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简介：这是一份运筹学课程中“运输问题求解”的完整实验报告，面向物流管理、管理科学与工程等相关专业学生及需要掌握LINGO优化建模的入门者。报告以某企业三个产地四个销售地的产销平衡运输问题为背景，完整记录了从线性规划模型建立、LINGO代码编写到求解结果分析的全过程，并涉及沃格尔法与MATLAB工具对照，可帮助读者理解供应约束、需求约束及最小化总运费的目标函数设计。压缩包内仅1个doc文档，容量约456KB，正文包含实验目的、原理、环境、过程与结果分析，重点展示了LINGO求解全局最优解239、迭代次数6次及具体运输量分配方案。目前已有2034人学习浏览，对正在完成运筹学实验报告或希望快速掌握LINGO经典运输问题建模的读者而言，是一份结构清晰、可直接参考的完整样例。

1. LINGO解决运输问题，不只是写一段Solver

LINGO在运筹学实验里出现频率最高的场景，就是运输问题。很多人把这门实验当成一次“套模板”，把单位运价矩阵填进去，点一下Solve，然后把Solution Report截图贴进Word文档。但实际上，运输问题在LINGO里的建模质量，直接决定了你后面做灵敏度分析、瓶颈判断甚至扩展到选址问题时，代码能不能复用。这篇博文用一份完整的运输问题LINGO实验报告为主线，从数学模型、LINGO代码结构、求解结果读法到常见报错，把从建模到写实验报告的每个步骤拆开讲清楚。适合正在做运筹学课程实验、数学建模集训，或者第一次接触LINGO的工程师——只要你能跟着把代码跑通，后面换数据、换约束条件都是几分钟的事。

2. 运输问题的数学模型与LINGO建模基础

2.1 产销平衡运输问题的标准LP形式

运输问题本质上是一个线性规划问题。有m个产地、n个销地，每个产地有供给量a(i)，每个销地有需求量b(j)，从产地i到销地j的单位运价是c(i,j)。目标是在满足每个销地需求、且每个产地运出量不超过供给量的前提下，使总运输费用最低。

用数学语言写就是：

• 决策变量：x(i,j)，表示从产地i运往销地j的货物量
• 目标函数：min Σ Σ c(i,j) × x(i,j)
• 供给约束：对每个产地i，Σ x(i,j) = a(i)
• 需求约束：对每个销地j，Σ x(i,j) = b(j)
• 非负约束：x(i,j) >= 0

这里要特别注意“产销平衡”这个前提。当总供给等于总需求时，两个等式约束可以同时成立；一旦供给大于需求，就需要引入虚拟销地，把多余的供给通过“零运价”吸收掉。LINGO里不需要手动做这个松弛，但你必须在模型里明确写等式还是不等式——这是很多实验报告里被扣分的地方。

2.2 用LINGO集合段把“产地—销地”写进代码

LINGO建模和直接用LP求解器写纯矩阵最大的区别，就是它提供了集合（sets）语法。集合段里定义三个对象：产地集合、销地集合、以及产地和销地构成的二维派生集合link。二维集合上挂两个属性：单位运价c和决策变量x。

model: sets: origin /1..3/: a; destination /1..4/: b; link(origin, destination): c, x; endsets

这段代码定义了3个产地、4个销地。a和b分别是一维属性，c和x是二维属性。LINGO中二维集合的生成顺序是先第一个集合后第二个集合，意味着后面数据段里写c的时候，要按“第一个产地的所有销地、第二个产地的所有销地”的顺序展开。

这个集合结构是整个模型的核心骨架。实验报告里如果只贴求解结果、不贴sets段，老师一眼就能看出模型不是自己写的。实际写报告时，建议把集合段和约束段分开截图，并配上“origin表示产地，destination表示销地，link表示两者组合”的注释。

2.3 产销不平衡时模型的松弛处理

现实中产销完全平衡的情况很少，而LINGO的好处是让你可以非常低成本地处理不平衡。把供给约束写成等号还是不等号，就决定了模型的行为：

• 总供给 > 总需求：产地约束写@sum(destination(j): x(i,j)) <= a(i)，允许产地少运；但此时需求约束还是要满足等号，否则会出现“两边都不满”的退化解。
• 总供给 < 总需求：需求约束写<=，同时给每个田产地强制产量上限。

