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085 机器人运动学：正运动学

从一次机械臂“抽风”说起

去年调试一台六轴协作机器人，上位机发了个简单的“移动到点(300, 200, 150)”指令，结果机械臂直接往桌面砸下去。当时冷汗就下来了——急停拍下去之后，我盯着示教器上的关节角度数据发呆：每个关节角度明明都在软限位内，为什么末端位置会跑到工作空间外面去？

后来查了一整天，发现是正运动学计算里一个坐标系变换矩阵的符号写反了。那个晚上我对着DH参数表反复核对，突然意识到一个残酷的事实：正运动学看起来是简单的矩阵乘法，但任何一个参数标定错误，都会让机器人变成脱缰的野马。

正运动学到底在算什么

说白了，正运动学就是回答一个问题：“给定每个关节的角度，末端执行器在空间里到底在哪？”听起来简单，但实际做起来，坐标系之间的变换关系能把人绕晕。

我们通常用齐次变换矩阵来描述相邻连杆之间的位姿关系。对于旋转关节，这个矩阵长这样：

T = [cosθ -sinθ*cosα sinθ*sinα a*cosθ] [sinθ cosθ*cosα -cosθ*sinα a*sinθ] [0 sinα cosα d ] [0 0 0 1 ]

这里θ是关节角，α是连杆扭角，a是连杆长度，d是连杆偏距。这四个参数就是DH参数。注意：这个矩