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简介：面向本科、硕士及船舶运动控制初学者，基于Matlab2019a编写的船舶操纵运动仿真模型资源包。主要包含船舶平面运动建模、回转试验与Z形试验仿真脚本，涉及舵角控制策略、相对距离与偏航位置调整等核心模块，适合用于课程设计、毕业设计或科研预研。资源共16个文件，其中9个.m脚本覆盖主程序与功能函数，配合2个xlsx数据表和1个.mat数据文件可完成参数输入与结果存储；另有4张jpg/png图片用于展示仿真曲线与船舶轨迹，压缩包仅81KB，结构精简轻量，便于快速部署。目前已有1380人学习下载，对于希望快速掌握船舶操纵运动仿真框架、理解回转半径与舵角关系的教研用户，可直接运行并在此基础上扩展自己的控制算法。

1. Matlab模拟船舶操纵运动模型：从舵令到航迹的核心思路

Matlab模拟船舶操纵运动模型，简单说就是把一条船当作水平面内的刚体，在三自由度运动方程上做数值积分，把"舵令→航迹"这条链路完整跑通。要处理的事情包括：定义坐标系与操纵性导数、组带有附加质量和重心偏置的耦合质量矩阵、用ode45积分得到旋回圈和Z形响应，再从中提取战术直径、纵距、横距这些操纵性指标。适合做船舶操纵性评估、自动舵或航迹控制算法预研、课程设计与毕业设计的读者。比较反直觉的一点是：运动方程本身半小时能写完，真正卡住大家的往往是符号约定、参数量级和指标提取方式，这三件事比解方程更值得花时间。

2. 船舶操纵运动模型的运动方程、坐标系统与参数约定

2.1 大地固定系与随船坐标系：状态量怎么选

模拟船舶操纵运动的第一步是把参考系定死。工程上几乎都采用双坐标系：大地固定系 O-X₀Y₀Z₀ 固定在地球上，原点取在仿真起点附近；随船系 G-xyz 原点在船体重心，x 轴指向船艏，y 轴指向右舷，z 轴向下。操纵运动只研究水平面内的纵荡、横荡和艏摇三个自由度，所以状态量取 6 个：

这里最容易出问题的就是ψ的符号：因为 z 轴向下，右手系里ψ顺时针增大，也就是说船右转时ψ变大。很多二维绘图场景习惯把 y 轴画成向上，一旦把坐标轴方向改掉，整个旋回图就会镜像，但方程本身没错。建议从头到尾固定"x 向右、y 向右手定则的 y、z 向下"这一套，别在半路切换。

随船系速度到大地系位置的转换就是标准的二维旋转：

dxe = u*cos(psi) - v*sin(psi); dye = u*sin(psi) + v*cos(psi); dpsi = r;

这组运动学关系没有任何近似，是精确的。注意横向速度 v 直接参与位置更新，不要因为"船主要往前开"就把它丢掉——旋回过程中 v 的量级能达到 u 的 8%～10%，直接影响轨迹形态。

2.2 三自由度运动方程与质量矩阵求逆

动力学方程写在随船系里最方便，因为船体水动力导数都是在随船系下测的。带附加质量和重心偏置的常用形式如下：

(m + mx)·u̇ = (m + my)·v·r + X
(m + my)·v̇ + m·xG·ṙ = -(m + mx)·u·r + Y
m·xG·v̇ + (Iz + Jzz)·ṙ = -m·xG·u·r + N

其中 X、Y、N 是船体、螺旋桨、舵产生的合外力与艏摇力矩，mx、my、Jzz 是附加质量与附加惯矩，xG 是重心相对原点的纵向位置。两个科氏项 (m+my)·v·r 和 -(m+mx)·u·r 是离心力在随船系下的分量，旋回时它们和舵力、船体力共同决定稳态转艏角速度，不能省略。

注意第二个和第三个方程里 v̇ 和 ṙ 通过 m·xG 耦合在一起。只要重心不在随船系原点上，就必须做 2×2 矩阵求逆才能解出 v̇ 和 ṙ。在Matlab中定义微分方程时，最省事的做法是每次调用都做一次矩阵左除：

M = [P.m+P.my, P.m*P.xG; P.m*P.xG, P.Iz+P.Jz]; rhs = [Y - (P.m+P.mx)*u*r; N - P.m*P.xG*u*r]; acc = M \ rhs; dv = acc(1); dr = acc(2);

