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🌟数学魔法函数学院 第二课

《会跳舞的机器人——sin、cos 登场》

一、上节课回顾

上节课，我们认识了一个重要朋友：

🎡弧度

我们知道：

• 人类日常喜欢角度

• 计算机C++喜欢弧度

并且学会了转换公式：

弧度 = 角度 × π ÷ 180

今天，我们要认识三角函数王国著名的两个函数：

🦸 Sin

🦸 Cos

很多同学第一次见到它们时会觉得：

这是什么奇怪的东西？

学这个有什么用？

实际上：

动画制作、机器人、飞机导航、游戏开发、人工智能……

到处都有它们的身影！

第一章：机器人迷路了

1、程序王国里有一个小机器人：

🤖 小铁

一天，国王给它任务：

向前走10米！

小铁说：

没问题！

2、可是国王又说：

先向右转30°，再走10米。

小铁傻眼了：

原来： ↑ 现在： ↗

这时候问题来了：

机器人走完以后，

到底到了哪里？

3、如果不知道位置，

机器人可能：

❌ 掉进河里

❌ 撞到树上

❌ 撞到城堡

4、于是数学王国派出了：

🦸 Sin

🦸 Cos

来解决这个问题

第二章：什么是三角形？

1、先看一个直角三角形：

A ● /| / | / | / | / | ●-----● B C

2、其中：

∠C = 90°

3、对于角：

（1）有三条边：

斜边 对边 邻边

（2）例如：

● /| / | 5 / | 4 / | / | ●-----● 3

（3）这里：

最长的一条边

叫：

斜边

第三章：Sin函数的工作？

1、Sin函数的工作非常简单。

他专门负责：

对边 ----- 斜边

2、公式：

sinθ = 对边 / 斜边​

3、比如：

● /| / | 5 / |4 / | / | ●-----● 3

4、对于上面的角 X：

对边 = 4 斜边 = 5

5、所以：

sin(X) = 4/5

结果：

0.8

6、Sin函数说：

我最喜欢研究“高度”。

第四章：Cos函数的工作？

1、Cos函数负责：

邻边 ----- 斜边

2、公式：

cosθ= 邻边 / 斜边​

3、还是刚才那个三角形：

邻边 = 3 斜边 = 5

所以：

cos（x）= 3/5

结果：

0.6

4、Cos函数说：

我最喜欢研究“水平距离”。

第五章：别死记公式！

1、很多同学会这样学：

sin 对边除斜边 cos 邻边除斜边

背完就忘。

2、其实有更好的理解方法。

（1）想象你在爬楼梯：

● /| / | / | / | / | ●-----●

（2）你往上爬了多少？

这是：

高度

Sin负责。

（3）你往前走了多少？

这是：

宽度

Cos负责。

（4）于是：

Sin管上下

Cos管左右

记住这一句话，

以后学坐标时特别有用。

第六章：最重要的几个特殊角

1、C++程序员经常用这些角度：

2、尤其是：

（1）0°

sin=0 cos=1

（2）90°

sin=1 cos=0

要记住

第七章：为什么90°时sin等于1？

1、看机器人：

↑

朝正上方。

2、长度：

1

（1）那么：

水平距离：

0

高度：

1

（2）所以：

cos=0 sin=1

（3）是不是很合理？

因为：

完全向上

没有水平移动。

第八章：C++中的sin和cos的使用

1、首先：

#include <cmath>

2、函数调用方法：

sin(x) cos(x)

3、注意：

⚠️ x必须是弧度

不是角度！

第九章：第一个sin程序

1、求：

sin(90°)

2、参考代码：

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double PI = acos(-1); cout << sin(90 * PI / 180); return 0; }

3、输出：

1

第十章：第一个cos程序

1、求：

cos(60°)

2、参考代码：

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double PI = acos(-1); cout << cos(60 * PI / 180); return 0; }

3、输出：

0.5

第十一章：机器人坐标魔法

让我们来进行模拟操作

1、机器人站在：

(0,0)

（1）方向：

45°

（2）向前走：

10米

（3）走到哪里？

2、Cos函数说：

我负责左右距离！

3、Sin函数说：

我负责上下距离！

4、于是：

（1）横坐标：

x=r*cosθ

（2）纵坐标：

y=r*sinθ

（3）这里：

r = 10 θ = 45°

（4）计算：

x = 10 × 0.707

得到：

7.07

（5）计算：

y = 10 × 0.707

得到：

7.07

（6）最终位置：

(7.07 , 7.07)

5、这就是：

🎮 游戏开发

🤖 机器人导航

🚀 火箭发射

最基础的数学原理！

第十二章：完整程序

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double PI = acos(-1); double angle = 45; double r = 10; double rad = angle * PI / 180; double x = r * cos(rad); double y = r * sin(rad); cout << "x=" << x << endl; cout << "y=" << y << endl; return 0; }

第十三章：经典错误

1、很多新手这样写：

sin(90)

2、错误原因：

程序认为：

90弧度

不是：

90度

3、正确：

sin(90 * PI / 180)

这个错误每年都会有很多同学犯。

第十四章：挑战训练

1、第一题

求：

sin(30°)

答案：

0.5

2、第二题

求：

cos(60°)

答案：

0.5

3、第三题

机器人向右30°方向走20米。

求：

x y

提示：

x = r cosθ y = r sinθ

4、第四题

机器人向上90°走15米。

求终点。

答案：

x = 0 y = 15

本课总结

今天学会了两个三角函数：

1、 Sin

负责：

上下 高度 纵坐标

对应：

sin𝜃 = 对边 / 斜边

2、 Cos

负责：

左右 宽度 横坐标

对应：

cosθ = 邻边 / 斜边​

3、以及最重要的坐标公式：

（1）横坐标：

x=r*cosθ

（2）纵坐标：

y=r*sinθ

4、当你真正理解：

Cos负责左右，Sin负责上下

以后学习：

• 坐标系

• 圆

• 向量

• 游戏开发

• 机器人运动

• 信息学竞赛中的计算几何

都会轻松很多。

下一课，我们将进入更加神奇的内容：

⚔️《旋转炮台攻击怪兽——极坐标与坐标变换》⚔️

你会真正学会用sin()和cos()控制炮台发射炮弹，计算怪兽的位置！🚀🤖🌟