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这次我们来看一个比较特殊的 AI 项目：Examples for use of AI and especially LLMs in major mathematical developments。它不是又一个界面漂亮的 WebUI，也不是又一个能出图的扩散模型，而是一组聚焦“LLM 在重大数学发展中能做什么”的示例集合。直白说，这个项目的核心不是在演示“AI 能聊数学题”，而是在梳理：当数学家面对一个真正困难的研究问题时，LLM 到底能在哪个环节产生实质帮助，以及怎么验证它给出的结果是否可靠。

从材料看，这类示例通常覆盖反例构造、证明补全、形式化证明辅助、文献分析、数值实验设计等方向。它的特点可以归纳为几点：一是以“示例驱动”而不是“模型驱动”，重点在方法论；二是强调“建议搭配形式化验证工具使用”，不鼓励把 LLM 的推理结果直接当结论；三是对环境要求比较灵活，既可以用 API 调用大模型，也可以接本地推理服务。这篇文章我会按“能用来做什么、环境怎么准备、示例怎么跑、效果怎么验证、批量任务怎么做”的顺序展开，尽量给出一套可以落地的操作思路。

内容会比较适合三类读者：想用 AI 辅助数学研究的科研人员和学生、在 LLM 应用层做垂直场景开发的工程师、以及打算把 LLM 接入验证流程（Lean/Coq/SymPy）的技术爱好者。如果你只是想把 LLM 当计算器用，这文章可能帮不上太多忙；但如果你关心的是“AI 在数学推理里到底有没有用、怎么用才不算瞎用”，那这篇可以直接收藏。

1. 核心能力速览

这里要说明一下：由于原始材料没有给出具体的仓库地址、作者团队、依赖清单和示例文件清单，上表中的“显存占用”“是否支持 API”等条目只能按通用情况给判断。真正部署时，需要以你拿到的项目 README 或示例代码为准。

2. 适用场景与使用边界

AI 在数学发展中的价值，不在于让模型直接“写出一个惊天动地的证明”，而在于它能把人类研究者从重复性、机械性的探索中解放出来。从实际用途看，LLM 在这类项目里最常见的角色有五个：

1. 反例搜索。针对一个猜想或命题，让模型尝试构造反例，或者分析命题在哪些边界条件下会失效。数学研究中，反例往往比证明更能推动认知前进。
2. 证明草稿生成。给定定理描述和部分证明思路，让模型补全中间步骤。这能提供一个“初稿”，再由数学家验证和修正。
3. 形式化证明辅助。Lean、Coq、Isabelle 等交互式证明助手使用门槛高，LLM 可以帮忙生成 tactic 序列或者解释报错信息，降低入门成本。
4. 文献与概念分析。把一段数学摘录或某个定义交给模型，让它梳理逻辑依赖、给出直觉解释、列出相关引理。
5. 数值实验与代码生成。让模型生成 Python/SymPy 代码来验证某些特殊情形，辅助形成更严谨的猜想。

但也要把边界说清楚。这里最大的风险是“幻觉”和“格式正确但逻辑错误”。LLM 输出的证明过程可能看起来完全合理，实际上中间藏着跳步或错误假设。所以任何使用场景都必须搭配符号计算、形式化验证工具，或者至少经过数学家的严格复核。

还有几类场景不建议使用：

• 涉及保密或未公开研究内容的场景，不要把私有思路直接传给外部 API。
• 需要确定性输出的场景，比如自动判题系统，LLM 可能给出不一致答案。
• 涉及版权材料、他人论文正文的场景，未经授权不要整篇投喂给模型做分析。

如果后续要在论文或项目中引用 AI 辅助得到的结论，建议遵循学术规范，明确标注 AI 的参与程度，并保留 prompt、模型版本和验证日志，方便追溯。

3. 环境准备与前置条件

这个项目不像常见的 ComfyUI 或 WebUI，没有一个“双击启动”的固定入口。更合理的做法是把它当作一个实验环境来搭建。下面是一套通用检查清单，具体版本以实际项目说明为准。

3.1 基础软件

• 操作系统：Linux / macOS / Windows 均可。Linux 在本地 LLM 推理和生产化批量任务上更省心。
• Python：建议 3.9 以上。多数 LLM SDK、符号计算库和 Notebook 都依赖较新的 Python。
• Jupyter Notebook 或 Jupyter Lab：适合跑示例和交互式调试。
• Git：克隆示例代码、管理 prompt 和实验脚本版本。

# 通用安装命令，具体包名以项目 requirements.txt 为准 python -m venv .venv source .venv/bin/activate # Windows 下使用 .venv\Scripts\activate pip install jupyter notebook openai python-dotenv sympy