这里的 M 是常值矩阵，放在子函数里每次左除的开销可以忽略。有不少初学代码会把 xG 设成 0 避开耦合，这能跑通，但换到真实船的参数时（货船 xG 一般在 -3%L 到 -5%L），转艏和横荡的耦合会明显改变旋回直径，建议一开始就按耦合形式写。

2.3 Abkowitz与MMG建模路线怎么取舍

有了方程框架，下一步是决定 X、Y、N 怎么表达，常见两条路线。

Abkowitz 模型把船体、桨、舵的合力统一写成关于 u、v、r、δ 及其交叉项的多项式，系数通过平面运动机构试验整体拟合。优点是形式紧凑、系数数量少，适合教学和整体参数辨识；缺点是物理分界模糊，换舵或者换桨之后整套系数都要重拟合。

MMG 模型（Maneuvering Modeling Group）把力拆成船体力 XH、螺旋桨力 XP、舵力 XR 三个模块分别建模，船体力常用漂角 β 和无量纲转艏角速度的多项式表示。优点是模块独立，换螺旋桨、加浅水修正、加舵效修正都只动局部；缺点是系数多，入门门槛高。船模试验和实船操纵性预报的工程实践中，MMG 体系更常见，航海模拟器里的六自由度模型也基本是它的扩展。

实际做 Matlab 仿真时，多数人的做法是"混合写"：船体力用 Abkowitz 截断多项式，舵力和螺旋桨推力单独列项。这样做既能控制参数规模，又保留了操纵部件独立调整的能力，下面章节的代码就采用这种写法。

3. 在Matlab中搭建船舶操纵运动模型的可运行代码

3.1 用结构体管理船型参数与操纵性导数

仿真代码的参数组织直接决定后面调参是否痛苦。建议把所有船型参数和水动力导数放进一个结构体 P，用一个独立 m 函数返回，不要散落在脚本里。下面这份参数表是教学示例值，量级参考一艘 160 m 级货船的公开操纵性数据，做真船评估时需要用船模试验或 CFD 结果替换：

对应代码：

function P = ship_params() % 船型与操纵性参数，SI单位。示例值量级参考约160m货船， % 用于跑通仿真流程；真船评估时用船模试验或CFD结果替换。 P.L = 160.9; % 垂线间长 Lpp, m P.rho = 1025; % 海水密度, kg/m^3 P.m = 1.704e7; % 排水质量, kg P.Iz = 2.70e10; % 绕z轴转动惯量, kg*m^2 P.xG = -5.96; % 重心纵向位置(舯前为正), m P.U0 = 7.7; % 设计航速, m/s P.mx = 0.05*P.m; % 纵荡附加质量 P.my = 0.80*P.m; % 横荡附加质量 P.Jz = 0.40*P.Iz; % 艏摇附加惯矩 % 船体水动力导数（Abkowitz截断形式） P.Xu = -1.5e6; % N/(m/s) P.Xu2 = -2.0e5; % N/(m/s)^2 P.Xvv = -4.0e6; % N/(m/s)^2 P.Xrr = -2.0e8; % N/(rad/s)^2 P.Yv = -4.0e6; % N/(m/s) P.Yv2 = -3.0e5; % N/(m/s)^2 P.Yr = 2.2e8; % N/(rad/s) P.Nv = -5.0e7; % N*m/(m/s) P.Nv2 = -5.0e7; % N*m/(m/s)^2 P.Nr = -5.0e9; % N*m/(rad/s) % 舵力导数，约定 delta>0 为右舵 P.Yd = -4.0e6; % N/rad P.Nd = 1.8e8; % N*m/rad P.Xd2 = -1.0e6; % N/rad^2 舵的阻力分量 % 螺旋桨推力，简化速度修正模型 Xp = T0*(U0^2 - u^2) P.T0 = 1.5e5; % kg/m end

所有导数都带符号，这是有意的：Yv、Nr 是阻尼项必须为负，Nv 对航向稳定的船通常为负，Yδ 与 Nδ 的符号由舵角定义决定。换用论文里的无量纲系数时，第一步就是把符号约定对齐，否则仿真跑出来船会朝反方向转。

