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集成运算放大器是专升本专业课《模拟电子技术》《电子技术基础》里的高频考点，常以计算题、波形分析题和判断题形式出现。很多学生能把“虚短、虚断”背得很熟，但拿到实际例题仍然会错，原因不是定义记不住，而是没有先判断运放工作在线性区还是非线性区。运放分析有一个根本顺序：先看是否存在负反馈，再看能不能用虚短虚断，最后才列方程求输出。下面这组例题会按这个顺序展开，覆盖比例运算、加减运算、积分微分、比较器和反馈判断五类常见题型，并给出适合专升本复习节奏的解题流程与易错清单。

1. 运放例题的第一步：判断线性区还是非线性区

1.1 理想运放模型是解题的基础

实际运放内部电路很复杂，但专升本题目默认按理想运放处理。理想化之后，四个关键指标需要先记住。

正因为理想运放输入电阻无穷大，所以同相输入端和反相输入端在外接电路看来处于“断路”状态，流入两个输入端的电流都可以近似为 0，这叫虚断。

1.2 虚短、虚断什么时候能用，什么时候不能

虚短的形成并不难理解。当运放处于深度负反馈且输出没有饱和时，输出电压 uo 是有限值，而开环差模增益 Aod 趋于无穷大，所以差模输入电压满足：

$$ u_+ - u_- = \frac{u_o}{A_{od}} \approx 0 $$

也就是说，同相输入端和反相输入端的电位几乎相等。这不是真正的短路，因为两个输入端之间没有电流流过，所以叫“虚短”。

虚断则是从输入电阻无穷大出发得到的结论：i+ = i- = 0。虚断在分析运放电路时直接使用，但要注意它和虚短是两回事：虚断是输入端不取电流，虚短是两个输入端电位近似相等。

这里要特别强调：虚短成立的前提是运放工作在线性放大区。线性放大区出现的条件是有负反馈，并且输出电压没有到达正、负电源电压而造成饱和。如果运放开环使用，或者接入正反馈，输出电压会直接跳到正饱和或负饱和，此时 u+ 与 u- 不再相等，虚短失效。

注意：判断一个运放能不能用虚短，不要先看输入信号大小，而要先看输出端是否有反馈网络连接到反相输入端。没有负反馈，就不满足线性区条件。

1.3 反馈判断决定了整个解题方向

看运放电路时，第一反应应该是找反馈通路。反馈通路通常是从输出端经过一个电阻或电容回到某个输入端。反馈到反相输入端时，输入信号与反馈信号形成相减关系，一般是负反馈；反馈到同相输入端时，变成正反馈，输出很容易饱和。

这一步判断是整道题的分水岭。后面所有的例题都从这一步开始。

2. 比例运算电路：最基础也是最容易丢分的计算题

2.1 反相比例运算的虚地推导

反相比例电路的结构是：输入信号通过电阻 R1 接到反相输入端，反馈电阻 Rf 接到输出端与反相输入端之间，同相输入端通过平衡电阻接地。

由于虚断，同相输入端没有电流，所以同相端电位 u+ = 0。再由虚短，可得 u- = u+ = 0。反相输入端的电位近似为 0，但它又没有真正接地，这种状态叫虚地。

列出节点电流：

$$ i_1 = \frac{u_{in} - u_-}{R_1} = \frac{u_{in}}{R_1} $$

$$ i_f = \frac{u_- - u_o}{R_f} = -\frac{u_o}{R_f} $$

根据虚断，流入反相端的电流约等于 0，所以流经 R1 的电流全部经过 Rf 流向输出端：

$$ u_o = -\frac{R_f}{R_1} u_{in} $$

由这个式子可以直接看出四点：

• 输出与输入反相，所以叫反相比例放大器。
• 电压增益只取决于 Rf 与 R1 的比值，和运放本身增益无关。
• 输入电阻约等于 R1，因此 R1 太小会加重信号源负担。
• 同相端接的平衡电阻 R' 一般取 R1 与 Rf 的并联值，用来减小输入偏置电流引起的失调，但计算增益时不需要把它写进公式。