3.2 LLM 服务接入

有两类接入方式：

• 云端 API：OpenAI、Anthropic、Google 等厂商提供的 API，接入简单，不占用本地显存。需要准备 API Key，并在环境变量中配置。
• 本地推理服务：Ollama、LM Studio、vLLM 等。适合数据敏感、希望控制成本的场景。缺点是会占用 CPU/GPU 资源，显存需求取决于模型大小。

如果选择本地服务，可以先拉一个较小的数学推理能力不错的模型，比如 Qwen 系列或 DeepSeek 系列的量化版本。不要一开始就上 70B 级别的模型，先跑通流程再换大模型是更稳妥的做法。

3.3 形式化验证工具（可选）

如果示例涉及证明辅助，需要安装 Lean 4 或 Coq。以 Lean 4 为例，一般通过 elan 安装工具链：

# Lean 4 安装示例，具体版本见 Lean 官方文档 curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/leanprover/elan/master/elan-init.sh | sh elan default stable

这里提醒一句：Lean 和 Coq 的学习曲线比较陡，如果只是先看示例，可以直接跑“LLM 生成证明草稿 + 人工判断”的闭环，不一定要立刻引入形式化验证。

3.4 环境变量配置

建议把 API Key 和模型配置写入.env，而不是写在代码里。示例：

# .env 示例，修改成你自己的配置 LLM_API_KEY=sk-xxxx LLM_BASE_URL=https://api.openai.com/v1 LLM_MODEL=gpt-4o-mini LLM_TEMPERATURE=0.2

这样既方便批量任务切换模型，也避免 Key 泄露。

4. 安装部署与启动方式

由于没有具体的仓库地址，这里给出一套“拿到示例代码后如何启动”的标准化流程。如果你已经拿到了 GitHub 仓库地址，第一步就是克隆仓库：

git clone <your-example-repo-url> cd <example-repo-directory>

然后创建虚拟环境并安装依赖：

python -m venv .venv source .venv/bin/activate # Windows 下使用 .venv\Scripts\activate pip install -r requirements.txt

启动 Jupyter：

jupyter notebook

如果项目提供的是纯 Python 脚本，则可以直接用命令行运行：

python examples/01_counterexample_search.py --prompt "Your math statement here"

从部署难度看，这类项目通常比部署 Stabel Diffusion WebUI 简单得多，因为核心计算在 LLM 服务端，本地只是做 prompt 拼装和结果解析。最容易出问题的反而是环境变量没配对、API 模型名写错、或者 Jupyter 内核没有选中虚拟环境。

5. 功能测试与效果验证

测试这类示例不能只盯着“模型有没有输出”，更要关注“输出是否正确、是否可验证”。下面给出 5 类典型测试用例，每个用例都包含输入示例、操作步骤、判断标准和失败排查思路。

5.1 反例搜索测试

测试目的：验证 LLM 是否能够针对给定的数学命题构造反例或边界情况。

输入示例：

命题：对所有实数 a、b，都有 |a + b| <= |a| + |b|（三角不等式）。 这个命题是否成立？如果成立，请给出思路；如果不成立，请给出反例。

操作步骤：

1. 构造一个包含命题描述的 prompt。
2. 设置较低的温度参数（如 0.2），避免输出过于发散。
3. 运行示例脚本并记录输出。
4. 将模型输出的反例代入原命题，用 SymPy 验证。

预期结果：模型能识别三角不等式成立，并给出证明思路；如果命题不成立，应能给出具体数值反例。

判断是否成功：代入验证后，如果输出与命题的真假一致，且验证代码运行结果正确，认为通过。

失败排查：如果模型给出错误反例，尝试在 prompt 中增加“请先判断命题真假，再给反例，最后用数值验证”。如果模型反复出错，考虑换更大的模型或改用带数学推理增强的模型。

5.2 证明补全测试

测试目的：考察 LLM 补全数学证明中间步骤的能力。

输入示例：

证明：如果 n 是奇数，那么 n^2 也是奇数。 已知：n = 2k + 1（k 为整数）。 请补全从 n = 2k + 1 到 n^2 是奇数的完整推理步骤。

操作步骤：

1. 把“已知条件 + 目标结论 + 当前进度”一起放入 prompt。
2. 要求模型分步输出，并标记每一步依据。
3. 人工检查是否存在跳步。
4. 用符号运算验证关键恒等式。

预期结果：模型能写出 n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1，从而说明 n^2 是奇数。

判断是否成功：证明链完整，没有逻辑断点，所有代数运算正确。

失败排查：如果模型直接从 4k^2 + 4k + 1 跳到结论，缺少“令 m = 2k^2 + 2k，则 n^2 = 2m + 1”这一步，需要在 prompt 中强调“必须明确构造 m”。