3.2 运动微分方程函数：质量矩阵左除的做法

在Matlab中定义微分方程，推荐把状态导数写成独立 m 函数。状态向量 x = [xe; ye; psi; u; v; r]，函数返回 dx，rudder_fun 是舵角函数句柄，这样同一份方程代码可以服务直航、阶跃、蛇行各种工况：

function dx = ship_3dof(t, x, P, rudder_fun) % 三自由度船舶操纵运动方程 psi = x(3); u = x(4); v = x(5); r = x(6); delta = rudder_fun(t); % 舵角, 右舵为正, rad % 船体力：Abkowitz多项式的截断形式 du = u - P.U0; XH = P.Xu*du + P.Xu2*du*abs(du) + P.Xvv*v^2 + P.Xrr*r^2; YH = P.Yv*v + P.Yv2*v*abs(v) + P.Yr*r; NH = P.Nv*v + P.Nv2*v*abs(v) + P.Nr*r; % 舵力与螺旋桨推力 XR = P.Xd2*delta^2; YR = P.Yd*delta; NR = P.Nd*delta; XP = P.T0*(P.U0^2 - u^2); X = XH + XR + XP; Y = YH + YR; N = NH + NR; % 质量矩阵求逆，解出加速度 M = [P.m+P.mx 0 0; 0 P.m+P.my P.m*P.xG; 0 P.m*P.xG P.Iz+P.Jz]; rhs = [X + (P.m+P.my)*v*r; Y - (P.m+P.mx)*u*r; N - P.m*P.xG*u*r]; acc = M \ rhs; dx = [u*cos(psi) - v*sin(psi); u*sin(psi) + v*cos(psi); r; acc(1); acc(2); acc(3)]; end

三点说明。第一，船体力里的 v²、v|v| 写法是有讲究的：v|v| 保证力的方向始终与速度方向相反，v² 在某些文献里也常见，但遇到大漂角时 v|v| 更符合物理，两种写法在 v 为正时等价。第二，舵角 delta 在函数开头一次性取出，后续所有舵力项共用，不要在每个表达式中重复调用 rudder_fun，否则遇到查表型舵令会多出大量插值开销。第三，X 中加了 (m+my)·v·r 科氏项，而 Y、N 行里对应的是 -(m+mx)·u·r 和 -m·xG·u·r，这三个符号是最容易抄错的地方，建议每次改完先做一次直航仿真确认 u 能保持 U0。

3.3 用ode45积分并正确处理角度回绕

积分器直接用 ode45。船舶操纵运动是慢变的平滑系统，ode45 的默认容差通常够用，但长时积分建议收紧：

P = ship_params(); x0 = [0; 0; 0; P.U0; 0; 0]; opts = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-7); % 第1段：直航稳定5秒，让速度场收敛 [t1, x1] = ode45(@(t,x) ship_3dof(t,x,P,@(t) 0), [0 5], x0, opts); % 第2段：阶跃右满舵35°，积分600秒 [t2, x2] = ode45(@(t,x) ship_3dof(t,x,P,@(t) deg2rad(35)), [5 600], x1(end,:), opts); t = [t1; t2]; x = [x1; x2];

关键在中间那句 x1(end,:)。直接让 ode45 从 t=0 就施加满舵，船体会在第一个积分步里同时经历纵向速度调整和横向响应，旋回圈起点的"拉出过程"会和真实试验不一致。真实操船试验是先在直航工况下稳定，再执行舵令，所以仿真也要分两段，把第一段的末状态作为第二段初值。

这段代码里还有一个隐蔽点：微分方程中的 ψ 始终保持连续增长，不做取模运算。如果有人在方程里写 psi = wrapToPi(psi)，ode45 会在 2π 跳变点处检测到不连续，步长被压到极小，仿真时间暴增，事件检测也会出现假触发。正确做法是积分过程保持 ψ 连续，只在画图或提取指标时用 wrapToPi 处理显示值。

3.4 舵令输入的三种组织方式

rudder_fun 用函数句柄的好处是可以随时换舵令形式。最常见三种。常数舵角给 @(t) deg2rad(10)，阶跃舵令给 @(t) deg2rad(35)*(t>=5)，这在前面的旋回代码里已经用了。第三种是时间序列舵令，比如把试验记录的舵角 csv 导入Matlab后做插值：

tbl = readmatrix('rudder_series.csv'); % 第1列时间s, 第2列舵角deg rudder_fun = @(t) deg2rad(interp1(tbl(:,1), tbl(:,2), t, 'previous', 'extrap'));