2.2 例题1：反相比例电路输出电压与输入电阻

题目： 反相比例电路中，R1 = 10 kΩ，Rf = 200 kΩ，输入电压 Uin = -0.8 V，运放电源为 ±12 V。求理想情况下的输出电压，并判断输出是否饱和。

解： 电压增益为

$$ A_{vf} = -\frac{R_f}{R_1} = -\frac{200}{10} = -20 $$

所以

$$ U_o = A_{vf} \times U_{in} = -20 \times (-0.8 V) = 16 V $$

这个值大于正电源 12 V。理想计算结果虽然是 16 V，但实际运放输出不可能超过正电源电压，输出会被限幅在约 +12 V。因此这道题的结论应写为：若按理想线性关系计算为 +16 V，但实际运放已进入饱和，输出约等于 +12 V。

这道题是典型的“算出来却不对”题型。专升本考试如果明确给出电源电压，不要直接写理想结果，要先检查输出是否超出电源范围。

注意：反相比例电路的输出超过电源电压时，虚短不再成立，公式不能继续用于解释实际输出。结果只能说明饱和方向。

2.3 同相比例与电压跟随器

同相比例电路是把输入信号接到同相端，反相端经过电阻 R1 接地，反馈电阻 Rf 从输出端接到反相端。此时输入端不是虚地，而是 u+ = u- = Uin。

列方程：

$$ u_- = U_{in} $$

$$ i_1 = \frac{U_{in}}{R_1} $$

$$ i_f = \frac{u_o - U_{in}}{R_f} $$

由于流过 R1 的电流等于流过 Rf 的电流，得到：

$$ u_o = \left(1 + \frac{R_f}{R_1}\right) U_{in} $$

同相比例放大电路的增益大于或等于 1，输入阻抗很高，对信号源的影响很小。当 Rf = 0 或 R1 开路时，电路变成电压跟随器，uo = ui。电压跟随器常用于阻抗变换和信号隔离。

2.4 比例电路失分点

• 反相比例公式写错符号，输出正负号搞反。
• 同相比例误写成 uo = (Rf / R1) * uin，少加了 1。
• 把反相比例电路的输入电阻当成无穷大，实际约为 R1。
• 计算时电压、电阻单位不统一。常见错误是把 kΩ 直接乘 mA，得到 V 之前没有注意单位换算。建议统一把电阻写成欧姆、电流写成安培，或直接把 kΩ 和 mA 配合使用，因为 kΩ × mA = V。

3. 加法和减法电路：多输入题的一条主线

3.1 反相加法器：电流在反相端汇合

反相加法器在反相比例电路的基础上增加多个输入电阻。之所以能直接相加，是因为反相端虚地，各输入支路互不影响。每个输入电压产生的电流分别为：

$$ i_1 = \frac{U_1}{R_1} $$

$$ i_2 = \frac{U_2}{R_2} $$

$$ i_3 = \frac{U_3}{R_3} $$

根据虚断，这些电流全部汇合后流过 Rf：

$$ U_o = -R_f \left(\frac{U_1}{R_1} + \frac{U_2}{R_2} + \frac{U_3}{R_3}\right) $$

这个公式不需要死记。只要记住反相端虚地，各支路电流互不影响，自然能写出来。

3.2 例题2：三路反相加法器

题目： R1 = 5 kΩ，R2 = 10 kΩ，R3 = 20 kΩ，Rf = 40 kΩ，U1 = 1 V，U2 = -0.5 V，U3 = 0.2 V。求 Uo。

解：

$$ U_o = -40 \times \left(\frac{1}{5} + \frac{-0.5}{10} + \frac{0.2}{20}\right) $$