更常见的做法是加一个虚拟产地或虚拟销地。比如总供给大于总需求，就增加一个虚拟销地，运价设为0。这样原模型结构完全不用改，只是多了一列数据。LINGO代码里我会直接在数据段对b数组追加一个值，link集合自动扩一列，约束也不用动，非常省事。

提示：做实验报告时，不要把虚拟销地的含义丢掉。要在报告里解释“虚拟销地对应的是未满足需求的结余库存”，否则评审会认为你只是硬套了平衡模型。

3. 用LINGO求解运输问题：代码结构、关键语句与运行验证

3.1 最小费用运输问题的完整LINGO代码

下面给出一份可以直接运行的LINGO模型。问题设置：3个产地，供给量分别为60、50、40；4个销地，需求量分别为30、40、50、30；单位运价见数据段矩阵。模型求解目标是总费用最小。

model: sets: origin /1..3/: a; destination /1..4/: b; link(origin, destination): c, x; endsets data: a = 60 50 40; b = 30 40 50 30; c = 3 6 4 8 5 2 7 3 9 4 6 2; enddata min = @sum(link(i,j): c(i,j) * x(i,j)); @for(origin(i): @sum(destination(j): x(i,j)) = a(i); ); @for(destination(j): @sum(origin(i): x(i,j)) = b(j); ); end

代码里有三块内容需要重点理解。第一块是@sum(link(i,j): ...)，它表示对所有link集合中的(i,j)组合求和，不需要显式指定下标范围，这是LINGO和C、Python这类语言最不一样的思维习惯。第二块是@for(origin(i): ...)，它的作用是为每个产地生成一条供给约束，循环变量i不需要提前声明，LINGO自动从集合中遍历。第三块是两个连续约束之间的分号——LINGO的每个语句必须有分号结尾，漏掉分号是新手最常见的语法错误。

3.2 数据段如何初始化供给、需求与单位运价

数据段的写法决定了模型的易用性。对于运输问题，a和b都是一维数据，按集合元素顺序排列即可，用空格分隔。c是二维数据，LINGO按行展开读入，也就是先读完第1个产地对应4个销地的运价，再读第2个产地，依次类推。

data: a = 60 50 40; b = 30 40 50 30; c = 3 6 4 8 5 2 7 3 9 4 6 2; enddata

这里有个实用技巧：LINGO支持在数据段里用Excel或文本文件导入数据。对于大规模运输问题（比如几十个产地上百个销地），直接在代码里写c = @ole('data.xlsx', 'cost')就能把Excel中名为cost的范围直接载入模型。实验报告如果强调“数据规模可扩展”，在代码里保留这套写法会加分不少。

3.3 运行结果中Slack与Dual Price的读法

按Ctrl+U运行模型后，LINGO会弹出Solution Report。报告里有几个关键字段，实验报告里经常被抄错：

• Variable：决策变量的最优值。运输问题的x(i,j)通常只有部分是非零值，非零的x正好对应最优调运方案。
• Slack or Surplus：每条约束的松弛量。对于等式约束，松弛为0是正常现象；如果出现非零，说明模型设置和数据对不上。
• Dual Price：对偶价格，表示该约束右端项增加一个单位时目标函数的变化量。在运输问题里，产地供给约束的Dual Price含义是“该产地每增加一单位供给，总费用能降低多少”，也就是该产地的影子价格。

求解结果会显示目标函数值（Objective value），比如本模型算出来的最小总费用。写报告时，要把这个值与手工用表上作业法算出的结果对照一下，数值一致才能说明模型正确。

提示：如果Solution Report里出现“Reduced Cost”，那是非基变量的检验数。运输问题中，Reduced Cost为0表示该变量可以进入基，非0表示增加一单位运输量会带来多少费用增量。这数据在写“最优性验证”一节时非常有用。

