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在机器人控制中，经常需要控制末端工具的姿态，如果用欧拉角表示姿态，会出现万向锁的问题，而使用四元数就不会有这个问题，此外四元数求出的姿态差为一个标量，更容易在RL算法中使用。

首先，假设末端工具的姿态为，期望姿态为。

其中，均为单位四元数，即，单位四元数还具有以下特性，其中为单位四元数的逆，为单位四元数的共轭。

均为三维单位向量，即.

为求末端当前姿态到期望姿态的差距distance，使用。解释如下：

可见，构建了从到的映射。由于一个四元数表示三维空间中的一个刚体的姿态，那么认为是从到的旋转。

令，认为 从绕着向量转动了角度到达了。

如果当前姿态就是期望姿态，那么旋转角度，.

令，.

将Q转换为轴角形式：

求.

总结以上，为求实际姿态与期望姿态的差距，分为以下步骤：

一、求距离四元数：

二、将其转换为轴角形式：，

三、求，这个标量即可代表实际姿态与期望姿态的差距。

参考文献：

https://web.archive.org/web/20200503045740if_/http://www.cs.ucr.edu/~vbz/resources/quatut.pdf

https://www.astro.rug.nl/software/kapteyn-beta/_downloads/attitude.pdf