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一、数据结构基本介绍

什么是数据结构

数据结构，是计算机中组织、存储和管理数据的一套方式。现实世界里我们会把物品分类存放，方便查找、取用；在程序当中，数据同样需要合理的组织方式，这就是数据结构。

程序处理的本质就是对数据做操作：存储、查询、插入、删除、修改。不同的数据结构，在完成同样操作时，消耗的时间和内存是不一样的。学习数据结构，核心目的就是根据业务场景，选择合适的数据结构，优化程序的执行效率。

数据结构的分类

数据结构可以分为两大类别：线性结构与非线性结构。

1. 线性结构
数据元素之间是一对一的关系，排成一条直线。
常见：数组、链表、栈、队列。

数组：连续内存，支持下标随机访问；
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链表：离散内存，依靠指针串联；
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栈：后进先出（LIFO）；
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队列：先进先出（FIFO）。

2. 非线性结构
元素之间是一对多、多对多的关系。
常见：树、图、哈希表。

树：一对多，例如二叉树；
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图：多对多，用来表示网络关系。

算法与数据结构的关系

数据结构是数据存放的容器，算法是处理数据的方法，二者相辅相成。
举个例子：在有序数组中查找目标值。

如果使用暴力遍历，从头到尾逐个对比，时间复杂度 O(n)；
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如果使用二分查找算法，每次直接排除一半数据，时间复杂度优化到 O(\log n)。
数据结构提供存储载体，算法负责高效操作数据。

学习顺序：先掌握基础线性结构（数组、链表），再学习栈、队列，之后再学习树、图等复杂结构。

二、数组基本概念

数组的定义

数组是一种连续的、固定大小的线性数据结构，在内存中开辟一块连续的存储空间，存放一组相同类型的数据。

数组核心特性

1. 内存连续
数组的所有元素在内存地址上是紧挨着的，没有空隙。这是数组最重要的特点。

正因为内存连续，数组可以通过下标直接定位元素，实现随机访问，访问任意下标元素的时间复杂度为 O(1)。

2. 下标从0开始
绝大多数编程语言（C/C++、Python、Java）数组下标起始为0。
数组第一个元素下标为0，第二个下标为1，以此类推。
对于长度为n的数组，合法下标范围是 0 \sim n-1。

注意：下标不能越界，如果访问下标等于数组长度，就会发生数组越界错误。

3. 长度固定
静态数组一旦创建，数组的总长度就不能改变。
如果想要存放更多元素，只能重新开辟一块更大的内存空间，把旧数组的数据复制过去。Python中的list虽然可以动态append，底层本质也是数组扩容机制。

数组与二分查找的关系

二分查找能够生效，前提条件是数组必须有序。
数组拥有随机访问能力，我们可以快速拿到中间位置的元素，不断缩小查找区间。如果是无序数组，无法使用二分查找，只能暴力遍历。
LeetCode704题目给出的就是升序数组，正好适合二分查找。

三、二分查找两种区间写法解题思路

本题为有序数组的目标值查找，利用二分查找可以将时间复杂度优化至 O(log n)。根据区间定义不同，分为左闭右闭和左闭右开两种标准写法，核心逻辑为不断缩小查找区间，直至找到目标或区间为空。

一、写法一：左闭右闭区间 [left, right]

1. 区间定义

查找区间为 左右边界均包含 的有效下标区间。
初始化：左指针 left = 0 ，右指针 right = len(nums) - 1 ，区间内所有下标都是合法查找范围。

2. 循环条件

循环条件设置<= right 。 原因：当 left == right 时，区间内仍保留一个有效元素，需要进入循环判断；只有 left > right` 时，区间彻底为空，查找结束。

3. 区间收缩逻辑

每次取中间位置 mid = left + (right - left) // 2 ，避免数值溢出：

1. 若 nums[< target ：目标值在右侧区间，mid 位置已排除，更新左边界 left = mid + 1
​
2. 若 nums[mid] > target ：目标值在左侧区间，mid 位置已排除，更新右边界 right = mid - 1
​
3. 若 nums[mid] == target ：找到目标元素，直接返回当前下标 mid

4. 结果处理

循环正常退出说明区间内无目标值，返回 -1。

复杂度

时间复杂度：O(log n)，每次查找区间长度减半
​
空间复杂度：O(1)，仅使用常数变量



二、写法二：左闭右开区间 [left, right)

1. 区间定义

查找区间为 包含左边界、不包含右边界。
初始化：左指针 left = 0 ，右指针 right = len(nums) ，right 为数组边界外下标，不属于查找区间。

2. 循环条件

循环条件设置为 while left< right 。
原因：左、右指针相等时，区间 [left, right) 为空，无元素可判断，直接结束循环。

3. 区间收缩逻辑

同样取中间位置 mid = left + (right - left) // 2 ：

1. 若 nums[mid]< target ：目标在右侧，更新左边界 left = mid + 1
​
2. 若 nums[mid] > target ：目标在左侧，因右边界为开区间，mid 本身不在区间内，直接更新右边界 right = mid
​
3. 若 nums[mid] == target ：找到目标元素，返回下标 mid

4. 结果处理

循环结束未匹配到目标值，返回 -1。

复杂度

时间复杂度：O(log n)
​
空间复杂度：O(1)



总结

两种写法核心区别由区间定义决定，三者必须统一：

1. 左闭右闭： right=len-<=right 、 right=mid-1
​
2. 左闭右开： right=len <right 、 right=mid`
两种算法效率完全一致，仅边界处理逻辑不同。