4. 运输问题的LINGO参数调整与灵敏度分析

4.1 多目标运输问题：先看总量再看费用

实验中经常遇到不只一个目标的情况，比如既要运输费用最小，又希望总运输时间最短，或者产地供货有优先级。LINGO解决这类问题的常见做法是加权组合法：给两个目标分别乘以权重，合并成单一目标函数。

min = 0.7 * @sum(link(i,j): c(i,j) * x(i,j)) + 0.3 * @sum(link(i,j): t(i,j) * x(i,j));

但加权法有一个坑：费用和时间的量纲不同，直接加权没有意义。常见做法是先各自归一化，或者用分层优化：先求费用最小值，把这个最优值作为额外约束，再最小化时间。LINGO里实现分层优化的办法是先跑一遍模型记录目标值，然后手动把它固定为一个等式约束。

我在实际做实验时更倾向于用@priority和@goal做目标规划，但LINGO的演示版不支持这两个函数。课程实验里最稳妥的方案就是：第一次运行求费用最优，第二次把费用目标改成等式@sum(...) = 费用最优值，再换第二个目标求最优。这个思路本身就可以作为实验报告里“算法改进”的素材。

4.2 用@BND对运量变量加边界

标准运输问题只要求x非负取整（很多场景下还要求整数），但实际运输中每条线路有运力上限，比如某条公路每天最多能运30吨。LINGO里不需要引入额外的0-1变量，直接用@BND函数给x加下界和上界即可。

@for(link(i,j): @bnd(0, x(i,j), capacity(i,j)); );

capacity可以定义为link集合上的新属性，也可以在数据段里写成二维常数矩阵。加了边界之后，可能求解变慢，但更关键的是可能导致原问题无可行解。遇到这种情况，我一般先跑不加边界的原始模型，看看哪些线路的最优运量超过了capacity——这个步骤本身就是“瓶颈线路分析”的实验结论。

与之对应的还有下限约束：如果某些线路有“最小运量合同”，比如产地1到销地2必须至少运输10吨，就可以用x(1,2) >= 10来限定。LINGO中直接写这样的约束语句即可，不需要额外定义变量。

4.3 灵敏度分析在LINGO中的获取方式

LINGO运行菜单下有个Range选项（Ctrl+R），打开后会输出目标函数系数和约束右端项的范围分析。这是实验报告里含金量最高的一部分，因为表格上作业法只能算出最优解，算不出“运价变化多大时方案会改变”。

表格是灵敏度报告的核心内容：

写报告时，我通常会选取一个非基变量的运价（比如x(2,3)），查它的Allowable Decrease，然后说“当c(2,3)下降超过N时，该线路才会进入最优方案”。这个结论直接体现了灵敏度分析相对于单纯求解的价值，评审老师基本都会看这一段。

5. LINGO运输问题实验报告：结果组织、表格制作与结论论述

5.1 实验报告中必须包含的六块内容

一份完整的LINGO运输问题实验报告，不是把模型和结果截图堆在一起就完事。根据我批阅过和写过的运筹学实验报告，结构上至少要有下面六块：

这六块写完整，基本就能拿到一篇实验报告的大部分分数。写报告时注意，代码和模型要分开成独立小节，不能在正文里把所有内容混在一起。

5.2 用LINGO的Solution Report生成数据表

LINGO求解完成后，Solution Report显示的不是严格意义上的表格。要写成Word中三线表的形式，推荐用LINGO的File菜单下的Export Solution功能，把结果导出为文本文件，再用Python脚本或者其他文本处理工具把它转成CSV。

我来写一个常用的小脚本，把求解结果转成“产地-销地-运量”的三元组表：

import re with open("solution.txt", "r", encoding="utf-8") as f: text = f.read() rows = re.findall(r"X\(\s*(\d+),\s*(\d+)\)\s+([\d.]+)", text) with open("transport_plan.csv", "w", encoding="utf-8") as f: f.write("origin,destination,quantity\n") for origin, destination, quantity in rows: f.write(f"{origin},{destination},{quantity}\n")