5.3 形式化证明辅助测试

测试目的：验证 LLM 是否能生成可被 Lean/Coq 接受的证明片段。

输入示例：

Lean 4 中，如何证明：theorem sq_odd {n : Nat} (h : Odd n) : Odd (n ^ 2) := by

操作步骤：

1. 把目标定理和现有代码上下文传给 LLM。
2. 让模型生成by后面的 tactic 序列。
3. 用 Lean 编译器执行，观察是否报错。
4. 如果报错，将错误信息反馈给 LLM，迭代修复。

预期结果：模型生成类似rcases h with ⟨k, rfl⟩, use 2 * k * (k + 1), ring的可编译代码。

判断是否成功：Lean 编译器无报错，且所有目标都被关闭。

失败排查：常见问题是模型不熟悉 Lean 4 的库函数，可以喂给它对应的 import 列表和已有的辅助定理。也可以在 prompt 中加入“请使用数学库 Mathlib 中已有的定理”。

5.4 文献概念分析测试

测试目的：验证 LLM 是否能把一段抽象数学文本拆解成结构化的逻辑关系。

输入示例：

给定以下定义： “一个群 G 的子群 H 被称为正规子群，如果对任意 g in G 和 h in H，都有 g*h*g^{-1} in H。” 请解释：1) 这个定义试图刻画什么结构；2) 它与商群构造的关系；3) 给出一个非平凡的正规子群例子。

操作步骤：

1. 把定义和问题一起发送给模型。
2. 要求输出格式化为三部分：直觉解释、逻辑关系、例子。
3. 人工核对例子是否准确。
4. 如果用 Lean 或代码验证，可以把例子转成具体集合运算。

预期结果：模型能指出正规子群是“对共轭运算封闭的子群”，并能解释商群构造依赖于正规性条件。

判断是否成功：解释中的核心结论与教材一致，例子构造正确。

失败排查：如果模型把“正规子群”和“特征子群”概念混淆，需要补充提示词，明确要求区分不同子群类型。

5.5 数值实验代码生成测试

测试目的：验证 LLM 能否生成可运行的代码来辅助验证数学猜想。

输入示例：

请用 Python 验证：对于所有 1 <= n <= 10000，n^3 + n + 1 都是质数。 如果发现反例，输出第一个反例的 n 值。

操作步骤：

1. 运行模型生成的代码。
2. 观察代码是否能正确结束，并输出结果。
3. 验证输出是否正确（实际上这个命题很可能在某个 n 处失败）。
4. 如果代码报错，把报错信息返回给 LLM 修复。

预期结果：模型生成的代码可以运行，并输出某个使表达式非质数的 n，或者用户自行用 SymPy 验证时发现更小的反例。

判断是否成功：代码运行无致命错误，输出结果经过独立验证正确。

失败排查：很多 LLM 在这个测试里会“偷懒”，只检查了少量 n 就直接下结论。解决方法是要求模型必须遍历全部范围并打印检查过的最大 n。

6. 接口 API 与批量任务

这类项目非常适合批量化处理：把一组数学命题交给 LLM，让模型逐一判断、证明或构造反例，然后收集结果并分析。下面给出一个通用 API 调用模板和批量目录设计，路径和参数需要按实际项目调整。

6.1 通用 API 调用示例

import os import json import time from openai import OpenAI client = OpenAI( api_key=os.environ.get("LLM_API_KEY"), base_url=os.environ.get("LLM_BASE_URL", "https://api.openai.com/v1"), ) def ask_math_model(prompt: str, model: str = None, temperature: float = 0.2) -> str: """通用数学 prompt 调用，返回模型输出文本。""" model = model or os.environ.get("LLM_MODEL", "gpt-4o-mini") response = client.chat.completions.create( model=model, messages=[ { "role": "system", "content": "你是一位严谨的数学研究者。输出必须明确区分已知条件、推理步骤和结论。" }, {"role": "user", "content": prompt}, ], temperature=temperature, ) return response.choices[0].message.content

6.2 批量任务设计

建议将所有待测试数学题放入inputs/目录，每条记录包含唯一 ID、命题描述、期望输出类型和验证代码。输出结果统一写入outputs/，并用 JSONL 格式保存。

{ "id": "prob_0001", "statement": "对所有实数 a、b，都有 |a + b| <= |a| + |b|。", "task_type": "prove_or_disprove", "expected": "true", "note": "三角不等式" }

批量循环脚本可以这样写：

import json import time with open("inputs/propositions.jsonl", "r", encoding="utf-8") as f: tasks = [json.loads(line) for line in f if line.strip()] results = [] for task in tasks: prompt = ( "请判断以下命题是否成立。如果成立，给出证明思路；" "如果不成立，给出反例。请先明确你的结论。\n\n" + task["statement"] ) try: answer = ask_math_model(prompt) results.append({ "id": task["id"], "statement": task["statement"], "answer": answer, "status": "ok", }) except Exception as exc: results.append({ "id": task["id"], "statement": task["statement"], "error": str(exc), "status": "failed", }) time.sleep(1) # 简单限速，避免触发接口频率限制 with open("outputs/results.jsonl", "w", encoding="utf-8") as f: for item in results: f.write(json.dumps(item, ensure_ascii=False) + "\n")