先算括号内各项：

$$ \frac{1}{5} = 0.2 $$

$$ \frac{-0.5}{10} = -0.05 $$

$$ \frac{0.2}{20} = 0.01 $$

原式化为：

$$ U_o = -40 \times (0.2 - 0.05 + 0.01) = -40 \times 0.16 = -6.4 V $$

需要注意两点。第一，U2 本身是负值，代入第二项时是 -0.5 / 10，不能用绝对值计算。第二，括号内比值无量纲，最后结果单位是 V，不是 mV。

3.3 减法器用叠加定理更稳妥

减法器最常考的对称结构是：反相端经 R1 接 U1，输出反馈电阻为 Rf；同相端经 R2 接 U2，并经 R3 接地。当 R1 = R2、Rf = R3 时有：

$$ U_o = \frac{R_f}{R_1} (U_2 - U_1) $$

如果电阻不完全对称，不要硬套这个公式，采用叠加法更安全。

叠加法步骤：

1. 令 U2 = 0，电路退化为反相比例，求出 U1 单独作用时的输出。
2. 令 U1 = 0，电路变成同相放大结构，但反馈网络会发生变化，需要先求出同相端电压，再列反相端节点电流方程。
3. 将两个输出叠加。

3.4 列节点电流方程的通用格式

对于任意负反馈运放电路，通用分析格式是：

1. 用虚短求 u- = u+。
2. 对反相输入端列 KCL 方程：流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。
3. 把方程整理成 Uo 的表达式。

只要电路没有电阻匹配限制，按这个格式不会出错。多输入运放题看上去复杂，但本质都是把反相端这个节点的电流关系写清楚。

4. 积分和微分电路：波形题必须掌握的斜率计算方法

4.1 积分电路的输入输出关系

积分电路把反馈电阻换成电容 C，输入经 R 接到反相端。反相端虚地，所以：

$$ i = \frac{U_{in}}{R} $$

电容电流等于输入电流，电容两端电压即输出电压：

$$ u_o = -\frac{1}{C} \int i , dt = -\frac{1}{RC} \int U_{in} , dt $$

当 Uin 是固定直流电压时：

$$ \Delta u_o = -\frac{U_{in}}{RC} \Delta t $$

这个式子说明一个非常重要的结论：输出电压随时间线性变化，变化斜率由 Uin 和 RC 的乘积决定。Uin 越大，斜率越陡；RC 越大，斜率越缓。

4.2 例题3：方波输入产生三角波输出

题目： R = 10 kΩ，C = 0.1 μF，输入是 ±5 V 对称方波，周期 T = 2 ms，占空比 50%，电容初始电压为 0，求输出波形形状与幅度。

解： 先算时间常数：

$$ RC = 10 \times 10^3 \times 0.1 \times 10^{-6} = 1 ms $$

半周期长度：

$$ \frac{T}{2} = 1 ms $$

输入为 +5 V 时，输出斜率为：

$$ \frac{\Delta u_o}{\Delta t} = -\frac{5 V}{1 ms} $$

因此半周期内输出变化：

$$ \Delta u_o = -\frac{5 V}{1 ms} \times 1 ms = -5 V $$

输入为 -5 V 时，输出斜率为 +5 V / 1 ms，半周期变化 +5 V。

所以输出是三角波，峰峰值 5 V。如果从 0 开始，第一个正半周输出从 0 降到 -5 V，第二个负半周从 -5 V 升到 0，稳定后波形在 0 V 与 -5 V 之间变化；如果初值不同，三角波会整体平移。

这里还要注意方波类型。如果输入是 0 V 到 +5 V 的单极性方波，积分器只在正半周积分，负半周输出保持，长期来看电荷不断累积，最终输出饱和。考试中写三角波对称结论时，前提必须是正负对称方波。

注意：积分电路只有在输入正负对称时才能形成稳定三角波。单极性方波会让积分结果单向漂移，最终饱和，这是理论题和实验电路都存在的关键差异。

4.3 微分电路的分析要点

微分电路把电阻和电容的位置对调，输入经电容接到反相端，反馈电阻接在反相端与输出之间：

$$ u_o = -RC \frac{dU_{in}}{dt} $$

微分电路对输入突变特别敏感。输入方波时，边沿对应正负尖脉冲；输入三角波时，输出变成方波；输入正弦波时，输出反相余弦。实际电路中微分电路高频噪声放大严重，稳定性差，所以考试中背公式即可，实验时需要在电容支路串联小电阻限幅。