这个脚本的思路是：LINGO导出的文本中，变量名以X(1,2)这种形式出现，后面跟一个空格再跟数值。正则表达式按这个模式去匹配，然后把三元组写进CSV。之后在Excel里打开CSV，做一个数据透视表，产地作为行、销地作为列、运量作为值，就得到一张标准的调运方案表。

提示：LINGO导出文本中变量名的大小写要和模型中的保持一致。如果用X命名，报告中别把列序号错当成运量。运量为0的变量不会出现在Solution Report里，这是正常的，报告不用额外补充。

5.3 从影子价格出发写经济解释

实验报告最后一部分通常是“结果分析”，大家都容易写成“最优解是XX，总费用是XX”这种流水账。更有价值的写法是从Dual Price出发，做一个经济解释。比如在数据模型中，第二个产地的供给约束的Dual Price如果是-1.5，意味着当产地2的供给增加1单位时，总费用会降低1.5。在报告里就可以写：“产地2是当前系统的资源瓶颈，每增加一单位供应能力，可节省运输成本1.5元。”

这个结论比单纯报告最优值更有工程含义，也直接对应企业中“该从哪个工厂扩产”的决策。写报告时把Dual Price列成一个表格，并与单位运价做了对比，说明为什么某些产地的影子价格更高——通常是因为它们靠近需求量大且运价低的销地，增加供给能替代高价线路。

6. 运输问题LINGO实验的常见错误与调试技巧

6.1 语法错误集中在哪几个位置

LINGO调试的经验是：90%的语法错误都出现在三处。

第一是分号缺失。LINGO中每个完整的语句都必须以分号结尾，包括min = ...;、每个@for(...);语句，以及end前面不需要分号。第二是集合引用时写错了下标。@sum(destination(j): x(i,j))中，i必须是外层循环已经在用的集合元素，否则LINGO提示“Index out of range”。第三是数据段里的元素个数与集合长度不一致。比如origin有3个元素，但a的数据写了4个数，LINGO会直接报数据段错误。

这三个问题在实验报告里都可以作为“实验过程中遇到的问题及解决”素材来写，但不要编造不存在的错误信息。按自己的实际调试过程写即可。

6.2 数据不匹配时的报错代码含义

LINGO报错信息中最常见的是"Number of data entries does not match set size"。这个报错的意思是数据段中某一行的数据个数与集合的元素个数不一致。以c矩阵为例，如果origin有3个元素、destination有4个元素，那么c的数据必须是12个数，写成三行每行4个数。如果写成三行每行3个数，LINGO就会立即终止。

还有一种容易忽略的情况：写数据时用了中文字符的逗号或者全角空格。LINGO只认半角空格、Tab和逗号做分隔符。从Word文档复制数据到LINGO时，全角逗号会引发解析错误，报错信息却没有明确指向全角字符。遇到这种情况，我一般会把文本粘贴到编辑器的JSON视图里检查标点，或者直接用英文逗号重新输入一遍。

6.3 用@for和@sum构造约束时的常见陷阱

新手写运输问题约束时，最常见的逻辑错误是把@for(origin(i): @sum(destination(j)...))和@for(destination(j): @sum(origin(i)...))两个约束搞反。前者是“对每个产地，送出去的量等于它的供给量”，后者是“对每个销地，收到的量等于它的需求量”。两个写反，模型就变成每个销地按自己的需求量往外发货，结果完全错误。

另一个陷阱是等式约束对非负解的影响。如果数据中存在高运价线路阻止某些产地发货，而你又写了等号供给约束，LINGO会强制每个产地至少运出1个单位。此时应该检查该产地对应的松弛变量，如果Solution Report中显示某条供给约束的Slack为负值（在LINGO中报告为不可行），说明约束条件过强。常见做法是把等式放宽为不等式，或者检查数据中小数点位数是否因四舍五入导致产销不平衡。

最后一个实用技巧是：给大规模运输问题调试时，先用一个小规模数据集（比如2个产地3个销地）跑通模型，确认逻辑正确之后再替换成实验要求的完整数据。LINGO的调试器不友好，越小规模的问题越容易定位是哪一行约束引发了不可行解。

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