最终精度，而是收敛曲线中段是否平稳。理想状态是曲线平滑下降，在洗牌点处没有明显回弹。如果每次洗牌后最优值反而变差，说明洗牌动作太粗暴，把已经形成的良好局部结构打散了，应该减小nSub或增大shuffleGap。

5. NSM-MadDE常见翻车现场与排查笔记

5.1 迭代曲线一直下降但最终精度差：洗牌参数与变异尺度不匹配

现象是收敛曲线看起来正常，前100代快速下降，中段平稳，但最终最优值始终差一到两个数量级，换初始种群也一样。原因多半是洗牌周期shuffleGap太短加上F_base偏大，子种群每次刚逼近一个局部峰就被打散重洗，局部精细搜索阶段被反复打断，算法一直处于“粗搜索”状态。解决方法是先调大shuffleGap到20，同时把F_base降到0.5，让子种群有足够迭代次数在局部做精细爬坡；如果曲线中段出现平台，再配合调小交叉率CR到0.8。这三步做完，最终精度通常会有明显提升。

5.2 MATLAB中文注释乱码：编码问题导致整个脚本无法运行

现象是在matlab 2023b里打开别人发的nsm_madde源码，中文注释全部变成乱码，严重时整个文件的名字和字符串也被破坏，运行直接报错。原因是源码文件保存成了GBK编码，而matlab 2023b默认按UTF-8读取，两边对不上。解决方法是重新用UTF-8编码保存文件：在matlab编辑器里打开乱码文件，全选复制，粘贴到记事本或VS Code，另存为UTF-8，再回去打开就正常；如果文件较长，也可以直接在matlab命令行执行edit打开后，用“预设”里的“代码”设置统一语言编码。习惯建议是所有涉及中文注释的.m脚本，写第一行注释前就统一保存为UTF-8，团队协作时这能省掉大量无效沟通。

5.3 两次运行结果完全对不上：随机种子与全局变量双坑

现象是同一个脚本、同一组参数，第一次跑出1e-7精度，第二次变成0.3，第三次又不一样。第一个原因是脚本开头没有固定随机种子rng，matlab每次启动的随机数流不同，算法行为自然不同；第二个原因更隐蔽：如果代码里用了global变量或者在base工作区里存放了中间结果，多次运行之间旧值残留，会导致适应度评估读取到脏数据。固定随机种子只需要在脚本开头加一行rng(某个固定整数)，如果是做参数对比实验，建议每个配置用rng(配置编号)来做，保证横向比较时各组实验在同一随机种子下进行。全局变量问题则要彻底排查代码，把global关键字全部去掉，改用结构体传参。

5.4 提示缺少函数或“无法访问附加功能资源管理器”：工具箱与路径问题

现象是n代码本身没有语法错误，但运行时提示找不到某个函数，或者打开matlab附加功能资源管理器时报许可相关错误。这个报错十有八九不是算法问题，而是函数路径没加进matlab搜索路径。写nsm_madde这类多文件算法时，我习惯在demo脚本开头用addpath把算法文件夹和测试函数文件夹一次性加好。如果提示缺少的是映射工具箱、优化工具箱之类的官方函数，检查许可证是否包含对应工具箱，在命令行输入ver命令查看已安装工具箱列表。顺着“附加功能资源管理器”里的路径设置面板把缺失路径添加回来，再重启一次matlab，绝大多数这类报错都能解决。

5.5 适应度评估太慢：单点循环调用是最大性能瓶颈

现象是算法逻辑正确，收敛也正常，但跑的迭代很慢，一个500代的实验要等十几分钟。原因在于适应度函数被逐个体调用，一个NP为100的种群，每代至少调用100次fobj，如果fobj内部还有循环，就会形成双重循环的性能灾难。效率最高的改造方式是把fobj从“单个体输入”改为“批处理输入”，也就是让fobj接受一个N行的矩阵，返回N行的适应度向量。像第3章demo里Rastrigin函数的写法sum(x.^2 - 10cos(2pi*x) + 10, 2)就是向量化版本，一次处理整个矩阵。如果目标函数来自simulink或外部程序，无法向量化，就退而求其次用parfor并行评估，注意parfor要求每次迭代的输出彼此独立，这在单纯适应度评估时通常是满足的。

6. 把NSM-MadDE封装成可复用求解器：从测试函数到约束工程问题

测试函数跑通之后，真正要用到工程优化里，需要把这个算法包装成一个对外接口更通用的求解器。我一般会在主循环外面再套一层wrapper函数，让外部调用者只需要传入目标函数、变量边界和约束处理方式，不需要关心内部洗牌机制怎么实现。约束处理最省事的方法是罚函数法，把约束违反量的平方乘以惩罚系数加进目标函数，惩罚系数从1e3起步，如果最优解落在不可行域就增大惩罚。

function bestx = solve_engine_problem(func_handle, D, lb, ub, cons_handle) % 带约束的NSM-MadDE封装 % func_handle: 仅返回目标值的函数句柄 % cons_handle: 返回约束违反量的函数句柄，满足约束返回0 opts.NP = 100; opts.F_base = 0.6; opts.CR = 0.9; opts.nSub = 5; opts.shuffleGap = 12; opts.MaxIter = 800; penalty = 1e3; % 初始惩罚系数 fobj = @(x) func_handle(x) + penalty * sum(max(0, cons_handle(x)).^2); [bestx, bestf] = nsm_madde(fobj, D, lb, ub, opts); if cons_handle(bestx) > 1e-3 penalty = penalty * 10; % 一次求解失败，加大惩罚重新求解 fobj = @(x) func_handle(x) + penalty * sum(max(0, cons_handle(x)).^2); [bestx, bestf] = nsm_madde(fobj, D, lb, ub, opts); end end

这段封装代码的核心思想是“一次跑不干净就加惩罚再跑一次”，工程场景下比一次性给超大惩罚更稳妥。超大惩罚会让目标函数表面变得极不平滑，反而干扰NSM-MadDE的洗牌和变异过程；从小惩罚开始，让它先找到可行域边缘，再加惩罚逼它进入内部，收敛过程会更顺滑。

用NSM-MadDE这两年，我最深的体会是这类进化算法的价值不在跑分高低，而在给了你一个不依赖梯度信息的黑匣子解法。拿到一个新的优化问题，先把目标函数写出来，再评估能否求导。能求导用内点法、序列二次规划这类经典方法，稳定且有理论保证；求不出梯度或者目标函数是带噪声的仿真结果，再动用NSM-MadDE这类进化算法，不要指望它比数学规划方法更快，但它在没法下口的复杂地形里确实能给出一个拿得出手的解。调参的时候留好随机种子和参数扫描结果，遇到效果不好先回看是不是参数范围定窄了，而不是急着改算法结构，这个习惯帮我省掉了不少返工。希望帮到你。

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