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二叉树的应用

二叉树广泛应用在编译器的设计领域，以及在查找中的应用。

例如：表达式树、二叉查找树。把数据构造为二叉查找树，相当于把数据排序。排序就是为了加快查找。

树的平衡

树的平衡是指任何节点的深度均不得过深。极端不平衡的树相当于链表了，而链表实现插入的代价巨大。

最古老的平衡查找树：AVL树。

二叉树的公式

第i(i>=1)层上结点数最大值：2^i-1，即1、2、4、8、16...。
深度为i的树的结点数最大值，或从第i(i>=1)到1层所有结点数最大值：2ⁱ-1。即1、3、7、15、31。这称为满二叉树。
结点总数n=n₂+n₁+n₀，度为0的结点数n₀=n₂+1。
n个结点的完全二叉树，深度=⌊log₂n⌋+1。
深度k>1的完全二叉树，最少的叶子结点数=2^k-2。
第i个结点的父结点编号为⌊i/2⌋，左孩子编号为2*i，右孩子编号为2*i+1。

第索引i结点的父结点编号为i时，左孩子编号为2*i + 1，右孩子编号为2*i + 2。

与普通的二叉树不同，完全二叉树可以使用数组进行隐式表示，无需使用指针。

完全二叉树的最后一个父节点的索引为n/2-1，n为结点总数。

遍历

先序、中序、后序遍历是指结果要给出一个顺序表，树中的节点关系在顺序表中要满足序类型。都是要从根结点先沿左叉向下深度查找，最后根据序类型再给出结果。

每个结点的右子树为空的二叉树，则其先序序列和中序序列相反。

二叉树层次遍历

（又称层序遍历）是从根节点出发，‌自上而下、从左到右逐层访问‌每个节点，属于‌广度优先搜索（BFS）‌。‌‌

‌核心实现（队列法）‌：

1. 根节点入队
2. 循环：出队一个节点并访问，将其‌左、右孩子依次入队‌
3. 队列为空时遍历结束

‌复杂度‌：时间 ‌O(n)‌，空间 ‌O(n)‌（n为节点数）。‌‌

‌关键技巧‌：若需按层输出结果，在每轮循环前‌先记录当前队列长度‌，仅处理该层节点，即可区分每一层。‌‌

‌变种‌：锯齿形层序遍历（按层奇偶改变左右顺序）等。‌‌

算法：输出二叉树各结点的值

//中序遍历 void printtree (BiTree BT) { BiTnode* p=BT; InitStruct(s); //构造一个数组结构s s.top=0; while (p || s.top!=0) { //把p、左子、左子的左子...，存入eles。 while (p) { s.eles[s.top++]=p; p=p->lchild ; } if (s.top>0) { //输出eles中最后一个元素。 p=s.eles[s.top--]; cout < < p->data;//int pos=s.top，输出的元素将不在eles中继续保存。 //遍历p的右子树 p=p->rchild; //在下一次进入循环时，eles[pos]会被替换为p，即原p的右子结点。 } } }

<h1>树和二叉树的转换</h1>

树转二叉树：
1.将所有兄弟连接起来；
2.保留兄弟中的第一个结点与父结点的连接，断开其它的父连接；
3.结果即是使这条兄弟链变成以兄长为根的子树，子树左排列、子树内部右排列；

森林转二叉树：
1.将每棵树对应的二叉树的根作为兄弟结点连接起来；
2.同样遵循子树左排列、子树内部右排列的规则；

二叉树转森林：
把二叉树中的所有右子树中的各结点断开连接，再连接到父结点；

<h1>哈夫曼（Huffman）树</h1>
判定树：描述分类过程的二叉树。分类问题中的因素有总数N，某个类别的属性有名称、条件、占比。二叉树中分叉结点表示判断条件，叶子结点表示值。判断树中的问题在于，同一个分类问题有不同的分类算法，会产生不同的判定树。它们从表面上看有纵深形状或水平形状，那么它们的总加权遍历查找的计算量也不同。则判定树中要研究的课题是要使平均比较次数计算量最小。

哈夫曼算法和哈夫曼树：
1.给定一组类别，{p1，p2，...，pk}，构造初始森林{T1，T2...Tk}
2.从森林中选两个根结点权（即占比）最小的树合并，它们分别为新树的左右子树，新树的根结点权为左右子结点权之和。
3.直到森林中只剩一棵二叉树，即哈夫曼树。
哈夫曼树中共有2n-1个结点，其中n个叶结点是初始森林中的n个结点。

哈夫曼编码：

堆是一种特殊的完全二叉树，它满足一个关键特性：堆顶是最大值或最小值。