插值方法建议选 'previous'，因为真实舵机是保持舵角直到下一个指令到达，线性插值会把舵角变化过程拖成斜坡，和舵机特性不符。如果后面要把这套模型放进 Simulink 做闭环控制，同样可以把 ship_3dof 的核心部分封装成 MATLAB Function 模块，输入舵角、输出状态量，脚本阶段调试通过的参数可以直接搬过去。

4. 船舶操纵运动模型的旋回试验与Z形试验仿真

4.1 满舵旋回试验：纵距、横距、战术直径的提取

跑完第 3 章的旋回仿真，最直接的动作是画轨迹并提取标准指标。画轨迹用 plot 加 axis equal，想演示动态过程可以换成 comet：

figure; plot(x(:,1)/1000, x(:,2)/1000, 'LineWidth', 1.2); axis equal; grid on; xlabel('x_e (km)'); ylabel('y_e (km)'); title('右满舵35°旋回试验轨迹');

指标提取要回到真实定义，不能直接找"离起点最远的点"。以舵令开始执行的位置为基准，把轨迹投影到初始航向线上。

base = x1(end,:); % 舵令执行瞬间的状态 psi0 = base(3); dpsi = x2(:,3) - psi0; i90 = find(dpsi >= deg2rad(90), 1, 'first'); i180 = find(dpsi >= deg2rad(180), 1, 'first'); dx = x2(:,1) - base(1); dy = x2(:,2) - base(2); x_adv = dx*cos(psi0) + dy*sin(psi0); % 投影到初始航向 y_tr = -dx*sin(psi0) + dy*cos(psi0); fprintf('纵距=%.1f m (%.2fL)\n', x_adv(i90), x_adv(i90)/P.L); fprintf('横距=%.1f m (%.2fL)\n', y_tr(i90), y_tr(i90)/P.L); fprintf('战术直径=%.1f m (%.2fL)\n', abs(y_tr(i180)), abs(y_tr(i180))/P.L);

这里用投影而不是直接用 x、y 坐标，是因为如果初始航向不是 0，直接读坐标会混入航向偏差。顺带看速度曲线：旋回中 u 会下降，这套参数大概掉 6%~8%，真实货船满舵旋回一般掉 15%~25%，误差主要来自螺旋桨推力模型过简，只用了速度平方修正而没有用敞水特性曲线，不影响方法演示。

4.2 用Events事件函数做10°/10°Z形试验

Z形试验和旋回试验的区别在于舵令由航向反馈触发：先右舵 10°，航向达到 +10° 立即反向左舵 10°，航向达到 -10° 再反向，如此交替。Matlab 里实现这类"状态到达阈值就切换"的标准做法是 ode45 的 Events 功能。

function [value, isterminal, direction] = event_psi(t, x, thr, dir) value = x(3) - thr; % 航向偏差过零即事件 isterminal = 1; % 触发后停止积分 direction = dir; % 只检测指定方向的穿越 end

direction 参数必须设为和当前舵角同号：右舵时 ψ 上升，只检测正向穿越；反向操舵后 ψ 下降，只检测负向穿越。如果设成 0 双向检测，反向瞬间 ψ 恰好贴着阈值，数值噪声可能造成连续触发。

function [t_all, x_all, rud_log, ev_t] = run_zigzag(P, t_final) x0 = [0; 0; 0; P.U0; 0; 0]; delta = deg2rad(10); % 先右舵10° thr = deg2rad(10); % 目标航向偏差+10° t0 = 0; t_segs = {}; x_segs = {}; rud_log = []; ev_t = []; for k = 1:30 opts = odeset('Events', @(t,x) event_psi(t,x,thr,sign(delta)), ... 'RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-7); [t_seg, x_seg, te, xe] = ... ode45(@(t,x) ship_3dof(t,x,P,@(t) delta), [t0 t_final], x0, opts); t_segs{end+1} = t_seg; x_segs{end+1} = x_seg; rud_log = [rud_log; delta*ones(numel(t_seg),1)]; if isempty(te) % 没有再触发事件就结束 break; end ev_t(end+1) = te(1); t0 = te(1); x0 = xe(1,:).'; delta = -delta; % 反向操舵 thr = -thr; % 阈值反向 end t_all = vertcat(t_segs{:}); x_all = vertcat(x_segs{:}); end

