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C++数学魔法学院

第六课《超级银行家——复利增长》

从银行存款理解指数函数与 C++ 的 pow() 应用

🎯 本课学习目标

学完本课后，你将掌握：

✅ 什么是复利

✅ 单利与复利的区别

✅ 为什么复利属于指数增长

✅ 复利公式是如何推导出来的

✅ 如何使用 C++ 的pow()函数计算复利

✅ 如何建立现实问题的数学模型

🏰 一、故事开始：阿Q成为皇家银行家

1、程序王国最近举行了一场财富挑战赛。

（1）国王给了阿Q：

1000金币

并给出了两个选择。

（2）方案A

直接领取：

1000金币

（3）方案B

存入皇家银行。

银行承诺：

每年增加10%

2、阿Q很好奇：

同样是1000金币，为什么很多大人更愿意存银行呢？

今天我们就来揭开这个秘密。

❓二、什么叫10%的利息？

1、假设你有：

100元

2、银行一年后给你：

10元

（1）那么：

10 ÷ 100 = 0.1

即：

10%

（2）所以：

100元 ↓ 110元

（3）同理：

1000元

（4）一年后利息：

1000 × 10% = 100

（5）本金增加为：

1000+100 = 1100

🔍 三、先认识单利

很多同学第一次接触利息时，想到的是下面这种情况。

1、本金：

1000元

2、每年增加：

100元

（1）第一年：

1100

（2）第二年：

1200

（3）第三年：

1300

3、整理成表格：

4、观察规律：

每次固定增加100

即：

+100 +100 +100

5、这种增长方式叫：

单利

它属于：

线性增长

🔍 四、复利为什么更厉害？

1、银行长笑着说：

我们皇家银行可不是单利。

而是：

复利

2、复利最神奇的地方：

利息也会继续产生利息

（1）第一年：

1000

获得利息：

100

得到：

1100

（2）第二年：

利息不再按照1000计算。

而是按照：

1100

计算。

得到：

1100 × 10% = 110

总金额：

1210

（3）第三年：

1210 ×10% = 121

得到：

1331

3、整理表格：

⚖️ 五、单利 VS 复利

1、观察：

（1）单利：

每次 +100

（2）复利：

每次 ×1.1

2、这里出现了一个重要发现：

复利不是不断加同一个数。

而是：

不断乘同一个数。

这正是指数增长的特点。

📐 六、发现指数规律

1、继续观察：

1000 ↓ ×1.1 1100 ↓ ×1.1 1210 ↓ ×1.1 1331

2、如果写成数学形式：

（1）第一年：

1000 ×1.1

（2）第二年：

1000 ×1.1 ×1.1

（3）第三年：

1000 ×1.1 ×1.1 ×1.1

3、发现了吗？

出现了：

1.1

重复相乘。

4、于是得到：

1000×(1.1) ^ 3

这就是指数。

🧠 七、复利公式是怎样推导出来的？

1、假设：

（1）本金：

P

（2）年利率：

r

2、存款年数：

n

（1）第一年：

P(1+r)

（2）第二年：

P(1+r)(1+r)

（3）第三年：

P(1+r)(1+r)(1+r)

3、其中：

这就是著名的：

复利公式

⚙️ 八、如何用 C++ 实现？

1、题目：

（1）本金：

1000元

（2）年利率：

10%

（3）存款：

3年

（4）求最终金额。

2、方法:使用 pow()

为什么想到 pow()？

（1）因为：

(1+r)

被连续乘了：

n次

（2）而：

pow(a,b)

正好表示：

a^b

3、参考代码：

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double P = 1000; double r = 0.1; int n = 3; double A = P * pow(1 + r, n); cout << A << endl; return 0; }

4、输出：

1331

🧪 九、验证结果是否正确

1、不用公式，直接模拟。

#include <iostream> using namespace std; int main() { double money = 1000; for(int i=1;i<=3;i++) { money *= 1.1; } cout << money << endl; return 0; }

2、输出：

1331

3、结果一致。

说明公式正确。

🚧 十、什么时候不能直接使用复利公式？

1、很多同学学完公式后会认为：

所有利息问题都能套公式

其实不是。

2、复利公式成立需要满足：

条件1

利率固定

例如：

每年10%

条件2

中途没有存钱

条件3

中途没有取钱

3、如果出现：

第一年10% 第二年8% 第三年12%

（1）就不能直接使用：

(1+r)^n

（2）必须逐年模拟。

（3）这就是数学建模中的：

适用边界

🌟 十一、复利在现实中的应用

复利不仅出现在银行。

还出现在很多地方。

1、游戏升级

每级经验增加20%

2、人口增长

每年增长5%

3、细胞分裂

每小时增长一倍

4、病毒传播

感染人数不断扩散

5、这些本质上都是：

指数增长模型

🌟 十二、🎮 挑战任务

第一题

本金：

2000元

年利率：

5%

存款：

2年

求最终金额。

第二题

本金：

5000元

年利率：

8%

存款：

5年

求最终金额。

第三题

某游戏升级经验：

100

每级增加：

20%

求第10级经验值。

🌟 十三、📝 本课总结

1、今天我们学习了指数函数最重要的现实应用：

复利增长

2、核心规律：

每次增加固定数量 → 线性增长 每次乘固定比例 → 指数增长

3、核心代码：

double A = P * pow(1+r,n);

4、最重要的收获不是公式，而是建模思想：

当你发现一个量不断按照固定比例增长时，就想到指数函数和pow()。

这也是从“会写代码”迈向“会用数学解决问题”的关键一步。