6.3 失败重试策略

批量任务最常见的问题是网络超时、API 限流、模型偶尔给空输出。建议在代码里加入最多 3 次重试，且每次重试时把错误信息追加到 prompt 里，帮助模型在二次生成时避免同样的错误。同时为每个任务记录时间和模型名称，方便后续分析不同模型在数学任务上的成功率。

7. 资源占用与性能观察

这个项目比较特殊的点在“算力消耗其实不在本地”。如果你走云端 API 路线，本地资源占用可以忽略不计，主要成本是 Token 费用和网络延迟。一个包含完整证明草稿的 prompt 可能消耗几千 Token，如果批量运行，需要提前估算预算。

如果选择本地模型，重点观察这几个指标：

1. 显存占用。模型参数量、量化位数和上下文长度都会影响显存。7B 量化模型和 70B 全精度模型的差距非常大。不要轻信网上的固定数字，建议用nvidia-smi实时看高水位。
2. 推理速度。数学证明往往需要长输出，每步生成时间会明显拉长。小模型在普通显卡上可能勉强可用，大模型会让人等到怀疑人生。
3. 上下文长度。长证明很容易截断上下文窗口。如果模型一次只能处理 8K 上下文，可以考虑把证明切成多个阶段，先让模型生成前半段，再让模型基于前半段续写后半段。
4. 并发与批处理。本地推理服务通常支持并发请求，但显存会被并发任务同时占用，可能 OOM。建议先跑单条任务确认显存余量，再逐步提高并发数。

如果想降低资源占用，优先从三点入手：改用 API、使用量化模型、缩短单次 prompt 长度。把大任务拆成多轮对话，会比一次性输入超长文本更稳。

8. 常见问题与排查方法

如果一条 prompt 反复失败，不要一直重试同样的 prompt。先把问题拆小，或者换个模型试。很多情况下，小模型 + 清晰的分步 prompt 效果优于大模型 + 模糊 prompt。

9. 最佳实践与使用建议

这类项目要从“能跑通示例”进化到“能帮上数学研究”，需要建立一套工程化习惯。

第一，为每个实验保留完整的 prompt、模型版本、温度参数和输出日志。数学推理结果不像图像生成那样容易一眼判断好坏，没有记录，后面完全无法复盘。

第二，把 LLM 当“研究助理”而不是“裁判”。所有数学结论都必须经过符号计算、形式化证明或人工复核才能进入正式笔记。建议固定的验证流程是：LLM 生成结论，计算工具验证特例，数学家判断全局。

第三，第一次跑示例时，先拿一个自己已经知道答案的数学问题测试。比如先让 LLM 证明“根号 2 是无理数”，确认它能输出标准证明，再让它尝试没把握的命题。这样能快速判断模型在这类任务上的可靠性。

第四，对 prompt 做版本管理。数学 prompt 的写法对结果影响很大。例如“请判断命题真假”和“请先尝试证明，如果失败则构造反例”会产生完全不同的输出。可以把 prompt 模板放入prompts/目录，用文件命名区分版本。

第五，关注输出中的“确定性语言”。一个严谨的数学响应应该包含清晰的假设、推理链和结论。如果模型大量使用“显然”“易得”等词，大概率是偷懒或掩盖跳步，需要追问它补充细节。

第六，涉及引用和版权时保持谨慎。如果分析对象是别人的论文、图表或未公开数据，必须确认授权。AI 辅助生成的内容在后续发表时，也应按规定声明。

10. 总结与下一步

如果第一次接触这类项目，最值得先测的其实是两件事：反例搜索和证明补全。这两个场景门槛低、反馈直接，能很快暴露 LLM 在数学推理上的短板和优势。

建议先跑一个最简单的恒等式验证，比如让模型判断“所有偶数平方都是 4 的倍数”是否成立，然后要求它给出证明。跑通这一条，完成“构造 prompt -> 调用模型 -> 符号验证 -> 记录日志”的闭环，再逐步扩大任务难度。

最容易踩的坑有两个。一是把 LLM 的证明当成权威结论，实际上它可能在代数变形里悄悄出错；二是 prompt 写得过于宽泛，模型不知道你希望它“证明、反驳还是构造反例”。把这两个问题解决了，这个项目的价值才能体现出来。

后续如果想继续深入，可以考虑三条扩展方向：接入 Lean 4 或 Coq 做形式化辅助、用多个模型对同一命题做结果投票、把实验脚本封装成带重试和进度条的批量工具。这样一步一步来，AI 在数学研究流程里就不会只是一个“聊胜于无”的聊天窗口，而是一个可以追踪、验证、存档的研究基础设施。