企业官网建设流程全解析

**学生问：**老师，C = A ∪ B C = A \cup BC=A∪B时，是否能得出P ( C ) = P ( A ) + P ( B ) P(C) = P(A) + P(B)P(C)=P(A)+P(B)？我总觉得事件的相并运算，又称为和运算，也可对概率做和运算。

**老师答：**这可不一定。从图1也可以看出，如果事件A和事件B存在重叠部分，用P ( C ) = P ( A ) + P ( B ) P(C) = P(A) + P(B)P(C)=P(A)+P(B)会导致重复计算重叠部分的概率，正确的公式应该为：
P ( C ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(C) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(C)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

图1 事件之间的相并关系
根据这个式子，如果事件A和事件B没有交集，则P ( A ∩ B ) = 0 P(A \cap B) = 0P(A∩B)=0，进而P ( C ) = P ( A ) + P ( B ) P(C) = P(A) + P(B)P(C)=P(A)+P(B)成立。

**学生问：**老师，C = A ∩ B C = A \cap BC=A∩B时，我总觉得事件的相交运算，又称为积运算，是否能得出P ( C ) = P ( A ) × P ( B ) P(C) = P(A) \times P(B)P(C)=P(A)×P(B)？

老师答：这可不一定。如果两个事件之间存在关系，则不能这么计算。只有当两个事件相互独立时，才有P ( C ) = P ( A ) × P ( B ) P(C) = P(A) \times P(B)P(C)=P(A)×P(B)。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。学习有困难吗？欢迎给我留言讨论，提出问题。

**学生问：**老师，您说的相互独立又怎么理解？是不是指的两个事件之间没有交集？

**老师答：**我觉得不能这么理解。如果放到一个全集空间里来考察两个事件，那么它们之间存在关系，并不相互独立。如果不放到同一个全集空间里来考察两个事件，那么它们之间当然相互独立，如图2所示，这时可以得出P ( C ) = P ( A ) × P ( B ) P(C) = P(A) \times P(B)P(C)=P(A)×P(B)。

图2 独立的两个事件
举个例子，如果把第1次抛硬币得到"正面向上"定义为事件A，把第2次抛硬币得到"正面向上"定义为事件B，显然这两次抛硬币的动作互不影响，故它们相互独立。如果定义事件C CC为两次抛硬币都是"正面向上"，可以得到：
P ( C ) = P ( A ) × P ( B ) = 0.5 × 0.5 = 0.25 P(C) = P(A) \times P(B) = 0.5 \times 0.5 = 0.25P(C)=P(A)×P(B)=0.5×0.5=0.25
还有一点，如果不放到同一个全集空间里来考察两个事件，那么它们之间必然没有交集，也即A ∩ B = ∅ 。 A \cap B = \varnothing 。A∩B=∅。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。学习有困难吗？欢迎给我留言讨论，提出问题。
学习点拨：请大家细心体会"独立"、“互斥”、"互逆"这些概念，后续学习还将用到它们。"互斥"和"独立"的区别是很多初学者的难点和痛点，请一定要掌握，本节在前述答疑解惑中已经做出了说明。