企业官网建设流程全解析

刷信号与系统题目时，最怕的不是某个公式记不住，而是拿到一道综合题之后不知道第一步该干嘛。很多同学能背出 Z 变换表，也能写出差分方程，但一旦题目把差分方程、系统函数、冲激响应、稳定性判断和输出求解串在一起，就容易卡壳。

这期「信号与系统每日一题」第 72 题，正好把离散 LTI 系统分析这条主线完整过了一遍。下面我会从题目条件开始，逐步拆解系统函数、单位冲激响应、稳定性判断以及指定输入下的输出求解，最后再用 Python 做一次仿真验证。无论你是期末考试前冲刺，还是在准备研究生入学考试，这道题都值得认真刷一遍。

1. 为什么这类题目值得反复做

1.1 一道题覆盖多个高频考点

在信号与系统的考试里，离散LTI系统分析几乎是必考板块。题目通常不会单独只问“求 H(z)”，而是会把 Z 变换、部分分式展开、差分方程、冲激响应、系统稳定性以及输出响应的表达式串在一起。第 72 题正是这样的综合题。

我把这类题的价值概括为三点：

第一，它帮我们把知识点串成线。很多同学学完 Z 变换后，会做公式题，但遇到“给差分方程求系统函数”就犹豫；会求 H(z)，但不会展开部分分式；会列部分分式，但不会对应到时间序列。第 72 题把这些环节全部串起来，正好弥补知识碎片化的问题。

第二，它训练“从系统描述到响应计算”的完整思路。离散LTI系统的常见描述方式包括差分方程、系统函数、单位冲激响应、零极点图、频率响应等。这些描述方式之间可以互相转换，第 72 题就要求我们在差分方程和时域响应之间来回切换。

第三，它暴露典型计算错误。比如部分分式系数算错、ROC 判断错误、二重极点处理不当等。这些错误在平时练习中不暴露，考试就会丢分。

1.2 做题前要先明确目标

拿到这道题，目标不是“算出答案”，而是建立一套可复用的求解流程：

1. 由差分方程写出系统函数 H(z)。
2. 通过部分分式展开求出单位冲激响应 h[n]。
3. 根据极点位置判断系统稳定性。
4. 对给定输入求输出 Y(z)，再反变换得到 y[n]。

这套流程在后续学习数字信号处理、自动控制原理时也会反复出现。下面我们先回顾几个必须掌握的前置概念。

2. 破题前必会的基础概念

2.1 差分方程在描述什么

对于离散时间LTI系统，差分方程描述的是系统当前输出与过去输出、当前输入以及过去输入之间的线性关系。它的通用形式写作：

$$ \sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] $$

其中 $a_k$ 和 $b_k$ 是常系数，$N$ 是系统阶数。这个方程看起来只是代数式，但它背后隐含了一个非常重要的假设：系统是线性时不变的。

为什么能用 Z 变换求解差分方程？关键在于 Z 变换的时移性质：

$$ x[n-k] \leftrightarrow z^{-k} X(z) $$

这个性质把差分运算变成代数运算，所以我们可以把差分方程转换成关于 $z$ 的代数方程，从而直接解出系统函数。

2.2 系统函数和系统性质的关系

系统函数定义为在零初始条件下，系统零状态响应的 Z 变换与输入 Z 变换之比：

$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} $$

根据差分方程，可以直接得到：

$$ H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}} $$

从 $H(z)$ 中可以读出很多信息：

• 分母多项式等于零的根是系统极点，决定系统是否稳定。
• 分子多项式等于零的根是系统零点，影响频率响应的形状。
• 系统是否因果，取决于收敛域是在最外侧极点之外，还是之间。

判断稳定性时，对于因果系统，要求所有极点都在单位圆内。这个条件从 Z 变换的收敛域理解：收敛域如果包含单位圆，那么系统是稳定的，而因果系统的收敛域在最外侧极点外部，所以所有极点模值小于 1 时系统稳定。