4.4 波形题的检查清单

• 斜率符号：Uin 加到反相端时，输出变化方向与输入电压方向相反。
• RC 量纲：电阻乘电容的单位是秒，算出来若不是秒，单位换算有误。
• 半周期与 RC 的关系：周期远大于 RC 时，输出变化快，容易饱和；周期远小于 RC 时，波形线性度好但幅度很小。
• 初值：题目给出“初始电压为 0”会直接影响波形起始点。
• 饱和：如果算出的积分幅度超过电源电压，要把输出画成限幅平顶，不能继续画直线。

5. 比较器：开环运放必须用饱和模型

5.1 开环比较器只有两个输出状态

比较器把运放当开关使用，没有负反馈，属于非线性应用。输出状态只取决于 u+ 与 u- 的大小：

• u+ > u- 时，输出为正饱和，约等于正电源电压；
• u+ < u- 时，输出为负饱和，约等于负电源电压。

此时不能使用虚短，因为输出处于饱和状态，差模输入电压并不为 0。

5.2 例题4：反相输入比较器阈值

题目： 运放开环使用，同相端接参考电压 Uref = 3 V，反相端输入 Uin，电源为 ±15 V。求阈值，并求 Uin = 5 V 和 Uin = 1 V 时的输出。

解： 阈值电压是输出发生翻转时的输入电压。对于比较器，翻转点发生在 u+ 与 u- 相等的临界位置，所以阈值 Uth = 3 V。

反相输入端是信号输入，同相端是参考端。当 Uin > 3 V 时，u- > u+，输出负饱和，Uo ≈ -15 V。当 Uin < 3 V 时，u- < u+，输出正饱和，Uo ≈ +15 V。

所以：

• Uin = 5 V 时，Uo ≈ -15 V；
• Uin = 1 V 时，Uo ≈ +15 V。

这种题容易在符号上出错。判断方法很简单：信号从反相端进，输出与输入变化方向相反。输入从低于阈值变到高于阈值，输出从正饱和跳到负饱和。

5.3 滞回比较器为什么要假设输出状态

滞回比较器在输出与同相端之间接入正反馈电阻，同相端参考电压会随输出状态改变，因此存在两个阈值：上门限和 下门限。

求解思路固定为两步：

1. 先假设输出为 +UOM，写出 u+ 的表达式，令它等于 u-，求出当前状态下的上门限。
2. 再假设输出为 -UOM，重新写出 u+ 的表达式，令它等于 u-，求出下门限。
3. 输入从低到高变化时，到上门限翻转；输入从高到低变化时，到下门限翻转。

滞回比较器的好处是抗扰。因为两个阈值之间有回差，输入信号在阈值附近抖动时，输出不会来回跳变。

5.4 比较器题目失分点

• 开环比较器还去套虚短，得出连续电压。
• 错把输出饱和电压当成运放增益乘输入的结果。
• 滞回比较器只算一个阈值，忘了另一个。
• 不画翻转方向，导致波形高低电平画反。

6. 反馈判定：决定线性区还是非线性区的关键步骤

6.1 反馈判定的四个问题

运放题目中的反馈判定一般只考四件事：

• 有没有反馈通路：输出端到输入端之间是否有电阻、电容或导线连接。
• 是正反馈还是负反馈：反馈使净输入减小为负反馈，增大为正反馈。
• 是电压反馈还是电流反馈：反馈量取样输出电压为电压反馈，取样输出电流为电流反馈。
• 是串联反馈还是并联反馈：反馈信号与输入信号接在同一节点为并联，接在不同节点为串联。

6.2 例题5：判断反相比例电路反馈组态

题目： 反相比例电路中，Rf 跨接在输出端与反相输入端之间，判断其反馈组态。

解： 从输出端起，反馈网络直接从输出端取样，所以是电压反馈。反馈电阻接到反相输入端，而输入信号也通过 R1 接到反相输入端，二者在同一点汇合，属于并联反馈。由于反相输入端输入后输出反相，反馈电压降低了净输入电压，所以是负反馈。因此组态为电压并联负反馈。

