企业官网建设流程全解析

该定理表述如下：
X XX是一个凸集，Y ( x ) Y(x)Y(x)是定义在X XX上的非空集合，集合C = { ( x , y ) ∣ x ∈ X , y ∈ Y ( x ) } C=\{(x,y)\mid x\in X, y\in Y(x)\}C={(x,y)∣x∈X,y∈Y(x)}是一个凸集，g ( x , y ) g(x, y)g(x,y)是定义在C CC上的一个凸函数，那么下面函数
f ( x ) = inf ⁡ y ∈ Y ( x ) g ( x , y ) f(x)=\inf_{y\in Y(x)}g(x,y)f(x)=y∈Y(x)inf​g(x,y)
也是一个凸函数。

证明方法，利用ϵ \epsilonϵ逼近

证明：根据f ( x ) f(x)f(x)的定义，对于任意x 1 ∈ X x_1\in Xx1​∈X，设
inf ⁡ y ∈ Y ( x 1 ) g ( x 1 , y ) = g ( x 1 , y 1 ∗ ) \inf_{y\in Y(x_1)}g(x_1,y)=g(x_1,y_1^\ast)y∈Y(x1​)inf​g(x1​,y)=g(x1​,y1∗​)

则
f ( x 1 ) = g ( x 1 , y 1 ∗ ) f(x_1)=g(x_1,y_1^\ast)f(x1​)=g(x1​,y1∗​)
根据 infinum 的定义，对任意一个正数ϵ \epsilonϵ，总存在一个y 1 ∈ Y ( x 1 ) y_1 \in Y(x_1)y1​∈Y(x1​)，使得：
f ( x 1 ) + ϵ = g ( x 1 , y ∗ ) + ϵ ≥ g ( x 1 , y 1 ) f(x_1)+\epsilon=g(x_1,y^\ast)+\epsilon\geq g(x_1,y_1)f(x1​)+ϵ=g(x1​,y∗)+ϵ≥g(x1​,y1​)

即
f ( x 1 ) + ϵ ≥ g ( x 1 , y 1 ) (1) f(x_1)+\epsilon\geq g(x_1,y_1)\tag{1}f(x1​)+ϵ≥g(x1​,y1​)(1)
同理，对于任意x 2 ∈ X x_2\in Xx2​∈X，以及任意一个正数ϵ \epsilonϵ，总存在一个y 2 y_2y2​，使得：
f ( x 2 ) + ϵ ≥ g ( x 2 , y 2 ) (2) f(x_2)+\epsilon\geq g(x_2,y_2)\tag{2}f(x2​)+ϵ≥g(x2​,y2​)(2)

因此：
θ f ( x 1 ) + ( 1 − θ ) f ( x 2 ) ≥ θ g ( x 1 , y 1 ) + ( 1 − θ ) g ( x 2 , y 2 ) − ϵ ≥ g ( θ 1 x 1 + ( 1 − θ ) x 2 , θ 1 y 1 + ( 1 − θ ) y 2 ) − ϵ ≥ f ( θ 1 x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ) − ϵ \begin{aligned} \theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2)&\geq \theta g(x_1,y_1)+(1-\theta) g(x_2,y_2)-\epsilon\\ &\geq g(\theta_1 x_1+(1-\theta)x_2,\theta_1y_1+(1-\theta)y_2)-\epsilon\\ &\geq f(\theta_1 x_1+(1-\theta)x_2)-\epsilon \end{aligned}θf(x1​)+(1−θ)f(x2​)​≥θg(x1​,y1​)+(1−θ)g(x2​,y2​)−ϵ≥g(θ1​x1​+(1−θ)x2​,θ1​y1​+(1−θ)y2​)−ϵ≥f(θ1​x1​+(1−θ)x2​)−ϵ​

因为上式对任意ϵ > 0 \epsilon>0ϵ>0都成立，必然对ϵ = 0 \epsilon=0ϵ=0也成立(从极限的角度理解: 不等式集合是闭集，极限点也必须满足不等式，这一点没那么容易理解)，得证。

这其实就是利用了：

如果
a ≥ b n ∀ n a≥b_n\quad \forall na≥bn​∀n​
且
b n → b , b_n\rightarrow b,bn​→b,
那么
a ≥ b . a≥b.a≥b.

也可以在此处用反证法证：令A = θ f ( x 1 ) + ( 1 − θ ) f ( x 2 ) A=\theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2)A=θf(x1​)+(1−θ)f(x2​),B = f ( θ 1 x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ) B= f(\theta_1 x_1+(1-\theta)x_2)B=f(θ1​x1​+(1−θ)x2​), 假设A < B A<BA<B,ϵ = ( B − A ) / 2 \epsilon=(B-A)/2ϵ=(B−A)/2,

A ≥ B − ϵ = B − ( B − A ) / 2 = ( A + B ) / 2 > A A\geq B-\epsilon=B-(B-A)/2=(A+B)/2>AA≥B−ϵ=B−(B−A)/2=(A+B)/2>A

推出矛盾的A > A A>AA>A. 所以A ≥ B A\geq BA≥B.

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若函数g gg是拟凸函数时，也能同样推导出f ff是拟凸函数。

参考资料¹²：