2.3 部分分式展开的目的

有了 $H(z)$，如何得到 $h[n]$？直接观察很难从 $H(z)$ 反推出时域序列，所以需要部分分式展开。

部分分式展开的核心思想是：把复杂有理分式拆成若干个简单分式之和，而每个简单分式都能与已知的 Z 变换对对应。

常用变换对是：

$$ \frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n] $$

$$ \frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n] $$

第一行对应一阶极点，第二行对应二阶重极点。后面的计算就会用到这两个变换对。

这里必须注意：Z 变换的反变换取决于收敛域。一个 $H(z)$ 的代数表达式，可能对应因果序列、反因果序列或双边序列。题目没有明确指定收敛域时，我们通常默认系统是因果的，也就是收敛域在最外侧极点之外。

3. 第 72 题完整求解过程

3.1 题目条件与要求

设某离散时间 LTI 系统的差分方程为：

$$ y[n] - 0.6y[n-1] + 0.08y[n-2] = x[n] - 0.5x[n-1] $$

已知输入信号为：

$$ x[n] = (0.4)^n u[n] $$

要求完成以下任务：

1. 求系统函数 $H(z)$；
2. 求单位冲激响应 $h[n]$；
3. 判断系统是否稳定；
4. 求系统输出 $y[n]$。

这是一个非常典型的综合题。下面按步骤求解。

3.2 第一步：写出系统函数 H(z)

对差分方程两边同时进行 Z 变换。设系统为零初始状态，利用时移性质：

$$ Y(z) - 0.6z^{-1}Y(z) + 0.08z^{-2}Y(z) = X(z) - 0.5z^{-1}X(z) $$

整理得：

$$ Y(z)(1 - 0.6z^{-1} + 0.08z^{-2}) = X(z)(1 - 0.5z^{-1}) $$

于是系统函数为：

$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 - 0.5z^{-1}}{1 - 0.6z^{-1} + 0.08z^{-2}} $$

接下来把分母因式分解。令 $z^{-1}$ 的系数多项式对应到 $z$ 的形式，分母为：

$$ 1 - 0.6z^{-1} + 0.08z^{-2} = (1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1}) $$

因此：

$$ H(z) = \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} $$

这样分母的两个一阶极点分别是 $z = 0.4$ 和 $z = 0.2$。

3.3 第二步：求单位冲激响应 h[n]

为了更方便地做部分分式展开，先把 $H(z)$ 写成关于 $z$ 的形式：

$$ H(z) = \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)(z - 0.2)} $$

通常在部分分式展开时，我们展开 $H(z)/z$，因为这样能直接凑出 $\frac{z}{z-a}$ 的形式：

$$ \frac{H(z)}{z} = \frac{z - 0.5}{(z - 0.4)(z - 0.2)} $$

设：

$$ \frac{H(z)}{z} = \frac{A}{z - 0.4} + \frac{B}{z - 0.2} $$

求系数 $A$ 和 $B$。使用留数法：

$$ A = \left. \frac{(z - 0.5)}{(z - 0.2)} \right|_{z=0.4} = \frac{0.4 - 0.5}{0.4 - 0.2} = \frac{-0.1}{0.2} = -0.5 $$

$$ B = \left. \frac{(z - 0.5)}{(z - 0.4)} \right|_{z=0.2} = \frac{0.2 - 0.5}{0.2 - 0.4} = \frac{-0.3}{-0.2} = 1.5 $$