深度负反馈带来的直接结果是输入端的净输入接近 0，于是反相端近似虚地。这也是为什么前面所有线性区计算都要先确认负反馈存在。

6.3 快速判定对照表

6.4 反馈判断与线性区判断的关系

负反馈是线性应用的必要条件，但不是说有负反馈就一定不饱和。输入过大、增益过大时，输出照样会顶到电源电压而饱和。因此拿到一道题，完整的判断顺序是：

1. 判断有无反馈。
2. 判断反馈极性，确定是否负反馈。
3. 先按线性区计算，再检查输出是否超过电源电压。
4. 若超过电源电压，说明已饱和，实际输出按饱和电压处理。

7. 专升本运放题的做题流程与常见错误排查

7.1 考场上运放计算题五步法

• 第一步：找反馈。输出端到输入端没有通路，按比较器处理；有通路，继续判断反馈极性。
• 第二步：判线性区。只有深度负反馈且输出未饱和时，才进入线性区分析。
• 第三步：列方程。线性区写虚短、虚断和节点电流方程；非线性区直接比较 u+ 与 u-。
• 第四步：代入数值。统一单位，保留正负号。
• 第五步：检查结果。输出电压超过电源电压时，改为饱和结论。

7.2 综合例题：两级运放电路用五步法求解

题目： 第一级为反相比例电路，R1 = 10 kΩ，Rf = 50 kΩ。第二级为积分电路，R = 10 kΩ，C = 0.1 μF。输入是第一级输入端的 ±1 V 方波，周期 T = 2 ms。求第一级输出和第二级输出波形。

解： 第一级存在负反馈，工作在线性区，直接套反相比例公式：

$$ u_{o1} = -\frac{50}{10} u_{in} = -5 u_{in} $$

输入为 +1 V 时，u_{o1} = -5 V；输入为 -1 V 时，u_{o1} = +5 V。

第二级积分电路时间常数：

$$ RC = 10 \times 10^3 \times 0.1 \times 10^{-6} = 1 ms $$

当 u_{o1} = -5 V 时，第二级输出斜率为：

$$ \frac{\Delta u_{o2}}{\Delta t} = -\frac{-5 V}{1 ms} = +5 V/ms $$

当 u_{o1} = +5 V 时，第二级输出斜率为：

$$ \frac{\Delta u_{o2}}{\Delta t} = -\frac{5 V}{1 ms} = -5 V/ms $$

半周期为 1 ms，所以每半个周期输出线性变化 5 V。由于第一级已经反相，第二级输出与原始输入信号同相：原始输入为 +1 V 时，第二级输出上升；原始输入为 -1 V 时，第二级输出下降。

这道题的关键是两级分开算。第一级是比例关系，第二级是积分关系，不能把两级合并成一个公式。

7.3 常见错误排查表

7.4 刷题阶段与实验阶段的差异

平时刷题时，题目默认运放是理想运放，可以放心使用虚短虚断。但真正去实验室搭电路，会遇到理想模型之外的问题：

• 输入失调电压使输出在输入为零时也不为零。
• 输入偏置电流在外部电阻上产生附加误差。
• 输出摆动范围达不到正负电源电压，可能会有 1 到 2 V 压降。
• 积分电路会因偏置电流漂移饱和，需要并联电阻限制直流增益。

因此，复习阶段要把理想模型和公式当成分析工具，而不是对实际硬件的绝对描述。实验数据和理论计算不一致时，先查电源、共模输入范围、反馈电阻阻值和电容极性。

7.5 考前复习建议

• 比例、加法、减法电路要做到不背公式也能在 30 秒内推导。考试一旦记混公式，可以用虚短虚断重新推。
• 积分电路至少练两种输入波形：方波转三角波、三角波转方波。
• 比较器重点练阈值计算、输出状态判断和波形翻转点。
• 反馈判断选择、填空题多刷 10 道左右，看到电路图能立刻说出组态。
• 所有计算题最后都检查电源电压，避免把饱和题当作线性题处理。

集成运算放大器的题目再多，最后都归结到同一个判断上：有负反馈且未饱和，就用虚短虚断；开环、正反馈或已经饱和，就在比较器的两个输出状态里选一个。把这条主线记住，配合足够的例题练习，专升本考试中运放部分的分数是可以稳定拿到的。