逐段积分的写法比在 ODE 函数内部用 persistent 变量存状态安全得多。persistent 变量在 ode45 的试探步里会被反复改写，生成的舵令时间轴是错的；而每段积分之间显式传递 x0，事件时刻 te 就是精确的操舵换向时刻。画图时把航向和舵角用双 y 轴画在一起，就能直接读出超越角。

4.3 参数敏感性：从特征值判稳到先动哪个参数

换参数之前先做稳定性自检。把方程在直航状态下线性化，得到横荡-艏摇二阶系统，稳定性取决于 M₂⁻¹A 的特征值实部是否全为负：

M2 = [P.m+P.my, P.m*P.xG; P.m*P.xG, P.Iz+P.Jz]; A = [P.Yv, P.Yr-(P.m+P.mx)*P.U0; P.Nv, P.Nr-P.m*P.xG*P.U0]; lambda = eig(M2 \ A); if all(real(lambda) < 0) fprintf('方向稳定，特征值实部 = %s\n', mat2str(real(lambda).', 3)); else fprintf('不稳定：检查 Yv、Nr 的负号与 Nv 的量级\n'); end

与其死记文献里的稳定性判据公式，不如用这个特征值检查，它不依赖具体符号约定，任何参数组代入都能判断。跑通之后，调参顺序有讲究。第一优先看 Nv 和 Nr，这两个导数决定航向稳定性和超越角大小；把 |Nr| 调小 30%，Z 形试验的超越角会明显变大，旋回直径变化不大。第二再看 Yv，它主要影响漂角和横荡响应快慢。最后才动 Yδ 和 Nδ，舵力导数直接控制旋回圈大小，Nδ 增大 10% 战术直径能缩小约 7%。如果手里有实船或船模试验航迹想反推导数，可以用 Optimization Toolbox 的 lsqnonlin，以仿真航迹与实测航迹的残差为目标函数做参数辨识，目标函数里嵌的就是这一整套仿真代码。

5. 船舶操纵运动模型的无量纲化、自检与Simulink迁移

5.1 无量纲系数与实船数据的换算

论文和船模试验报告里的导数几乎都是无量纲的，直接代入 SI 单位的方程会差出好几个数量级。常用约化方式是 SNAME 第一体系：力除以 (0.5·ρ·L²·U²)，力矩除以 (0.5·ρ·L³·U²)，时间用 L/U。换算代码就三行：

scaleF = 0.5*P.rho*P.L^2*P.U0^2; % 力的约化因子 scaleM = 0.5*P.rho*P.L^3*P.U0^2; % 力矩约化因子 % 例：论文给 Yd' = 0.0032，转成 SI 的 Yd P.Yd = 0.0032*scaleF; % 注意核对论文的舵角单位是rad还是deg

最容易踩的坑有三个：舵角在论文里可能用角度制；约化速度取的是试验航速而不是设计航速；有些文献用 L²d 而不是 L³ 做力矩约化。任何一组系数用之前，先拿稳定性自检的特征值代码过一遍，再跑一个 10° 小舵角旋回看方向是否正确。

5.2 仿真结果自检的三个检查项

每次改完参数，按固定顺序检查三个现象。第一，零舵角直航 60 秒，u 应稳定在 U0 附近，v 和 r 应衰减到接近 0，任何持续增长的 v 都说明阻尼符号有误。第二，右舵 35° 旋回，航向 ψ 必须持续增大、轨迹向右偏，如果反向，检查 Yδ、Nδ 的符号约定。第三，Z 形试验的航向振荡中心应回到初始航向附近，超越角为正且不过大；如果 Z 形试验里航向越过阈值后还在同一方向继续跑很远，说明反向舵效不足，优先调 Nδ。

5.3 向Simulink与试验数据驱动扩展

模型验证通过后，常见的扩展方向有两个。一是封装成 Simulink 的 MATLAB Function 模块，把舵角作为输入、状态量作为输出，外面接 PID 航向控制器就能做闭环仿真，脚本阶段的参数和符号约定原样保留。二是用试验数据驱动：把实船记录的时间-舵角序列通过 readmatrix 导入，按第 3.4 节的方式构造成 rudder_fun，对比仿真航迹与实测航迹，这一步往往是操纵性模型标定工作的起点。

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