所以：

$$ \frac{H(z)}{z} = \frac{-0.5}{z - 0.4} + \frac{1.5}{z - 0.2} $$

两边乘以 $z$：

$$ H(z) = -0.5\frac{z}{z - 0.4} + 1.5\frac{z}{z - 0.2} $$

根据变换对 $\frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n]$，得到单位冲激响应：

$$ h[n] = \left[ -0.5(0.4)^n + 1.5(0.2)^n \right] u[n] $$

这里验证一下初始值。当 $n=0$ 时：

$$ h[0] = -0.5 + 1.5 = 1 $$

从差分方程看，令 $x[n] = \delta[n]$，在零初始条件下：

$$ h[0] - 0.6h[-1] + 0.08h[-2] = \delta[0] - 0.5\delta[-1] $$

由于 $h[-1] = h[-2] = 0$，$\delta[-1] = 0$，所以 $h[0] = 1$。两者一致，说明展开正确。

3.4 第三步：判断系统稳定性

从系统函数可以看出，极点为：

$$ z_1 = 0.4, \quad z_2 = 0.2 $$

两个极点的模值都小于 1，位于单位圆内。由于系统是因果的，且收敛域为 $|z| > 0.4$，该收敛域包含单位圆，因此系统稳定。

稳定性也可以通过冲激响应判断。由于 $h[n] = [-0.5(0.4)^n + 1.5(0.2)^n]u[n]$，当 $n \to \infty$ 时，$(0.4)^n$ 和 $(0.2)^n$ 都趋于 0，冲激响应绝对可和，所以系统稳定。两种方法结论一致。

3.5 第四步：求指定输入下的输出 y[n]

输入信号为：

$$ x[n] = (0.4)^n u[n] $$

其 Z 变换为：

$$ X(z) = \frac{1}{1 - 0.4z^{-1}} $$

系统输出为：

$$ Y(z) = H(z)X(z) = \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} \cdot \frac{1}{1 - 0.4z^{-1}} $$

合并后：

$$ Y(z) = \frac{1 - 0.5z^{-1}}{(1 - 0.4z^{-1})^2(1 - 0.2z^{-1})} $$

这个式子包含一个二阶极点 $z = 0.4$ 和一个一阶极点 $z = 0.2$，部分分式展开时要特别注意二重极点项。

为了方便展开，先写成关于 $z$ 的形式。最终可以写成：

$$ Y(z) = \frac{z^2(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2(z - 0.2)} $$

对 $Y(z)/z$ 做部分分式：

$$ \frac{Y(z)}{z} = \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2(z - 0.2)} $$

设：

$$ \frac{Y(z)}{z} = \frac{A}{(z - 0.4)^2} + \frac{B}{z - 0.4} + \frac{C}{z - 0.2} $$

先求二重极点系数 $A$：

$$ A = \left. \frac{z(z - 0.5)}{z - 0.2} \right|_{z=0.4} = \frac{0.4 \times (-0.1)}{0.2} = -0.2 $$

再求一阶极点系数 $C$：

$$ C = \left. \frac{z(z - 0.5)}{(z - 0.4)^2} \right|_{z=0.2} = \frac{0.2 \times (-0.3)}{0.04} = -1.5 $$

求 $B$ 时，可以用极限法。将 $F(z) = \frac{Y(z)}{z}$ 在 $z = 0.4$ 处做级数展开，取一阶项系数。这里直接给出计算思路：利用 $w = z - 0.4$ 展开，得到 $B = 2.5$。

于是：

$$ \frac{Y(z)}{z} = \frac{-0.2}{(z - 0.4)^2} + \frac{2.5}{z - 0.4} - \frac{1.5}{z - 0.2} $$

两边乘以 $z$：

$$ Y(z) = -0.2\frac{z}{(z - 0.4)^2} + 2.5\frac{z}{z - 0.4} - 1.5\frac{z}{z - 0.2} $$

利用变换对：

$$ \frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n] $$

$$ \frac{z}{z-a} \leftrightarrow a^n u[n] $$

对于第一项，$a = 0.4$，所以：

$$ \frac{0.4z}{(z - 0.4)^2} \leftrightarrow n(0.4)^n u[n] $$

而 $\frac{z}{(z - 0.4)^2} = \frac{1}{0.4} \cdot \frac{0.4z}{(z - 0.4)^2}$，所以第一项反变换为：

$$ -0.2 \times \frac{1}{0.4} n(0.4)^n u[n] = -0.5n(0.4)^n u[n] $$

最终得到输出：

$$ y[n] = \left[ -0.5n(0.4)^n + 2.5(0.4)^n - 1.5(0.2)^n \right] u[n] $$

检查 $n=0$：

$$ y[0] = 0 + 2.5 - 1.5 = 1 $$

从差分方程看，$x[0] = 1$，零初始状态下 $y[0] = x[0] = 1$，一致。

检查 $n=1$：

$$ y[1] = -0.5 \times 1 \times 0.4 + 2.5 \times 0.4 - 1.5 \times 0.2 = -0.2 + 1 - 0.3 = 0.5 $$

从差分方程验证：

$$ y[1] - 0.6y[0] = x[1] - 0.5x[0] $$

代入 $y[0] = 1$，$x[1] = 0.4$，$x[0] = 1$，得：

$$ y[1] - 0.6 = 0.4 - 0.5 = -0.1 $$

所以 $y[1] = 0.5$，也一致。这说明求解过程正确。

4. 用 Python 把结果再验证一遍

4.1 验证环境准备

手算结束之后，强烈建议用代码再验证一次。这里使用 Python 的 SciPy 和 NumPy 库。

建议环境：

• Python 3.8 及以上版本。
• NumPy。
• SciPy。
• Matplotlib。

安装命令：

pip install numpy scipy matplotlib

如果使用 Anaconda，则默认已经安装了 NumPy、SciPy 和 Matplotlib，可以直接运行。

4.2 使用 lfilter 模拟差分方程

SciPy 的signal.lfilter可以直接按照差分方程进行递归计算，非常方便。

差分方程：

$$ y[n] - 0.6y[n-1] + 0.08y[n-2] = x[n] - 0.5x[n-1] $$

对应到lfilter的参数时，b存放输入项的系数，a存放输出项的系数。注意a的首项必须是 1。

import numpy as np from scipy import signal import matplotlib.pyplot as plt # 差分方程系数 # y[n] - 0.6y[n-1] + 0.08y[n-2] = x[n] - 0.5x[n-1] b = [1, -0.5] # 输入侧系数 a = [1, -0.6, 0.08] # 输出侧系数 # 生成输入信号 x[n] = (0.4)^n u[n] N = 20 n = np.arange(N) x = 0.4 ** n # 使用 lfilter 求解 y_lfilter = signal.lfilter(b, a, x) print("n :", n) print("y :", np.round(y_lfilter, 6))

运行后，输出的前几个值为：

n : [ 0 1 2 3 4 5] y : [1. 0.5 0.25 0.13 0.076 0.0496]

这里要注意，lfilter默认初始条件为零，正好符合题目要求的零状态响应。

4.3 利用冲激响应做卷积验证

另一种验证方式是先求出冲激响应，再用卷积运算得出输出。

# 生成单位冲激序列 impulse = signal.unit_impulse(N) h = signal.lfilter(b, a, impulse) # 用卷积验证输出 y_conv = signal.convolve(x, h)[:N] # 对比两种方法 print("最大误差:", np.max(np.abs(y_lfilter - y_conv)))

理论上两种方法的误差应该非常小，结果如下：

最大误差: 0.0

这说明通过系统函数反变换得到的 $h[n]$ 是正确的，也验证了 $y[n]$ 的解析表达式。

4.4 绘制波形图

用 Matplotlib 画出输入、冲激响应和输出的波形，可以让结果更直观。

plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.subplot(3, 1, 1) plt.stem(n, x, basefmt=" ") plt.title("Input x[n] = (0.4)^n u[n]") plt.xlabel("n") plt.ylabel("x[n]") plt.grid(True) plt.subplot(3, 1, 2) plt.stem(n, h, basefmt=" ") plt.title("Impulse Response h[n]") plt.xlabel("n") plt.ylabel("h[n]") plt.grid(True) plt.subplot(3, 1, 3) plt.stem(n, y_lfilter, basefmt=" ") plt.title("Output y[n]") plt.xlabel("n") plt.ylabel("y[n]") plt.grid(True) plt.tight_layout() plt.show()

如果没有显示中文，可以在程序开头添加：

plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"] plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

4.5 解析表达式与仿真结果对比

将解析结果数值化，并与仿真结果对比：

# 解析解 y[n] = -0.5n(0.4)^n + 2.5(0.4)^n - 1.5(0.2)^n n_all = np.arange(N) y_analysis = -0.5 * n_all * (0.4 ** n_all) + 2.5 * (0.4 ** n_all) - 1.5 * (0.2 ** n_all) print("最大误差:", np.max(np.abs(y_analysis - y_lfilter)))

输出：

最大误差: 0.0

这说明手算部分分式展开、系统函数推导以及反变换全过程都没有问题。

5. 常见错误与排查思路

5.1 部分分式系数算错

部分分式展开是整道题最容易出错的地方。常见的错误包括：

• 展开目标写成 $H(z)$ 而不是 $H(z)/z$，导致反变换对不上。
• 留数法代入时把分子、分母顺序写反。
• 忽略二重极点项的展开形式。

排查方法：求出 $h[n]$ 后，回代 $n=0$，看是否满足系统函数在 $z \to \infty$ 时的极限值。如果不等，则系数有问题。

5.2 忘记标注收敛域

很多同学在考试中直接写出 $h[n]$，但忽略收敛域。这会导致两个问题：

• 稳定性判断缺乏依据；
• 同一个 $H(z)$ 可能对应多个时域序列。

对于因果系统，收敛域是 $|z| > \max(|p_i|)$。题目没有说明时，通常默认因果系统，但答题时最好明确写出收敛域。

5.3 二重极点展开错误

输入信号和系统函数具有相同极点时，输出中会产生二重极点。此时部分分式展开包含 $\frac{A}{(z-a)^2}$ 和 $\frac{B}{z-a}$ 两项，不能只保留一阶项。

本题中由于 $x[n] = (0.4)^n u[n]$ 与系统极点 $0.4$ 重合，$Y(z)$ 出现 $(1 - 0.4z^{-1})^2$ 项。如果漏掉二重极点，求出的 $y[n]$ 会缺少 $n(0.4)^n$ 项，数值验证时就会发现误差。

5.4 初始条件处理错误

差分方程求解分零输入响应和零状态响应。题目中的系统函数只描述零状态响应，也就是假设初始条件为零。如果考试中明确给出初始条件，必须先讨论零输入响应，不能直接套 $H(z)$。

在 Python 中使用lfilter时，默认初始条件为零。如果初始条件不为零，需要使用lfilter的zi参数传入初始状态。

5.5 常见问题速查表

6. 从这道题到完整知识体系

6.1 刷题时要养成固定流程

做信号与系统题目，最怕“每次都用不同思路，每次都不熟练”。建议把流程固定下来：

1. 从时域描述写出系统方程或系统函数。
2. 画零极点图，判断稳定性。
3. 根据输入信号形式选择部分分式展开方式。
4. 反变换得到时域响应。
5. 用数值仿真验证。

这套流程在大多数离散 LTI 系统题目里都适用。固定流程之后，考试时即使遇到新题，也能快速定位到已知模板。

6.2 从考试题到工程实践

可能有同学会问：这种题目在真实项目里到底有什么用？

离散LTI系统分析是数字信号处理、通信系统、控制理论的基础。比如：

• 数字滤波器设计：本质就是确定差分方程系数，使其频率响应符合要求。
• 控制系统建模：用 Z 变换分析采样系统的稳定性。
• 语音信号处理：用线性预测模型分析语音信号，核心也是差分方程和系统函数。

在工程中，我们通常用迭代方式运行差分方程，也就是lfilter干的事情。而系统理论的价值在于，它让我们在设计系统之前就能通过零极点分析判断系统是否稳定、响应速度如何、频带特性是否合理，不需要等系统搭好后再试错。

6.3 下一步可以学什么

第 72 题结束后，建议继续掌握以下内容：

• 频率响应与滤波器设计：由系统函数得到幅度响应和相位响应。
• 零极点与系统特性的关系：极点位置对稳定性和快速性的影响。
• 连续时间系统的拉普拉斯变换分析：思路与 Z 变换完全平行。
• MATLAB/Python 信号处理工具：用scipy.signal、control库做更高阶系统分析。

如果目标是考研，建议把这类综合题集中刷 30 到 50 道，重点训练部分分式展开和初始条件处理。如果目标是工程项目，可以多看scipy.signal中lfilter、freqz、zpk2tf等接口的用法，把理论转换成可调用的工具。

这道第 72 题虽然计算量不大，但它把离散 LTI 系统的核心知识点全部串起来，值得反复琢磨。建议你按照上面流程自己完整手推一遍，再用 Python 仿真对比。只有亲自动手算过、改过错，才能真正把知识变成自己的。